Соприкаса́ющаяся окру́жность , окру́жность кривизны́ — окружность , являющаяся наилучшим приближением заданной кривой в окрестности данной точки . В этой точке кривая и означенная окружность имеют касание , порядок которого не ниже 2. Окружность кривизны существует в каждой точке дважды дифференцируемой кривой с отличной от нуля кривизной ; в случае нулевой кривизны в качестве соприкасающейся надлежит рассматривать касательную прямую — «окружность бесконечного радиуса».

Соприкасающаяся окружность (или прямая) в точке ${\displaystyle P}$ кривой также может быть определена как предельное положение окружности (или прямой), проходящей через ${\displaystyle P}$ и две близкие к ней точки ${\displaystyle P_{1},\ P_{2}}$ , когда ${\displaystyle P_{1},\ P_{2}}$ стремятся к ${\displaystyle P}$ .

Связанные определения

• Центр соприкасающейся окружности называют центром кривизны , а радиус — радиусом кривизны . Радиус кривизны является величиной, обратной кривизне кривой в заданной точке:

  ${\displaystyle r^{-1}=k}$

• Геометрическое место центров кривизны кривой называется эволютой .

Координаты центра кривизны

Центр кривизны функции ${\displaystyle y=f(x)}$ в точке ${\displaystyle (x_{0},f(x_{0}))}$ находится в следующей точке :

${\displaystyle {\Bigg (}x_{0}-{\frac {f'(x_{0})(1+(f'(x_{0}))^{2})}{f''(x_{0})}},f(x_{0})+{\frac {1+(f'(x_{0}))^{2}}{f''(x_{0})}}{\Bigg)}}$

Свойства

• Центр соприкасающейся окружности всегда лежит на главной нормали кривой; отсюда следует, что эта нормаль всегда направлена в сторону вогнутости кривой.
• Инверсия соприкасающейся окружности есть соприкасающеяся окружность инверсии кривой в соответствующей точке.
• В вершинах кривой и только в них порядок касания соприкасающейся окружности превосходит 2.
• Теорема Тэйта — Кнезера утверждает, что если кривизна гладкой плоской кривой монотонна, то соприкасающиеся окружности этой кривой вложены друг в друга.

История

Понятие соприкасающейся окружности ( лат. circulum osculans) было введено Лейбницем . Соответствующая геометрическая конструкция содержатся также в книге « Математические начала натуральной философии » Исаака Ньютона .

Вариации и обобщения

• Соприкасающаяся сфера пространственной кривой ${\displaystyle \gamma }$ есть сфера ${\displaystyle \Sigma _{s}}$ с центром в точке

  ${\displaystyle p(s)=\gamma (s)+{\tfrac {1}{k(s)}}\cdot \nu (s)-{\tfrac {k'(s)}{k^{2}(s)\cdot \varkappa (s)}}\cdot \beta (s)}$

проходящая через ${\displaystyle \gamma (s)}$ . Здесь ${\displaystyle k(s)}$ и ${\displaystyle \varkappa (s)}$ обозначают кривизну и кручение кривой, ${\displaystyle \tau }$ , ${\displaystyle \nu }$ , ${\displaystyle \beta }$ — трёхгранник Френе .

• В случае если кривизна и кручение кривой отличны от нуля соприкасающаяся сфера определена и является единственной сферой, с которой кривая имеет степень соприкосновения хотя бы 3.

Примечания