Interested Article - Действия с числовыми рядами

Действия с числовыми рядами — некоторые (арифметические или перестановочные) манипуляции с одним или несколькими числовыми рядами . Эти действия могут сохранять или нарушать вид сходимости.

Сохраняющий условную сходимость

Выделяют следующие действия с числовыми рядами (они имеют смысл, то есть сохраняют сумму ряда, только если она существует):

Линейная комбинация рядов

Если ряды $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ и $\sum _{k=1}^{\infty }b_{k}$ $\sum _{k=1}^{\infty }b_{k}$ сходятся, то сходится и ряд $\sum _{k=1}^{\infty }(\alpha a_{k}+\beta b_{k})$ $\sum _{k=1}^{\infty }(\alpha a_{k}+\beta b_{k})$ (α, β — постоянные ), при этом

$\sum _{k=1}^{\infty }(\alpha a_{k}+\beta b_{k})=\alpha \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}+\beta \sum _{k=1}^{\infty }b_{k}$ $\sum _{k=1}^{\infty }(\alpha a_{k}+\beta b_{k})=\alpha \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}+\beta \sum _{k=1}^{\infty }b_{k}$

Группировка членов ряда

Сгруппируем слагаемые ряда $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ , объединив без изменения порядка следования по нескольку (конечное число) членов ряда. Получим некоторый новый ряд $\sum _{k=1}^{\infty }b_{k}$ $\sum _{k=1}^{\infty }b_{k}$ . Раскрытие скобок в ряде в общем случае недопустимо, однако: если после раскрытия скобок получается сходящийся ряд, то раскрытие скобок возможно; если в каждой скобке все слагаемые имеют один и тот же знак, то раскрытие скобок не нарушает сходимости и не изменяет величину суммы.

Другие

Перемножение рядов

Пусть имеются два ряда $(A)=\sum _{i\geqslant 1}a_{i}$ $(A)=\sum _{i\geqslant 1}a_{i}$ и $(B)=\sum _{j\geqslant 1}b_{j}$ $(B)=\sum _{j\geqslant 1}b_{j}$ .

Чтобы их перемножить, нужно, как и в случае конечных сумм, взять все попарные произведения $a_{i}b_{j}$ $a_{i}b_{j}$ и сложить. Однако, в отсутствие абсолютной сходимости, существенную роль играет порядок сложения этих чисел, поэтому существует несколько различных правил перемножения рядов, отличающихся этим порядком, а также определённой группировкой слагаемых. Так, например, по разным правилам перемножаются степенные (мультистепенные) ряды, ряды Дирихле , ряды Фурье и другие виды рядов. Результатом перемножения рядов (A) и (B) является ряд (C): $\sum _{n\geqslant 1}c_{n}$ $\sum _{n\geqslant 1}c_{n}$ , где $c_{n}$ $c_n$ - сумма некоторой группы членов $a_{i}b_{j}$ $a_{i}b_{j}$ .

Для применения произведений рядов важно, чтобы соблюдалось ключевое правило (принцип мультипликативности суммы ряда): Сумма ряда-произведения должна быть равна произведению сумм рядов-множителей .

Это, однако, не всегда так - мультипликативность имеет место лишь при определённых условиях. Примеры произведений и условий выполнимости принципа мультипликативности:

1. Прямое произведение рядов - простейшее и естественнейшее (но не общепринятое!) правило перемножения рядов. В этом случае

$c_{n}=\sum \limits _{\max\{i,j\}=n}a_{i}b_{j}$ $c_{n}=\sum \limits _{\max\{i,j\}=n}a_{i}b_{j}$ - по определению;
$c_{1}+c_{2}+\ldots +c_{n}=(a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n})(b_{1}+b_{2}+\ldots +b_{n})$ $c_{1}+c_{2}+\ldots +c_{n}=(a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n})(b_{1}+b_{2}+\ldots +b_{n})$ (частичная сумма ряда-произведения равна произведению соответствующих частичных сумм рядов-множителей);
Мультипликативность: $\sum \limits _{n\geqslant 1}c_{n}=\sum \limits _{i\geqslant 1}a_{i}\sum \limits _{j\geqslant 1}b_{j}$ $\sum \limits _{n\geqslant 1}c_{n}=\sum \limits _{i\geqslant 1}a_{i}\sum \limits _{j\geqslant 1}b_{j}$ - всегда, как только сходятся ряды (A) и (B) (сходимость ряда (C) будет обеспечена в этом случае автоматически).

2. Правило Коши перемножения рядов (соответствует правилу перемножения степенных рядов, также является общепринятым для рядов общего вида):

$c_{n}=\sum \limits _{i+j=n}a_{i}b_{j}$ $c_{n}=\sum \limits _{i+j=n}a_{i}b_{j}$ - по определению;
Мультипликативность: ∑ n ⩾ 1 c n = ∑ i ⩾ 1 a i ∑ j ⩾ 1 b j {\displaystyle \sum \limits _{n\geqslant 1}c_{n}=\sum \limits _{i\geqslant 1}a_{i}\sum \limits _{j\geqslant 1}b_{j}} , при одном из условий:
1. если сходятся все три ряда (A), (B), (C) (условие Абеля );
2. ряды (A) и (B) сходятся, причём один из них - абсолютно (условие).

3. Правило Дирихле - применяется для перемножения рядов специального вида ( ряды Дирихле )

$c_{n}=\sum \limits _{i\cdot j=n}a_{i}b_{j}$ $c_{n}=\sum \limits _{i\cdot j=n}a_{i}b_{j}$ - по определению;
Мультипликативность: $\sum \limits _{n\geqslant 1}c_{n}=\sum \limits _{i\geqslant 1}a_{i}\sum \limits _{j\geqslant 1}b_{j}$ $\sum \limits _{n\geqslant 1}c_{n}=\sum \limits _{i\geqslant 1}a_{i}\sum \limits _{j\geqslant 1}b_{j}$ , при условии, что ряды (A) и (B) сходятся, причём один из них - абсолютно (условие Мертенса).

Пример , когда ряды (A) и (B) сходятся (неабсолютно), а их произведение по правилу Коши - расходится: $a_{n}=b_{n}=(-1)^{n}/{\sqrt {n}}$ $a_{n}=b_{n}=(-1)^{n}/{\sqrt {n}}$ , при $n\geqslant 1$ $n\geqslant 1$ .

Тогда, если $i+j=n$ $i+j=n$ , то $|a_{i}b_{j}|\geqslant {\frac {2}{n}}$ $|a_{i}b_{j}|\geqslant {\frac {2}{n}}$ , и модуль общего члена ряда $|c_{n}|\geqslant (n-1)\cdot {\frac {2}{n}}$ $|c_{n}|\geqslant (n-1)\cdot {\frac {2}{n}}$ не стремится к нулю.

Перестановка членов ряда

Если ряд сходится абсолютно , то любой ряд, полученный из него перестановкой членов, также сходится абсолютно и имеет ту же сумму, что и исходный ряд ( теорема о перестановке ряда ).
Если ряд сходится условно , то для любого наперёд заданного действительного числа (а также для $+\infty$ $+\infty$ , $-\infty$ $-\infty$ ) можно так переставить члены этого ряда, что преобразованный ряд сходится к этому числу (расходится к $+\infty$ $+\infty$ , $-\infty$ $-\infty$ ), либо предел последовательности частичных сумм не будет существовать ( теорема Римана ).