Вписанная в треугольник окружность — окружность внутри треугольника , касающаяся всех его сторон; наибольшая окружность , которая может находиться внутри треугольника. Центр этой окружности является точкой пересечения биссектрис треугольника и называется инцентром треугольника.

Вневписанная окружность треугольника — окружность, лежащая вне треугольника и касающаяся одной стороны треугольника и . Любой треугольник имеет три различные вневписанные окружности, каждая из которых касается своей стороны треугольника. Центром вневписанной окружности является пересечение биссектрисы одного и биссектрис двух других . Поскольку биссектриса внутреннего угла перпендикулярна биссектрисе смежного внешнего угла, центр вписанной окружности вместе с тремя центрами вневписанных окружностей образуют .

Не все многоугольники с числом сторон более трёх имеют вписанную окружность. Те, которые имеют, называются описанными .

Связь с площадью треугольника

Радиусы вписанных и вневписанных окружностей имеют тесную связь с площадью треугольника .

Вписанная окружность

Пусть ${\displaystyle \triangle ABC}$ имеет вписанную окружность радиуса r с центром I . Пусть a — длина BC , b — длина AC , а c — длина AB . Пусть вписанная окружность касается AB в некоторой точке C′ , тогда ${\displaystyle \angle AC'I}$ является прямым. Тогда радиус C’I будет высотой треугольника ${\displaystyle \triangle IAB}$ . Таким образом, ${\displaystyle \triangle IAB}$ имеет основание длины c и высоту r , а следовательно, его площадь равна ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}cr}$ . Подобным же образом ${\displaystyle \triangle IAC}$ имеет площадь ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}br}$ и ${\displaystyle \triangle IBC}$ имеет площадь ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}ar}$ . Поскольку эти три треугольника разбивают ${\displaystyle \triangle ABC}$ , получаем, что

${\displaystyle \Delta ={\frac {1}{2}}(a+b+c)r=pr,}$

где ${\displaystyle \Delta }$ — площадь ${\displaystyle \triangle ABC}$ , а ${\displaystyle p={\frac {1}{2}}(a+b+c)}$ — его полупериметр .

Чтобы получить альтернативную формулу, рассмотрим ${\displaystyle \triangle IC'A}$ . Это прямоугольный треугольник, у которого один из катетов равен r , а другой равен ${\displaystyle r\cdot \mathrm {ctg} {\frac {\angle A}{2}}}$ . То же самое верно для ${\displaystyle \triangle IB'A}$ . Весь треугольник состоит из 6 таких треугольников, и общая площадь составляет:

${\displaystyle \Delta =r^{2}\cdot (\mathrm {ctg} {\frac {\angle A}{2}}+\mathrm {ctg} {\frac {\angle B}{2}}+\mathrm {ctg} {\frac {\angle C}{2}})}$

Вневписанные окружности

Пусть вневписанная окружность, касающаяся стороны AB , касается продолжения стороны AC в точке G , и пусть радиус этой окружности равен ${\displaystyle r_{c}}$ , а её центр — ${\displaystyle I_{c}}$ . Тогда ${\displaystyle I_{c}G}$ является высотой треугольника ${\displaystyle \triangle ACI_{c}}$ , так что ${\displaystyle \triangle ACI_{c}}$ имеет площадь ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}br_{c}}$ . По тем же причинам ${\displaystyle \triangle BCI_{c}}$ имеет площадь ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}ar_{c}}$ , а ${\displaystyle \triangle ABI_{c}}$ имеет площадь ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}cr_{c}}$ . Тогда

${\displaystyle \Delta ={\frac {1}{2}}(a+b-c)r_{c}=(p-c)r_{c}}$ .

Таким образом, ввиду симметрии,

${\displaystyle \Delta =pr=(p-a)r_{a}=(p-b)r_{b}=(p-c)r_{c}}$ .

По теореме косинусов получаем

${\displaystyle \cos A={\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}}$

Комбинируя это с тождеством ${\displaystyle \sin ^{2}A+\cos ^{2}A=1}$ , получим

${\displaystyle \sin A={\frac {\sqrt {-a^{4}-b^{4}-c^{4}+2a^{2}b^{2}+2b^{2}c^{2}+2a^{2}c^{2}}}{2bc}}}$

Но ${\displaystyle \Delta ={\tfrac {1}{2}}bc\sin A}$ , так что

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta &={\frac {1}{4}}{\sqrt {-a^{4}-b^{4}-c^{4}+2a^{2}b^{2}+2b^{2}c^{2}+2a^{2}c^{2}}}\\&={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}\\&={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}},\end{aligned}}}$

и это формула Герона вычисления площади треугольника по его сторонам.

Комбинируя формулу Герона с ${\displaystyle pr=\Delta }$ , получим

${\displaystyle r^{2}={\frac {\Delta ^{2}}{p^{2}}}={\frac {(p-a)(p-b)(p-c)}{p}}}$ .

Аналогично, ${\displaystyle (p-a)r_{a}=\Delta }$ даёт

${\displaystyle r_{a}^{2}={\frac {p(p-b)(p-c)}{p-a}}}$ .

Из этих формул видно, что вневписанные окружности всегда больше вписанной и наибольшая окружность соответствует самой длинной стороне, а самая наименьшая из вневписанных окружностей соответствует самой маленькой стороне. Дальнейшее комбинирование формул приводит к:

${\displaystyle \Delta ={\sqrt {rr_{a}r_{b}r_{c}}}.}$

Отношение площади вписанной окружности к площади треугольника меньше или равно ${\displaystyle {\frac {\pi }{3{\sqrt {3}}}}}$ , и равенство достигается только на правильных треугольниках .

Связанные построения

Окружность девяти точек и точка Фейербаха

• Теорема Эйлера об окружности Эйлера . Середины отрезков высот от ортоцентра до вершин треугольника называются точками Эйлера . Основания медиан , основания высот и точки Эйлера лежат на одной окружности , называемой окружностью девяти точек .

• Теорема Фейербаха . Окружность девяти точек касается всех трёх вневписанных окружностей , а также вписанной окружности в четырёх разных точках. Одна из них - точка касания окружности Эйлера и вписанной окружности известна как точка Фейербаха .

Треугольник и точка Жергонна

Треугольник Жергонна (для треугольника ABC ) определяется тремя точками касания вписанной окружности на трёх сторонах. Эти вершины обозначим T _A , и т. д.. Точка T _A лежит напротив вершины A .

Этот треугольник Жергонна T _A T _B T _C известен также как треугольник касаний треугольника ABC .

Три прямые AT _A , BT _B и CT _C пересекаются в одной точке — точке Жергонна и обозначается Ge — X(7) . Точка Жергонна лежит внутри открытого с выколотым центром .

Интересно, что точка Жергонна треугольника является точкой пересечения симедиан треугольника Жергонна. Полный набор свойств точки Жергонна можно найти в статье Декова .

Трилинейные координаты вершин треугольника касаний задаются формулами

• вершина ${\displaystyle A=0:\sec ^{2}\left({\frac {B}{2}}\right):\sec ^{2}\left({\frac {C}{2}}\right)}$
• вершина ${\displaystyle B=\sec ^{2}\left({\frac {A}{2}}\right):0:\sec ^{2}\left({\frac {C}{2}}\right)}$
• вершина ${\displaystyle C=\sec ^{2}\left({\frac {A}{2}}\right):\sec ^{2}\left({\frac {B}{2}}\right):0}$

Трилинейные координаты точки Жергонна

${\displaystyle \sec ^{2}\left({\frac {A}{2}}\right):\sec ^{2}\left({\frac {B}{2}}\right):\sec ^{2}\left({\frac {C}{2}}\right)}$ ,

или, эквивалентно, по теореме синусов ,

${\displaystyle {\frac {bc}{b+c-a}}:{\frac {ca}{c+a-b}}:{\frac {ab}{a+b-c}}}$ .

Точка Жергонна является изотомическим сопряжением точки Нагеля .

Треугольник и точка Нагеля

Треугольник Нагеля (см. рис. выше) для треугольника ABC определяется вершинами T _A , T _B и T _C , которые являются точками касания вневписанных окружностей треугольника ABC и точка X _A противоположна стороне A , и т. д. Описанная вокруг треугольника T _A T _B T _C окружность называется окружностью Мандарта (частный случай эллипса Мандарта ). Три прямые AT _A , BT _B и CT _C делят периметр пополам и пересекаются в одной точке Нагеля Na — X(8) .

Трилинейные координаты точек касания треугольника вневписанными окружностями задаются формулами

• вершина ${\displaystyle A=0:\csc ^{2}\left({\frac {B}{2}}\right):\csc ^{2}\left({\frac {C}{2}}\right)}$
• вершина ${\displaystyle B=\csc ^{2}\left({\frac {A}{2}}\right):0:\csc ^{2}\left({\frac {C}{2}}\right)}$
• вершина ${\displaystyle C=\csc ^{2}\left({\frac {A}{2}}\right):\csc ^{2}\left({\frac {B}{2}}\right):0}$

Трилинейные координаты точки Нагеля задаются формулами

${\displaystyle \csc ^{2}\left({\frac {A}{2}}\right):\csc ^{2}\left({\frac {B}{2}}\right):\csc ^{2}\left({\frac {C}{2}}\right)}$ ,

или, эквивалентно, по теореме синусов ,

${\displaystyle {\frac {b+c-a}{a}}:{\frac {c+a-b}{b}}:{\frac {a+b-c}{c}}}$ .

Точка Нагеля является изотомическим сопряжением точки Жергонна .

Трилинейные координаты вписанных треугольников

Трилинейные координаты вершин треугольника, образованного основаниями биссектрис, задаются формулами

• вершина ${\displaystyle A=0:1:1}$
• вершина ${\displaystyle B=1:0:1}$
• вершина ${\displaystyle C=1:1:0}$

Трилинейные координаты треугольника, образованного точками касания сторон внеописанными окружностями, задаются формулами

• вершина ${\displaystyle A=-1:1:1}$
• вершина ${\displaystyle B=1:-1:1}$
• вершина ${\displaystyle C=1:-1:-1}$

Уравнения окружностей

Пусть x : y : z — координаты точки в трилинейных координатах , и пусть u = cos ² (A/2) , v = cos ² (B/2) , w = cos ² (C/2) . Четыре окружности, описанные выше, можно задать любым из двух указанных способов :

• Вписанная окружность:

${\displaystyle \ u^{2}x^{2}+v^{2}y^{2}+w^{2}z^{2}-2vwyz-2wuzx-2uvxy=0}$

${\displaystyle \pm {\sqrt {x}}\cos {\frac {A}{2}}\pm {\sqrt {y}}\cos {\frac {B}{2}}\pm {\sqrt {z}}\cos {\frac {C}{2}}=0}$

• A- внешневписанная:

${\displaystyle \ u^{2}x^{2}+v^{2}y^{2}+w^{2}z^{2}-2vwyz+2wuzx+2uvxy=0}$

${\displaystyle \pm {\sqrt {-x}}\cos {\frac {A}{2}}\pm {\sqrt {y}}\cos {\frac {B}{2}}\pm {\sqrt {z}}\cos {\frac {C}{2}}=0}$

• B- внешневписанная:

${\displaystyle \ u^{2}x^{2}+v^{2}y^{2}+w^{2}z^{2}+2vwyz-2wuzx+2uvxy=0}$

${\displaystyle \pm {\sqrt {x}}\cos {\frac {A}{2}}\pm {\sqrt {-y}}\cos {\frac {B}{2}}\pm {\sqrt {z}}\cos {\frac {C}{2}}=0}$

• C- внешневписанная:

${\displaystyle \ u^{2}x^{2}+v^{2}y^{2}+w^{2}z^{2}+2vwyz+2wuzx-2uvxy=0}$

${\displaystyle \pm {\sqrt {x}}\cos {\frac {A}{2}}\pm {\sqrt {y}}\cos {\frac {B}{2}}\pm {\sqrt {-z}}\cos {\frac {C}{2}}=0}$

Другие свойства вписанной окружности

Некоторые формулы с радиусом вписанной окружности

• ${\displaystyle r={\frac {p-a}{\operatorname {ctg} (\alpha /2)}}={\frac {p-b}{\operatorname {ctg} (\beta /2)}}={\frac {p-c}{\operatorname {ctg} (\gamma /2)}}}$ , ${\displaystyle p}$ — полупериметр треугольника ( Теорема котангенсов ).

• Радиус вписанной окружности не больше одной девятой суммы высот треугольника .

• Неравенство Эйлера : радиус вписанной окружности не превосходит половины радиуса описанной окружности и равенство имеет место лишь для равностороннего треугольника .

• Предположим, что точки касания вписанной окружности делят стороны на отрезки длиной x и y , y и z , z и x . Тогда вписанная окружность имеет радиус

${\displaystyle r={\sqrt {\frac {xyz}{x+y+z}}}}$

и площадь треугольника равна

${\displaystyle K={\sqrt {xyz(x+y+z)}}.}$

• Если высоты, опущенные на стороны a , b и c есть h _a , h _b и h _c , то радиус вписанной окружности r равен одной трети гармонического среднего этих высот, то есть

${\displaystyle r={\frac {1}{h_{a}^{-1}+h_{b}^{-1}+h_{c}^{-1}}}.}$

• Произведение радиуса вписанной окружности r и радиуса описанной окружности R треугольника со сторонами a , b и c равно

${\displaystyle rR={\frac {abc}{2(a+b+c)}}.}$

• Некоторые связи сторон, радиусов вписанной окружности и описанной окружностей :

${\displaystyle ab+bc+ca=s^{2}+(4R+r)r,}$

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}=2s^{2}-2(4R+r)r.}$

• Любая прямая, проходящая через треугольник и делящая площадь треугольника и периметр пополам, проходит через центр вписанной окружности. Таких прямых может существовать три, две или одна .

• Перпендикуляры, восставленные к сторонам треугольника в точках касания вневписанных окружностей, пересекаются в одной точке. Эта точка симметрична центру вписанной окружности относительно центра описанной окружности .

Формулы для расстояний до центра вписанной или вневписанной окружностей

Теорема Эйлера

Теорема Эйлера утверждает, что в треугольнике :

${\displaystyle (R-r_{in})^{2}=d^{2}+r_{in}^{2},}$

где R и r _in являются радиусами описанной и вписанной окружностей соответственно, а d — расстояние между центрами этих окружностей.

Для вневписанных окружностей уравнение выглядит похоже:

${\displaystyle (R+r_{ex})^{2}=d^{2}+r_{ex}^{2},}$

где r _ex — радиус одной из вневписанных окружностей, а d — расстояние между центрами описанной и вневписанной окружностей

• Возводя в квадрат и приводя подобные из первой формулы Эйлера выше имеем:

Квадрат расстояния от центра вписанной окружности I до центра описанной O задаётся уравнением

${\displaystyle OI^{2}=d^{2}=R(R-2r_{in}),}$

${\displaystyle OI^{2}={\frac {abc\,}{a+b+c}}\left[{\frac {abc\,}{(a+b-c)\,(a-b+c)\,(-a+b+c)}}-1\right]}$

Аналогично для второй формулы:

${\displaystyle d^{2}=R(R+2r_{ex}).}$

Другие формулы для расстояний до центра вписанной или вневписанной окружностей

• Расстояние от центра вписанной окружности до центра N окружности девяти точек равно

${\displaystyle IN={\frac {1}{2}}(R-2r)<{\frac {1}{2}}R.}$

• Расстояние от вершины до точек касания вписанной окружности на прилегающих сторонах равно полусумме длин прилегающих сторон минус половина противолежащей стороны . Так, для вершины B и прилежащих точек касания T _A и T _C ,

${\displaystyle BT_{A}=BT_{C}={\frac {BC+AB-AC}{2}}.}$

• Если обозначить центр вписанной окружности треугольника ABC буквой I , мы получим

${\displaystyle {\frac {IA\cdot IA}{CA\cdot AB}}+{\frac {IB\cdot IB}{AB\cdot BC}}+{\frac {IC\cdot IC}{BC\cdot CA}}=1}$

и

${\displaystyle IA\cdot IB\cdot IC=4Rr^{2}.}$

• Если обозначить за I центр вписанной окружности треугольника ABC , AD — биссектриса угла A , то ${\displaystyle {\frac {AI}{DI}}={\frac {AB+AC}{BC}}}$
• Центр вписанной окружности лежит в треугольнике, вершины которого являются серединами сторон треугольника .
• Теорема о трезубце или теорема трилистника , или теорема Клайнэра : Если D — точка пересечения биссектрисы угла A с описанной окружностью треугольника ABC , I и J — соответственно центры вписанной и вневписанной окружности, касающейся стороны BC , тогда ${\displaystyle |DI|=|DB|=|DC|=|DJ|}$ .

• Теорема Мансиона (составная часть Теоремы о трезубце ). Середины трёх отрезков, соединяющих центр вписанной окружности с центрами вневписанных окружностей лежат на описанной окружности .

• Теорема Харкорта . Пусть треугольник задан своими вершинами A , B и C , противоположные вершинам стороны имеют длины a , b и c , площадь равна K и прямая касается вписанной в треугольник окружности в произвольной точке. Обозначим расстояния от вершин треугольника до прямой через a ', b ' и c ', при этом, если вершина и центр окружности лежат по разные стороны от прямой, расстояние считается отрицательным. Тогда

${\displaystyle aa^{\prime }+bb^{\prime }+cc^{\prime }=2K.}$ .

Другие свойства вневписанных окружностей

• Следующее отношение выполняется для радиуса r вписанной окружности, радиуса R описанной окружности, полупериметра s и радиусов вневписанных окружностей r _a , r _b , r _c :

${\displaystyle r_{a}+r_{b}+r_{c}=4R+r,}$

${\displaystyle r_{a}r_{b}+r_{b}r_{c}+r_{c}r_{a}=s^{2},}$

${\displaystyle r_{a}^{2}+r_{b}^{2}+r_{c}^{2}=(4R+r)^{2}-2s^{2},}$

• Окружность, проходящая через центры вневписанных окружностей, имеет радиус 2 R .

• Если H — ортоцентр треугольника ABC , то

${\displaystyle r_{a}+r_{b}+r_{c}+r=AH+BH+CH+2R,}$

${\displaystyle r_{a}^{2}+r_{b}^{2}+r_{c}^{2}+r^{2}=AH^{2}+BH^{2}+CH^{2}+(2R)^{2}.}$

• Вершины A , B и C треугольника ABC являются основаниями высот треугольника J _A J _B ,J _C ,

где J _A J _B ,J _C — центры вневписанных окружностей .

• Перпендикуляры, восставленные к сторонам треугольника в точках касания вневписанных окружностей, пересекаются в одной точке. Эта точка симметрична центру вписанной окружности относительно центра описанной окружности .
• Центр Шпикера треугольника является радикальным центром его вневписанных окружностей . Если из центра Шпикера треугольника провести 6 касательных к 3 вневписанным окружностям треугольника, то все их длины будут равны между собой.

Окружность Аполлония

Определение окружности Аполлония

Пусть дан треугольник ABC . Пусть вневписанные окружности треугольника ABC , противоположные вершинам A , B и C , есть соответственно E _A , E _B , E _C (см. рисунок). Тогда окружность Аполлония E (на рис. справа показана зеленым цветом) касается внутренним образом сразу трех вневписанных окружностей треугольника ABC в точках соответственно E _A , E _B и E _C (см. рисунок) .

Радиус окружности Аполлония

Радиус окружности Аполлония равен ${\displaystyle {\frac {r^{2}+s^{2}}{4r}}}$ , где r — радиус вписанной окружности и s — полупериметр треугольника .

Определение точки Аполлония Ap

• Точка Аполлония Ap в Энциклопедии центров треугольника у Кларка Кимберлинга () именуется как центр треугольника под именем X(181).
• Точка Аполлония Ap или X(181) определяется следующим образом:

Пусть A' , B' и C' есть точки касания окружности Аполлония E с соответствтвующими вневписанными окружностями. Тогда прямые AA' , BB' и CC' пересекаются в одной точке Ap , которую называют точкой Аполлония треугольника ABC .

Изогональное сопряжение

Изогональное сопряжение имеет ровно четыре неподвижные точки (то есть точки, которые сопряжены самим себе): центр вписанной окружности и центры вневписанных окружностей треугольника .

Ортоцентр треугольника изогонально сопряжён центру описанной окружности этого треугольника .

Обобщение на другие многоугольники

• Некоторые (но не все) четырёхугольники имеют вписанную окружность. Они называются описанными четырёхугольниками . Среди свойств этих четырёхугольников наиболее важным является то, что суммы противоположных сторон равны. Это утверждение называется теоремой Пито .
• Некоторые (но не все) четырёхугольники имеют вневписанную окружность. Они называются внеописанными четырёхугольниками . Среди свойств этих четырёхугольников наиболее важное свойство отмечает теорема Уркхарта . Она утверждает:
• Если противоположные стороны выпуклого четырёхугольника ABCD пересекаются в точках E и F , то

${\displaystyle AB+BC=AD+DC\quad \Leftrightarrow \quad AE+EC=AF+FC.}$

См. также

• Вневписанная окружность
• Внеописанный четырёхугольник
• Вписанная окружность
• Вписанные и описанные фигуры для треугольника
• Вписанная сфера
• Высота треугольника
• Замечательные точки треугольника
• Инцентр или Центр вписанной окружности
• Окружность
• Описанная окружность
• Описанный четырёхугольник
• Ортоцентр
• Степень точки относительно окружности
• Теорема Мансиона
• Теорема о трезубце
• Теорема Тебо 2 и 3
• Теорема Харкорта
• Точки Аполлония
• Степень точки относительно окружности
• Центр Шпикера
• Центроид
• Центроид треугольника
• Эллипс Мандарта
• Эллипс Штейнера

Примечания

Литература

• Мякишев А.Г. Элементы геометрии треугольника. — М. : МЦНМО, 2002.
• Clark Kimberling. Triangle Centers and Central Triangles // Congressus Numerantium. — 1998. — Вып. 129 . — С. i-xxv, 1-295 .
• Sándor Kiss. The Orthic-of-Intouch and Intouch-of-Orthic Triangles // Congressus Numerantium. — 2006. — Вып. 6 . — С. 171—177 .
• Boris Odenhal. Some triangle centers associated with the circles tangent to the excircles // Forum Geometricorum. — 2010. — Т. 10 .

Ссылки

• Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .

Сайты с интерактивным содержанием

• With interactive animations
• An interactive animated demonstration
• at cut-the-knot
• at cut-the-knot
• at cut-the-knot