Interested Article - Вписанная и вневписанные в треугольник окружности

Треугольник (чёрный) с вписанной окружностью (синей), инцентр (I), вневписанными окружностями (оранжевые), эксцентры (J _A ,J _B ,J _C ), внутренние биссектрисы (красные) и внешние биссектрисы (зелёные)

Вписанная в треугольник окружность — окружность внутри треугольника , касающаяся всех его сторон; наибольшая окружность , которая может находиться внутри треугольника. Центр этой окружности является точкой пересечения биссектрис треугольника и называется инцентром треугольника.

Вневписанная окружность треугольника — окружность, лежащая вне треугольника и касающаяся одной стороны треугольника и . Любой треугольник имеет три различные вневписанные окружности, каждая из которых касается своей стороны треугольника. Центром вневписанной окружности является пересечение биссектрисы одного и биссектрис двух других . Поскольку биссектриса внутреннего угла перпендикулярна биссектрисе смежного внешнего угла, центр вписанной окружности вместе с тремя центрами вневписанных окружностей образуют .

Не все многоугольники с числом сторон более трёх имеют вписанную окружность. Те, которые имеют, называются описанными .

Связь с площадью треугольника

Радиусы вписанных и вневписанных окружностей имеют тесную связь с площадью треугольника .

Вписанная окружность

Пусть $\triangle ABC$ $\triangle ABC$ имеет вписанную окружность радиуса r с центром I . Пусть a — длина BC , b — длина AC , а c — длина AB . Пусть вписанная окружность касается AB в некоторой точке C′ , тогда $\angle AC'I$ $\angle AC'I$ является прямым. Тогда радиус C’I будет высотой треугольника $\triangle IAB$ $\triangle IAB$ . Таким образом, $\triangle IAB$ $\triangle IAB$ имеет основание длины c и высоту r , а следовательно, его площадь равна ${\tfrac {1}{2}}cr$ ${\tfrac {1}{2}}cr$ . Подобным же образом $\triangle IAC$ $\triangle IAC$ имеет площадь ${\tfrac {1}{2}}br$ ${\tfrac {1}{2}}br$ и $\triangle IBC$ $\triangle IBC$ имеет площадь ${\tfrac {1}{2}}ar$ ${\tfrac {1}{2}}ar$ . Поскольку эти три треугольника разбивают $\triangle ABC$ $\triangle ABC$ , получаем, что

\Delta ={\frac {1}{2}}(a+b+c)r=pr,

\Delta ={\frac {1}{2}}(a+b+c)r=pr,

где $\Delta$ $\Delta$ — площадь $\triangle ABC$ $\triangle ABC$ , а $p={\frac {1}{2}}(a+b+c)$ $p={\frac {1}{2}}(a+b+c)$ — его полупериметр .

Чтобы получить альтернативную формулу, рассмотрим $\triangle IC'A$ $\triangle IC'A$ . Это прямоугольный треугольник, у которого один из катетов равен r , а другой равен $r\cdot \mathrm {ctg} {\frac {\angle A}{2}}$ $r\cdot \mathrm {ctg} {\frac {\angle A}{2}}$ . То же самое верно для $\triangle IB'A$ $\triangle IB'A$ . Весь треугольник состоит из 6 таких треугольников, и общая площадь составляет:

\Delta =r^{2}\cdot (\mathrm {ctg} {\frac {\angle A}{2}}+\mathrm {ctg} {\frac {\angle B}{2}}+\mathrm {ctg} {\frac {\angle C}{2}})

\Delta =r^{2}\cdot (\mathrm {ctg} {\frac {\angle A}{2}}+\mathrm {ctg} {\frac {\angle B}{2}}+\mathrm {ctg} {\frac {\angle C}{2}})

Вневписанные окружности

Пусть вневписанная окружность, касающаяся стороны AB , касается продолжения стороны AC в точке G , и пусть радиус этой окружности равен $r_{c}$ $r_{c}$ , а её центр — $I_{c}$ $I_{c}$ . Тогда $I_{c}G$ $I_{c}G$ является высотой треугольника $\triangle ACI_{c}$ $\triangle ACI_{c}$ , так что $\triangle ACI_{c}$ $\triangle ACI_{c}$ имеет площадь ${\tfrac {1}{2}}br_{c}$ ${\tfrac {1}{2}}br_{c}$ . По тем же причинам $\triangle BCI_{c}$ $\triangle BCI_{c}$ имеет площадь ${\tfrac {1}{2}}ar_{c}$ ${\tfrac {1}{2}}ar_{c}$ , а $\triangle ABI_{c}$ $\triangle ABI_{c}$ имеет площадь ${\tfrac {1}{2}}cr_{c}$ ${\tfrac {1}{2}}cr_{c}$ . Тогда

\Delta ={\frac {1}{2}}(a+b-c)r_{c}=(p-c)r_{c}

\Delta ={\frac {1}{2}}(a+b-c)r_{c}=(p-c)r_{c}

.

Таким образом, ввиду симметрии,

\Delta =pr=(p-a)r_{a}=(p-b)r_{b}=(p-c)r_{c}

\Delta =pr=(p-a)r_{a}=(p-b)r_{b}=(p-c)r_{c}

.

По теореме косинусов получаем

\cos A={\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}

\cos A={\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}

Комбинируя это с тождеством $\sin ^{2}A+\cos ^{2}A=1$ $\sin ^{2}A+\cos ^{2}A=1$ , получим

\sin A={\frac {\sqrt {-a^{4}-b^{4}-c^{4}+2a^{2}b^{2}+2b^{2}c^{2}+2a^{2}c^{2}}}{2bc}}

\sin A={\frac {\sqrt {-a^{4}-b^{4}-c^{4}+2a^{2}b^{2}+2b^{2}c^{2}+2a^{2}c^{2}}}{2bc}}

Но $\Delta ={\tfrac {1}{2}}bc\sin A$ $\Delta ={\tfrac {1}{2}}bc\sin A$ , так что

{\begin{aligned}\Delta &={\frac {1}{4}}{\sqrt {-a^{4}-b^{4}-c^{4}+2a^{2}b^{2}+2b^{2}c^{2}+2a^{2}c^{2}}}\\&={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}\\&={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}},\end{aligned}}

{\begin{aligned}\Delta &={\frac {1}{4}}{\sqrt {-a^{4}-b^{4}-c^{4}+2a^{2}b^{2}+2b^{2}c^{2}+2a^{2}c^{2}}}\\&={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}\\&={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}},\end{aligned}}

и это формула Герона вычисления площади треугольника по его сторонам.

Комбинируя формулу Герона с $pr=\Delta$ $pr=\Delta$ , получим

r^{2}={\frac {\Delta ^{2}}{p^{2}}}={\frac {(p-a)(p-b)(p-c)}{p}}

r^{2}={\frac {\Delta ^{2}}{p^{2}}}={\frac {(p-a)(p-b)(p-c)}{p}}

.

Аналогично, $(p-a)r_{a}=\Delta$ $(p-a)r_{a}=\Delta$ даёт

r_{a}^{2}={\frac {p(p-b)(p-c)}{p-a}}

r_{a}^{2}={\frac {p(p-b)(p-c)}{p-a}}

.

Из этих формул видно, что вневписанные окружности всегда больше вписанной и наибольшая окружность соответствует самой длинной стороне, а самая наименьшая из вневписанных окружностей соответствует самой маленькой стороне. Дальнейшее комбинирование формул приводит к:

\Delta ={\sqrt {rr_{a}r_{b}r_{c}}}.

\Delta ={\sqrt {rr_{a}r_{b}r_{c}}}.

Отношение площади вписанной окружности к площади треугольника меньше или равно ${\frac {\pi }{3{\sqrt {3}}}}$ ${\frac {\pi }{3{\sqrt {3}}}}$ , и равенство достигается только на правильных треугольниках .

Связанные построения

Окружность девяти точек и точка Фейербаха

Теорема Эйлера об окружности Эйлера . Середины отрезков высот от ортоцентра до вершин треугольника называются точками Эйлера . Основания медиан , основания высот и точки Эйлера лежат на одной окружности , называемой окружностью девяти точек .

Теорема Фейербаха . Окружность девяти точек касается всех трёх вневписанных окружностей , а также вписанной окружности в четырёх разных точках. Одна из них - точка касания окружности Эйлера и вписанной окружности известна как точка Фейербаха .

Треугольник и точка Жергонна

Треугольник Δ *ABC* с вписанной окружностью (синяя), и её центр (синий, I ), треугольник точек касания (красный, Δ T _a T _b T _c ) и точка Жергонна (зелёная, Ge)

Треугольник Жергонна (для треугольника ABC ) определяется тремя точками касания вписанной окружности на трёх сторонах. Эти вершины обозначим T _A , и т. д.. Точка T _A лежит напротив вершины A .

Этот треугольник Жергонна T _A T _B T _C известен также как треугольник касаний треугольника ABC .

Три прямые AT _A , BT _B и CT _C пересекаются в одной точке — точке Жергонна и обозначается Ge — X(7) . Точка Жергонна лежит внутри открытого с выколотым центром .

Интересно, что точка Жергонна треугольника является точкой пересечения симедиан треугольника Жергонна. Полный набор свойств точки Жергонна можно найти в статье Декова .

Трилинейные координаты вершин треугольника касаний задаются формулами

вершина $A=0:\sec ^{2}\left({\frac {B}{2}}\right):\sec ^{2}\left({\frac {C}{2}}\right)$ $A=0:\sec ^{2}\left({\frac {B}{2}}\right):\sec ^{2}\left({\frac {C}{2}}\right)$
вершина $B=\sec ^{2}\left({\frac {A}{2}}\right):0:\sec ^{2}\left({\frac {C}{2}}\right)$ $B=\sec ^{2}\left({\frac {A}{2}}\right):0:\sec ^{2}\left({\frac {C}{2}}\right)$
вершина $C=\sec ^{2}\left({\frac {A}{2}}\right):\sec ^{2}\left({\frac {B}{2}}\right):0$ $C=\sec ^{2}\left({\frac {A}{2}}\right):\sec ^{2}\left({\frac {B}{2}}\right):0$

Трилинейные координаты точки Жергонна

\sec ^{2}\left({\frac {A}{2}}\right):\sec ^{2}\left({\frac {B}{2}}\right):\sec ^{2}\left({\frac {C}{2}}\right)

\sec ^{2}\left({\frac {A}{2}}\right):\sec ^{2}\left({\frac {B}{2}}\right):\sec ^{2}\left({\frac {C}{2}}\right)

,

или, эквивалентно, по теореме синусов ,

{\frac {bc}{b+c-a}}:{\frac {ca}{c+a-b}}:{\frac {ab}{a+b-c}}

{\frac {bc}{b+c-a}}:{\frac {ca}{c+a-b}}:{\frac {ab}{a+b-c}}

.

Точка Жергонна является изотомическим сопряжением точки Нагеля .

Треугольник и точка Нагеля

Треугольник Нагеля (см. рис. выше) для треугольника ABC определяется вершинами T _A , T _B и T _C , которые являются точками касания вневписанных окружностей треугольника ABC и точка X _A противоположна стороне A , и т. д. Описанная вокруг треугольника T _A T _B T _C окружность называется окружностью Мандарта (частный случай эллипса Мандарта ). Три прямые AT _A , BT _B и CT _C делят периметр пополам и пересекаются в одной точке Нагеля Na — X(8) .

Трилинейные координаты точек касания треугольника вневписанными окружностями задаются формулами

вершина $A=0:\csc ^{2}\left({\frac {B}{2}}\right):\csc ^{2}\left({\frac {C}{2}}\right)$ $A=0:\csc ^{2}\left({\frac {B}{2}}\right):\csc ^{2}\left({\frac {C}{2}}\right)$
вершина $B=\csc ^{2}\left({\frac {A}{2}}\right):0:\csc ^{2}\left({\frac {C}{2}}\right)$ $B=\csc ^{2}\left({\frac {A}{2}}\right):0:\csc ^{2}\left({\frac {C}{2}}\right)$
вершина $C=\csc ^{2}\left({\frac {A}{2}}\right):\csc ^{2}\left({\frac {B}{2}}\right):0$ $C=\csc ^{2}\left({\frac {A}{2}}\right):\csc ^{2}\left({\frac {B}{2}}\right):0$

Трилинейные координаты точки Нагеля задаются формулами

\csc ^{2}\left({\frac {A}{2}}\right):\csc ^{2}\left({\frac {B}{2}}\right):\csc ^{2}\left({\frac {C}{2}}\right)

\csc ^{2}\left({\frac {A}{2}}\right):\csc ^{2}\left({\frac {B}{2}}\right):\csc ^{2}\left({\frac {C}{2}}\right)

,

или, эквивалентно, по теореме синусов ,

{\frac {b+c-a}{a}}:{\frac {c+a-b}{b}}:{\frac {a+b-c}{c}}

{\frac {b+c-a}{a}}:{\frac {c+a-b}{b}}:{\frac {a+b-c}{c}}

.

Точка Нагеля является изотомическим сопряжением точки Жергонна .

Трилинейные координаты вписанных треугольников

Трилинейные координаты вершин треугольника, образованного основаниями биссектрис, задаются формулами

вершина $A=0:1:1$ $A=0:1:1$
вершина $B=1:0:1$ $B=1:0:1$
вершина $C=1:1:0$ $C=1:1:0$

Трилинейные координаты треугольника, образованного точками касания сторон внеописанными окружностями, задаются формулами

вершина $A=-1:1:1$ $A=-1:1:1$
вершина $B=1:-1:1$ $B=1:-1:1$
вершина $C=1:-1:-1$ $C=1:-1:-1$

Уравнения окружностей

Пусть x : y : z — координаты точки в трилинейных координатах , и пусть u = cos ² (A/2) , v = cos ² (B/2) , w = cos ² (C/2) . Четыре окружности, описанные выше, можно задать любым из двух указанных способов :

Вписанная окружность:

\ u^{2}x^{2}+v^{2}y^{2}+w^{2}z^{2}-2vwyz-2wuzx-2uvxy=0

\ u^{2}x^{2}+v^{2}y^{2}+w^{2}z^{2}-2vwyz-2wuzx-2uvxy=0

\pm {\sqrt {x}}\cos {\frac {A}{2}}\pm {\sqrt {y}}\cos {\frac {B}{2}}\pm {\sqrt {z}}\cos {\frac {C}{2}}=0

\pm {\sqrt {x}}\cos {\frac {A}{2}}\pm {\sqrt {y}}\cos {\frac {B}{2}}\pm {\sqrt {z}}\cos {\frac {C}{2}}=0

A- внешневписанная:

\ u^{2}x^{2}+v^{2}y^{2}+w^{2}z^{2}-2vwyz+2wuzx+2uvxy=0

\ u^{2}x^{2}+v^{2}y^{2}+w^{2}z^{2}-2vwyz+2wuzx+2uvxy=0

\pm {\sqrt {-x}}\cos {\frac {A}{2}}\pm {\sqrt {y}}\cos {\frac {B}{2}}\pm {\sqrt {z}}\cos {\frac {C}{2}}=0

\pm {\sqrt {-x}}\cos {\frac {A}{2}}\pm {\sqrt {y}}\cos {\frac {B}{2}}\pm {\sqrt {z}}\cos {\frac {C}{2}}=0

B- внешневписанная:

\ u^{2}x^{2}+v^{2}y^{2}+w^{2}z^{2}+2vwyz-2wuzx+2uvxy=0

\ u^{2}x^{2}+v^{2}y^{2}+w^{2}z^{2}+2vwyz-2wuzx+2uvxy=0

\pm {\sqrt {x}}\cos {\frac {A}{2}}\pm {\sqrt {-y}}\cos {\frac {B}{2}}\pm {\sqrt {z}}\cos {\frac {C}{2}}=0

\pm {\sqrt {x}}\cos {\frac {A}{2}}\pm {\sqrt {-y}}\cos {\frac {B}{2}}\pm {\sqrt {z}}\cos {\frac {C}{2}}=0

C- внешневписанная:

\ u^{2}x^{2}+v^{2}y^{2}+w^{2}z^{2}+2vwyz+2wuzx-2uvxy=0

\ u^{2}x^{2}+v^{2}y^{2}+w^{2}z^{2}+2vwyz+2wuzx-2uvxy=0

\pm {\sqrt {x}}\cos {\frac {A}{2}}\pm {\sqrt {y}}\cos {\frac {B}{2}}\pm {\sqrt {-z}}\cos {\frac {C}{2}}=0

\pm {\sqrt {x}}\cos {\frac {A}{2}}\pm {\sqrt {y}}\cos {\frac {B}{2}}\pm {\sqrt {-z}}\cos {\frac {C}{2}}=0

Другие свойства вписанной окружности

Некоторые формулы с радиусом вписанной окружности

$r={\frac {p-a}{\operatorname {ctg} (\alpha /2)}}={\frac {p-b}{\operatorname {ctg} (\beta /2)}}={\frac {p-c}{\operatorname {ctg} (\gamma /2)}}$ $r={\frac {p-a}{\operatorname {ctg} (\alpha /2)}}={\frac {p-b}{\operatorname {ctg} (\beta /2)}}={\frac {p-c}{\operatorname {ctg} (\gamma /2)}}$ , $p$ $p$ — полупериметр треугольника ( Теорема котангенсов ).

Радиус вписанной окружности не больше одной девятой суммы высот треугольника .

Неравенство Эйлера : радиус вписанной окружности не превосходит половины радиуса описанной окружности и равенство имеет место лишь для равностороннего треугольника .

Предположим, что точки касания вписанной окружности делят стороны на отрезки длиной x и y , y и z , z и x . Тогда вписанная окружность имеет радиус

r={\sqrt {\frac {xyz}{x+y+z}}}

r={\sqrt {\frac {xyz}{x+y+z}}}

и площадь треугольника равна

K={\sqrt {xyz(x+y+z)}}.

K={\sqrt {xyz(x+y+z)}}.

Если высоты, опущенные на стороны a , b и c есть h _a , h _b и h _c , то радиус вписанной окружности r равен одной трети гармонического среднего этих высот, то есть

r={\frac {1}{h_{a}^{-1}+h_{b}^{-1}+h_{c}^{-1}}}.

r={\frac {1}{h_{a}^{-1}+h_{b}^{-1}+h_{c}^{-1}}}.

Произведение радиуса вписанной окружности r и радиуса описанной окружности R треугольника со сторонами a , b и c равно

rR={\frac {abc}{2(a+b+c)}}.

rR={\frac {abc}{2(a+b+c)}}.

Некоторые связи сторон, радиусов вписанной окружности и описанной окружностей :

ab+bc+ca=s^{2}+(4R+r)r,

ab+bc+ca=s^{2}+(4R+r)r,

a^{2}+b^{2}+c^{2}=2s^{2}-2(4R+r)r.

a^{2}+b^{2}+c^{2}=2s^{2}-2(4R+r)r.

Любая прямая, проходящая через треугольник и делящая площадь треугольника и периметр пополам, проходит через центр вписанной окружности. Таких прямых может существовать три, две или одна .

Перпендикуляры, восставленные к сторонам треугольника в точках касания вневписанных окружностей, пересекаются в одной точке. Эта точка симметрична центру вписанной окружности относительно центра описанной окружности .

Формулы для расстояний до центра вписанной или вневписанной окружностей

Теорема Эйлера

Теорема Эйлера утверждает, что в треугольнике :

(R-r_{in})^{2}=d^{2}+r_{in}^{2},

(R-r_{in})^{2}=d^{2}+r_{in}^{2},

где R и r _in являются радиусами описанной и вписанной окружностей соответственно, а d — расстояние между центрами этих окружностей.

Для вневписанных окружностей уравнение выглядит похоже:

(R+r_{ex})^{2}=d^{2}+r_{ex}^{2},

(R+r_{ex})^{2}=d^{2}+r_{ex}^{2},

где r _ex — радиус одной из вневписанных окружностей, а d — расстояние между центрами описанной и вневписанной окружностей

Возводя в квадрат и приводя подобные из первой формулы Эйлера выше имеем:

Квадрат расстояния от центра вписанной окружности I до центра описанной O задаётся уравнением

OI^{2}=d^{2}=R(R-2r_{in}),

OI^{2}=d^{2}=R(R-2r_{in}),

OI^{2}={\frac {abc\,}{a+b+c}}\left[{\frac {abc\,}{(a+b-c)\,(a-b+c)\,(-a+b+c)}}-1\right]

OI^{2}={\frac {abc\,}{a+b+c}}\left[{\frac {abc\,}{(a+b-c)\,(a-b+c)\,(-a+b+c)}}-1\right]

Аналогично для второй формулы:

d^{2}=R(R+2r_{ex}).

d^{2}=R(R+2r_{ex}).

Другие формулы для расстояний до центра вписанной или вневписанной окружностей

Расстояние от центра вписанной окружности до центра N окружности девяти точек равно

IN={\frac {1}{2}}(R-2r)<{\frac {1}{2}}R.

IN={\frac {1}{2}}(R-2r)<{\frac {1}{2}}R.

Расстояние от вершины до точек касания вписанной окружности на прилегающих сторонах равно полусумме длин прилегающих сторон минус половина противолежащей стороны . Так, для вершины B и прилежащих точек касания T _A и T _C ,

BT_{A}=BT_{C}={\frac {BC+AB-AC}{2}}.

BT_{A}=BT_{C}={\frac {BC+AB-AC}{2}}.

Если обозначить центр вписанной окружности треугольника ABC буквой I , мы получим

{\frac {IA\cdot IA}{CA\cdot AB}}+{\frac {IB\cdot IB}{AB\cdot BC}}+{\frac {IC\cdot IC}{BC\cdot CA}}=1

{\frac {IA\cdot IA}{CA\cdot AB}}+{\frac {IB\cdot IB}{AB\cdot BC}}+{\frac {IC\cdot IC}{BC\cdot CA}}=1

и

IA\cdot IB\cdot IC=4Rr^{2}.

IA\cdot IB\cdot IC=4Rr^{2}.

Если обозначить за I центр вписанной окружности треугольника ABC , AD — биссектриса угла A , то ${\frac {AI}{DI}}={\frac {AB+AC}{BC}}$ ${\frac {AI}{DI}}={\frac {AB+AC}{BC}}$
Центр вписанной окружности лежит в треугольнике, вершины которого являются серединами сторон треугольника .
Теорема о трезубце или теорема трилистника , или теорема Клайнэра : Если D — точка пересечения биссектрисы угла A с описанной окружностью треугольника ABC , I и J — соответственно центры вписанной и вневписанной окружности, касающейся стороны BC , тогда $|DI|=|DB|=|DC|=|DJ|$ $|DI|=|DB|=|DC|=|DJ|$ .

Теорема Мансиона (составная часть Теоремы о трезубце ). Середины трёх отрезков, соединяющих центр вписанной окружности с центрами вневписанных окружностей лежат на описанной окружности .

Теорема Харкорта . Пусть треугольник задан своими вершинами A , B и C , противоположные вершинам стороны имеют длины a , b и c , площадь равна K и прямая касается вписанной в треугольник окружности в произвольной точке. Обозначим расстояния от вершин треугольника до прямой через a ', b ' и c ', при этом, если вершина и центр окружности лежат по разные стороны от прямой, расстояние считается отрицательным. Тогда

aa^{\prime }+bb^{\prime }+cc^{\prime }=2K.

aa^{\prime }+bb^{\prime }+cc^{\prime }=2K.

.

Другие свойства вневписанных окружностей

Следующее отношение выполняется для радиуса r вписанной окружности, радиуса R описанной окружности, полупериметра s и радиусов вневписанных окружностей r _a , r _b , r _c :

r_{a}+r_{b}+r_{c}=4R+r,

r_{a}+r_{b}+r_{c}=4R+r,

r_{a}r_{b}+r_{b}r_{c}+r_{c}r_{a}=s^{2},

r_{a}r_{b}+r_{b}r_{c}+r_{c}r_{a}=s^{2},

r_{a}^{2}+r_{b}^{2}+r_{c}^{2}=(4R+r)^{2}-2s^{2},

r_{a}^{2}+r_{b}^{2}+r_{c}^{2}=(4R+r)^{2}-2s^{2},

Окружность, проходящая через центры вневписанных окружностей, имеет радиус 2 R .

Если H — ортоцентр треугольника ABC , то

r_{a}+r_{b}+r_{c}+r=AH+BH+CH+2R,

r_{a}+r_{b}+r_{c}+r=AH+BH+CH+2R,

r_{a}^{2}+r_{b}^{2}+r_{c}^{2}+r^{2}=AH^{2}+BH^{2}+CH^{2}+(2R)^{2}.

r_{a}^{2}+r_{b}^{2}+r_{c}^{2}+r^{2}=AH^{2}+BH^{2}+CH^{2}+(2R)^{2}.

Вершины A , B и C треугольника ABC являются основаниями высот треугольника J _A J _B ,J _C ,

где J _A J _B ,J _C — центры вневписанных окружностей .

Перпендикуляры, восставленные к сторонам треугольника в точках касания вневписанных окружностей, пересекаются в одной точке. Эта точка симметрична центру вписанной окружности относительно центра описанной окружности .
Центр Шпикера треугольника является радикальным центром его вневписанных окружностей . Если из центра Шпикера треугольника провести 6 касательных к 3 вневписанным окружностям треугольника, то все их длины будут равны между собой.

Окружность Аполлония

Определение окружности Аполлония

Пусть дан треугольник ABC . Пусть вневписанные окружности треугольника ABC , противоположные вершинам A , B и C , есть соответственно E _A , E _B , E _C (см. рисунок). Тогда окружность Аполлония E (на рис. справа показана зеленым цветом) касается внутренним образом сразу трех вневписанных окружностей треугольника ABC в точках соответственно E _A , E _B и E _C (см. рисунок) .

Радиус окружности Аполлония

Радиус окружности Аполлония равен ${\frac {r^{2}+s^{2}}{4r}}$ ${\frac {r^{2}+s^{2}}{4r}}$ , где r — радиус вписанной окружности и s — полупериметр треугольника .

Определение точки Аполлония Ap

Точка Аполлония Ap в Энциклопедии центров треугольника у Кларка Кимберлинга () именуется как центр треугольника под именем X(181).
Точка Аполлония Ap или X(181) определяется следующим образом:

Пусть A' , B' и C' есть точки касания окружности Аполлония E с соответствтвующими вневписанными окружностями. Тогда прямые AA' , BB' и CC' пересекаются в одной точке Ap , которую называют точкой Аполлония треугольника ABC .

Изогональное сопряжение

Изогональное сопряжение имеет ровно четыре неподвижные точки (то есть точки, которые сопряжены самим себе): центр вписанной окружности и центры вневписанных окружностей треугольника .

Ортоцентр треугольника изогонально сопряжён центру описанной окружности этого треугольника .

Обобщение на другие многоугольники

Некоторые (но не все) четырёхугольники имеют вписанную окружность. Они называются описанными четырёхугольниками . Среди свойств этих четырёхугольников наиболее важным является то, что суммы противоположных сторон равны. Это утверждение называется теоремой Пито .
Некоторые (но не все) четырёхугольники имеют вневписанную окружность. Они называются внеописанными четырёхугольниками . Среди свойств этих четырёхугольников наиболее важное свойство отмечает теорема Уркхарта . Она утверждает:
Если противоположные стороны выпуклого четырёхугольника ABCD пересекаются в точках E и F , то

AB+BC=AD+DC\quad \Leftrightarrow \quad AE+EC=AF+FC.

AB+BC=AD+DC\quad \Leftrightarrow \quad AE+EC=AF+FC.

См. также

Примечания

↑ Roger A. Johnson. . — Dover, 2007 (оригинал — 1929).. — С. , #298(d).
H.S.M. Coxeter. . — 2. — Wiley, 1961..
Marcus Baker. A collection of formulae for the area of a plane triangle. — January 1885. — Т. part 1, vol. 1(6) . — С. 134-138 . . См. также часть 2 в томе. 2(1), Сентябрь 1885, 11-18.)
D. Minda, S. Phelps. Triangles, ellipses, and cubic polynomials // American Mathematical Monthly . — October 2008. — Вып. 115 . — С. 679-689: Theorem 4.1. .
С. И. Зетель. Новая геометрия треугольника. — Москва: УЧПЕДГИЗ, 1962. — С. 52-53 Глава III.
Christopher J. Bradley, Geoff C. Smith. The locations of triangle centers // Forum Geometricorum. — 2006. — Вып. 6 . — С. 57-70. .
Deko Dekov. Computer-generated Mathematics : The Gergonne Point // Journal of Computer-generated Euclidean Geometry. — 2009. — Т. 1 . — С. 1–14. . 5 ноября 2010 года.
William Allen Whitworth. Trilinear Coordinates and Other Methods of Modern Analytical Geometry of Two Dimensions. — 2012. — С. 210-215. — (Forgotten Books).
Alfred S. Posamentier, Ingmar Lehmann. . — Prometheus Books, 2012. — С. 289.
↑ А. Д. Куланин, С. Н. Федин. Геометрия треугольника в задачах. — М. : Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2009. — ISBN 978-5-397-00786-3 .
Thomas Chu. The Pentagon. — Spring, 2005. — С. 45, задача 584..
↑ Amy Bell. Hansen’s right triangle theorem, its converse and a generalization // Forum Geometricorum. — 2006. — Вып. 6 . — С. 335–342 .
Dimitrios Kodokostas. Triangle Equalizers // Mathematics Magazine. — 2010. — Вып. 83, April . — С. 141-146. .
↑ , с. 11, п. 5.
Roger Nelson. Euler's triangle inequality via proof without words // Mathematics Magazine. — February 2008. — Вып. 81(1) . — С. 58-61 .
R. A. Johnson. Modern Geometry. — Boston: Houghton Mifflin, 1929. — С. 187.
Lev Emelyanov, Tatiana Emelyanova. Euler’s formula and Poncelet’s porism // Forum Geometricorum. — 2001. — Вып. 1 . — С. 137–140. .
↑ William N. Franzsen. The distance from the incenter to the Euler line // Forum Geometricorum. — 2011. — Т. 11 . — С. 231–236 . .
Mathematical Gazette , July 2003, 323—324.
Patricia R. Allaire, Junmin Zhou, Haishen Yao. Proving a nineteenth century ellipse identity // Mathematical Gazette. — 2012. — Вып. 96, March . — С. 161-165. .
Nathan Altshiller-Court. College Geometry. — Dover Publications, 1980. — С. 121,#84.
, с. 35—40.
Darij Grinberg, Paul Yiu. The Apollonius Circle as a Tucker Circle // Forum Geometricorum. — 2002. — Вып. 2 . — С. 175-182 .
Milorad R. Stevanovi´c. The Apollonius circle and related triangle centers // Forum Geometricorum. — 2003. — Вып. 3 . — С. 187-195. .
↑ В. В. Прасолов. Точки Брокара и изогональное сопряжение. — М. : МЦНПО, 2000. — (Библиотека «Математическое просвещение»). — ISBN 5-900916-49-9 .

Литература

Мякишев А.Г. Элементы геометрии треугольника. — М. : МЦНМО, 2002.
Clark Kimberling. Triangle Centers and Central Triangles // Congressus Numerantium. — 1998. — Вып. 129 . — С. i-xxv, 1-295 .
Sándor Kiss. The Orthic-of-Intouch and Intouch-of-Orthic Triangles // Congressus Numerantium. — 2006. — Вып. 6 . — С. 171—177 .
Boris Odenhal. Some triangle centers associated with the circles tangent to the excircles // Forum Geometricorum. — 2010. — Т. 10 .