Interested Article - Предел числовой последовательности

Предел числовой последовательности — предел последовательности элементов числового пространства. Числовое пространство — это метрическое пространство , расстояние в котором определяется как модуль разности между элементами. Поэтому, число $a$ $a$ называется пределом последовательности $\{x_{n}\}$ $\{ x_n \}$ , если для любого $\varepsilon >0$ $\varepsilon > 0$ существует номер $N_{\varepsilon }$ $N_\varepsilon$ , зависящий от $\varepsilon$ $\varepsilon$ , такой, что для любого $n>N_{\varepsilon }$ $n > N_\varepsilon$ выполняется неравенство $\ |x_{n}-a|<\varepsilon$ $\ |x_n - a| < \varepsilon$ .

В случае комплексных чисел существование предела последовательности равносильно существованию пределов соответствующих последовательностей вещественных и мнимых частей комплексных чисел.

Предел (числовой последовательности) — одно из основных понятий математического анализа . Каждое вещественное число может быть представлено как предел последовательности приближений к нужному значению. Система счисления предоставляет такую последовательность уточнений. Целые и рациональные числа описываются периодическими последовательностями приближений, в то время как иррациональные числа описываются непериодическими последовательностями приближений. В численных методах , где используется представление чисел с конечным числом знаков, особую роль играет выбор системы приближений. Критерием качества системы приближений является скорость сходимости. В этом отношении, оказываются эффективными представления чисел в виде цепных дробей .

История

Понятие предела последовательности использовалось ещё Ньютоном во второй половине XVII века и математиками XVIII века , такими как Эйлер и Лагранж , однако они понимали предел интуитивно. Первые строгие определения предела последовательности дали Больцано в 1816 году и Коши в 1821 году .

Определение

Число $a\in \mathbb {R}$ $a\in \mathbb {R}$ называется пределом числовой последовательности $\{x_{n}\}$ $\{x_n\}$ , если последовательность $\{x_{n}-a\}$ $\{x_{n}-a\}$ является бесконечно малой, то есть все её элементы, начиная с некоторого, по модулю меньше любого заранее взятого положительного числа.

\lim _{n\to \infty }x_{n}=a~\Leftrightarrow ~\forall \varepsilon >0~\exists N(\varepsilon)\in \mathbb {N} \colon ~n\geqslant N~\Rightarrow |x_{n}-a|<\varepsilon

\lim _{n\to \infty }x_{n}=a~\Leftrightarrow ~\forall \varepsilon >0~\exists N(\varepsilon)\in \mathbb {N} \colon ~n\geqslant N~\Rightarrow |x_{n}-a|<\varepsilon

(для всякого малого эпсилон найдётся номер, начиная с которого элементы последовательности будут отличаться от предела меньше чем на эпсилон)

Если число $a\in \mathbb {R}$ $a\in \mathbb {R}$ является пределом числовой последовательности $\{x_{n}\}$ $\{x_n\}$ , то говорят также, что последовательность $\{x_{n}\}$ $\{x_n\}$ сходится к $a$ $a$ . Если никакое вещественное число не является пределом последовательности $\{x_{n}\}$ $\{x_n\}$ , её называют расходящейся .

Для некоторых последовательностей предел полагают равным бесконечности . А именно, говорят, что последовательность $\{x_{n}\}$ $\{x_n\}$ стремится к бесконечности , если для любого вещественного числа все члены последовательности, начиная с некоторого, оказываются по модулю больше этого числа. Формально,

\lim _{n\to \infty }x_{n}=\infty ~\Leftrightarrow ~\forall E>0~\exists N(E)\in \mathbb {N} \colon ~\forall n\geqslant N\Rightarrow |x_{n}|>E

\lim_{n \to \infty} x_n = \infty ~ \Leftrightarrow ~ \forall E > 0 ~ \exists N (E) \in \N \colon ~ \forall n \geqslant N \Rightarrow |x_n| > E

Кроме того, если все элементы стремящейся к бесконечности последовательности, начиная с некоторого номера, имеют положительный знак, то говорят, что предел такой последовательности равен плюс бесконечности .

\lim _{n\to \infty }x_{n}=+\infty ~\Leftrightarrow ~\forall E>0~\exists N(E)\in \mathbb {N} \colon ~\forall n\geqslant N\Rightarrow x_{n}>E

\lim_{n \to \infty} x_n = +\infty ~ \Leftrightarrow ~ \forall E > 0 ~ \exists N (E) \in \N \colon ~ \forall n \geqslant N \Rightarrow x_n > E

Если же элементы стремящейся к бесконечности последовательности, начиная с некоторого номера, имеют отрицательный знак, то говорят, что предел такой последовательности равен минус бесконечности .

\lim _{n\to \infty }x_{n}=-\infty ~\Leftrightarrow ~\forall E>0~\exists N(E)\in \mathbb {N} \colon ~\forall n\geqslant N\Rightarrow x_{n}<-E

\lim_{n \to \infty} x_n = -\infty ~ \Leftrightarrow ~ \forall E > 0 ~ \exists N (E) \in \N \colon ~ \forall n \geqslant N \Rightarrow x_n < -E

Любая последовательность, стремящаяся к бесконечности — неограниченная . Однако обратное неверно.

Частичный предел последовательности — это предел одной из её подпоследовательностей .

Верхний предел последовательности — это наибольшая из её предельных точек (что равносильно, наибольший частичный предел).

Нижний предел последовательности — это наименьшая из её предельных точек.

Обозначения

Тот факт, что последовательность $\{x_{n}\}$ $\{x_n\}$ сходится к числу $a$ $a$ обозначается одним из следующих способов:

$\lim _{n\to \infty }x_{n}=a$ $\lim_{n \to \infty} x_n = a$

или

$x_{n}~{\xrightarrow[{n\to \infty }]{}}~a$ $x_n ~ \xrightarrow[n \to \infty]{} ~ a$

Свойства

Существуют определённые особенности для предела последовательностей вещественных чисел .

Можно дать альтернативные определения предела последовательности. Например, называть пределом число, в любой окрестности которого содержится бесконечно много элементов последовательности, в то время, как вне таких окрестностей содержится лишь конечное число элементов. Таким образом, пределом последовательности может быть только предельная точка множества её элементов. Это определение согласуется с общим определением предела для топологических пространств.

Это определение обладает неустранимым недостатком: оно объясняет, что такое предел, но не даёт ни способа его вычисления, ни информации о его существовании. Всё это выводится из приводимых ниже (доказуемых по определению) свойств предела.

Свойства

Единственность предела.

$\lim _{n\to \infty }x_{n}=a,\;\lim _{n\to \infty }x_{n}=b\;\Rightarrow \;a=b$ $\lim _{n\to \infty }x_{n}=a,\;\lim _{n\to \infty }x_{n}=b\;\Rightarrow \;a=b$

Арифметические свойства

взятия предела числовой последовательности является линейным , то есть проявляет два свойства линейных отображений.
- Аддитивность . Предел суммы числовых последовательностей есть сумма их пределов, если каждый из них существует.
  
  $\lim _{n\to \infty }(x_{n}+y_{n})=\lim _{n\to \infty }x_{n}+\lim _{n\to \infty }y_{n}$ $\lim_{n \to \infty} (x_n + y_n) = \lim_{n \to \infty} x_n + \lim_{n \to \infty} y_n$
- Однородность . Константу можно выносить из-под знака предела.
  
  $\forall k\in \mathbb {R} \colon \lim _{n\to \infty }kx_{n}=k\lim _{n\to \infty }x_{n}$ $\forall k \in \R \colon \lim_{n \to \infty} k x_n = k \lim_{n \to \infty} x_n$
Предел произведения числовых последовательностей факторизуется на произведение пределов, если каждый из них существует.

$\lim _{n\to \infty }(x_{n}\cdot y_{n})=\lim _{n\to \infty }x_{n}\cdot \lim _{n\to \infty }y_{n}$ $\lim_{n \to \infty}(x_n \cdot y_n) = \lim_{n \to \infty} x_n \cdot \lim_{n \to \infty} y_n$
Предел отношения числовых последовательностей есть отношение их пределов, если эти пределы существуют и последовательность-делитель не является бесконечно малой.

$\lim _{n\to \infty }{\frac {x_{n}}{y_{n}}}={\frac {\lim \limits _{n\to \infty }x_{n}}{\lim \limits _{n\to \infty }y_{n}}}$ $\lim _{{n\to \infty }}{\frac {x_{n}}{y_{n}}}={\frac {\lim \limits _{{n\to \infty }}x_{n}}{\lim \limits _{{n\to \infty }}y_{n}}}$

Свойства сохранения порядка

Если все элементы сходящейся последовательности, начиная с некоторого номера, не превышают некоторого числа, то и предел этой последовательности также не превышает этого числа.

$\exists N\in \mathbb {N} ~\forall n\geqslant N\colon x_{n}\leqslant a~\Rightarrow ~\lim _{n\to \infty }x_{n}\leqslant a$ $\exists N \in \N ~ \forall n \geqslant N \colon x_n \leqslant a ~ \Rightarrow ~ \lim_{n \to \infty} x_n \leqslant a$
Если некоторое число не превышает все элементы сходящейся последовательности, начиная с некоторого номера, то оно также не превышает и предела этой последовательности.

$\exists N\in \mathbb {N} ~\forall n\geqslant N\colon x_{n}\geqslant a~\Rightarrow ~\lim _{n\to \infty }x_{n}\geqslant a$ $\exists N \in \N ~ \forall n \geqslant N \colon x_n \geqslant a ~ \Rightarrow ~ \lim_{n \to \infty} x_n \geqslant a$
Если некоторое число строго превышает все элементы сходящейся последовательности, начиная с некоторого номера, то предел этой последовательности не превышает этого числа.

$\exists N\in \mathbb {N} ~\forall n\geqslant N\colon x_{n}<a~\Rightarrow ~\lim _{n\to \infty }x_{n}\leqslant a$ $\exists N \in \N ~ \forall n \geqslant N \colon x_n < a ~ \Rightarrow ~ \lim_{n \to \infty} x_n \leqslant a$
Если все элементы сходящейся последовательности, начиная с некоторого номера, строго превышают некоторое число, то это число не превышает предела этой последовательности.

$\exists N\in \mathbb {N} ~\forall n\geqslant N\colon x_{n}>a~\Rightarrow ~\lim _{n\to \infty }x_{n}\geqslant a$ $\exists N \in \N ~ \forall n \geqslant N \colon x_n > a ~ \Rightarrow ~ \lim_{n \to \infty} x_n \geqslant a$
Если, начиная с некоторого номера, все элементы одной сходящейся последовательности не превышают соответствующих элементов другой сходящейся последовательности, то и предел первой последовательности не превышает предела второй.

$\exists N\in \mathbb {N} ~\forall n\geqslant N\colon x_{n}\leqslant y_{n}~\Rightarrow ~\lim _{n\to \infty }x_{n}\leqslant \lim _{n\to \infty }y_{n}$ $\exists N \in \N ~ \forall n \geqslant N \colon x_n \leqslant y_n ~ \Rightarrow ~ \lim_{n \to \infty} x_n \leqslant \lim_{n \to \infty} y_n$
Для числовых последовательностей справедлива теорема о двух милиционерах (принцип двустороннего ограничения).

$\exists N\in \mathbb {N} ~\forall n\geqslant N\colon x_{n}\leqslant z_{n}\leqslant y_{n}~\Rightarrow ~\lim _{n\to \infty }x_{n}\leqslant \lim _{n\to \infty }z_{n}\leqslant \lim _{n\to \infty }y_{n}$ $\exists N \in \N ~ \forall n \geqslant N \colon x_n \leqslant z_n \leqslant y_n ~ \Rightarrow ~ \lim_{n \to \infty} x_n \leqslant \lim_{n \to \infty} z_n \leqslant \lim_{n \to \infty} y_n$

Другие свойства

Сходящаяся числовая последовательность имеет только один предел.

$\lim _{n\to \infty }x_{n}=a~\land ~\lim _{n\to \infty }x_{n}=b~\Rightarrow ~a=b$ $\lim_{n \to \infty} x_n = a ~ \land ~ \lim_{n \to \infty} x_n = b ~ \Rightarrow ~ a = b$

Замкнутость . Если все элементы сходящейся числовой последовательности лежат на некотором отрезке , то на этом же отрезке лежит и её предел.

$\forall n\in \mathbb {N} \colon x_{n}\in [a,~b]~\Rightarrow ~\lim _{n\to \infty }x_{n}\in [a,~b]$ $\forall n \in \N \colon x_n \in [a,~b] ~ \Rightarrow ~ \lim_{n \to \infty} x_n \in [a,~b]$

Предел последовательности из одного и того же числа равен этому числу.

$\lim _{n\to \infty }x=x$ $\lim_{n \to \infty} x = x$

Замена или удаление конечного числа элементов в сходящейся числовой последовательности не влияет на её предел.

У возрастающей ограниченной сверху последовательности есть предел. То же верно для убывающей ограниченной снизу последовательности.
Произведение бесконечно большой и ограниченной снизу последовательности является бесконечно большой последовательностью.

Имеет место теорема Штольца .

Если у последовательности $x_{n}$ $x_n$ существует предел, то последовательность средних арифметических ${\frac {x_{1}+\dots +x_{n}}{n}}$ $\frac{x_1 + \dots + x_n}{n}$ имеет тот же предел (следствие из теоремы Штольца).

Если у последовательности чисел $\{x_{n}\}$ $\{x_n\}$ существует предел $x$ $x$ , и если задана функция $f(x)$ $f(x)$ , определённая для каждого $x_{n}$ $x_{n}$ и непрерывная в точке $x$ $x$ , то

$\lim _{n\to \infty }{f(x_{n})}=f(x)$ $\lim_{n\to\infty}{f(x_{n})}=f(x)$

Примеры

$\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {(-1)^{n}}{n}}=0$ $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = \lim_{n \to \infty} \frac{(-1)^n}{n} = 0$

$\forall q\in \mathbb {R} \colon \lim _{n\to \infty }{\frac {q^{n}}{n!}}=0$ $\forall q \in \R \colon \lim_{n \to \infty} \frac{q^n}{n!} = 0$

$\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{n}}=1$ $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1$

$\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}=e$ $\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n} \right)^n = e$

$\forall a\in \mathbb {R} \setminus \{0\}\colon \lim _{n\to \infty }\underbrace {\sqrt {a+{\sqrt {a+\cdots +{\sqrt {a}}}}}} _{n}={\frac {1+{\sqrt {1+4a}}}{2}}$ $\forall a \in \R\setminus\{0\} \colon \lim_{n \to \infty} \underbrace{\sqrt{a + \sqrt{a + \cdots + \sqrt{a}}}}_{n} = \frac{1 + \sqrt{1 + 4 a}}{2}$

$\lim _{n\to \infty }x_{n}=x~\Rightarrow ~\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{\prod _{k=1}^{n}x_{k}}}=x$ $\lim_{n \to \infty} x_n = x ~ \Rightarrow ~ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\prod_{k = 1}^{n} x_k} = x$

$\forall n\in \mathbb {N} \colon x_{n}>0~\Rightarrow ~\lim _{n\to \infty }{\frac {x_{n+1}}{x_{n}}}=\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{x_{n}}}$ $\forall n \in \N \colon x_n > 0 ~ \Rightarrow ~ \lim_{n \to \infty} \frac{x_{n+1}}{x_n} = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{x_n}$

$\lim _{n\to \infty }n=+\infty$ $\lim_{n \to \infty} n = +\infty$

$\nexists \lim _{n\to \infty }(-1)^{n}$ $\nexists \lim_{n \to \infty} (-1)^n$

Случай комплексных чисел

Комплексное число $a$ $a$ называется пределом последовательности $\{z_{n}\}$ $\{z_n\}$ , если для любого положительного числа $\varepsilon$ $\varepsilon$ можно указать такой номер $N=N(\varepsilon)$ $N=N(\varepsilon)$ , начиная с которого все элементы $z_{n}$ $z_n$ этой последовательности удовлетворяют неравенству
$|z_{n}-a|<\varepsilon$ $|z_n - a|< \varepsilon$ при $n\geqslant N(\varepsilon)$ $n\geqslant N(\varepsilon)$

Последовательность $\{z_{n}\}$ $\{z_n\}$ , имеющая предел $a$ $a$ , называется сходящейся к числу $a$ $a$ , что записывается в виде $\lim \limits _{n\to \infty }z_{n}=a$ $\lim \limits _{{n\to \infty }}z_{n}=a$ .

Примеры

Не у всякой ограниченной последовательности существует предел. Например, если взять в качестве пространства множество вещественных чисел со стандартной топологией, а в качестве $x_{n}$ $x_n$ последовательность $x_{n}=(-1)^{n}$ $x_n = (-1)^n$ , то у неё не будет предела (однако у неё можно найти верхний и нижний пределы, $1,-1$ $1, -1$ , то есть пределы её подпоследовательностей — частичные пределы ).

См. также

Примечания

Здесь подразумевается повторение чисел в записи числа в некоторой фиксированной системе счисления.
В. А. Ильин , В. А. Садовничий , Бл. Х. Сендов . Глава 3. Теория пределов // / Под ред. А. Н. Тихонова . — 3-е изд. , перераб. и доп. — М. : Проспект, 2006. — Т. 1. — С. 68—105. — 672 с. — ISBN 5-482-00445-7 . 23 июня 2015 года.