Interested Article - Теория Янга — Миллса

Тео́рия Я́нга — Ми́ллса — калибровочная теория с неабелевой калибровочной группой . Калибровочные поля в этой теории называются полями Янга — Миллса . Такие теории были предложены в 1954 году Чжэньином Янгом и Робертом Миллсом , и первое время рассматривались лишь как математические поиски, не имеющие отношения к реальности . Однако в 1960—1970-х годах на основе теорий Янга — Миллса были созданы две краеугольные теории стандартной модели в физике элементарных частиц : квантовая хромодинамика (теория сильных взаимодействий ) на основе группы SU(3) и теория электрослабых взаимодействий на основе групп SU(2) × U(1) .

Характерные свойства

Неабелевость группы означает, что поля-переносчики взаимодействий Янга — Миллса могут взаимодействовать сами с собой и друг с другом. Это влечёт за собой то, что уравнения, описывающие эволюцию полей Янга — Миллса, являются нелинейными (в противоположность линейным уравнениям Максвелла , отвечающим абелевой теории). Можно также сказать, что для полей Янга — Миллса не выполняется принцип суперпозиции .

Кванты полей Янга — Миллса являются векторными частицами (то есть бозонами со спином 1) и обладают нулевой массой. Однако с помощью механизма спонтанного нарушения симметрии физические поля Янга — Миллса могут приобретать ненулевую массу.

Нелинейность уравнений Янга — Миллса делает их очень сложными для решения. В режиме малой константы связи эти уравнения удаётся решить приближённо в виде ряда теории возмущений , однако как решить эти уравнения в режиме сильной связи , пока неизвестно. Неизвестно также, как именно эта нелинейность приводит к наблюдаемому в нашем мире конфайнменту в сильных взаимодействиях. Проблема решения уравнений Янга — Миллса в общем случае является одной из семи математических « Проблем тысячелетия », за решение любой из которых Математический институт Клэя присудит премию в 1 миллион долларов США.

Математика

Теории Янга — Миллса — частный пример калибровочной теории поля с неабелевой группой калибровочной симметрии. Лагранжиан свободного поля Янга — Миллса таких теорий имеет определённый вид

\ {\mathcal {L}}_{\mathrm {gf} }=-{\frac {1}{4}}\operatorname {Tr} \left(F^{2}\right)=-{\frac {1}{4}}F^{\mu \nu a}F_{\mu \nu }^{a},

\ {\mathcal {L}}_{\mathrm {gf} }=-{\frac {1}{4}}\operatorname {Tr} \left(F^{2}\right)=-{\frac {1}{4}}F^{\mu \nu a}F_{\mu \nu }^{a},

где $F$ $F$ — 2-форма напряжённости поля Янга — Миллса, остающаяся инвариантной при воздействии на тензор-потенциал $A_{\mu }^{a}$ $A^a_\mu$ калибровочной группы:

\ F_{\mu \nu }^{a}=\partial _{\mu }A_{\nu }^{a}-\partial _{\nu }A_{\mu }^{a}+gf^{abc}A_{\mu }^{b}A_{\nu }^{c},

\ F_{\mu \nu}^a = \partial_\mu A_\nu^a-\partial_\nu A_\mu^a+gf^{abc}A_\mu^bA_\nu^c,

где под $\partial _{\mu }$ $\partial_\mu$ понимается ковариантная производная в пространстве-времени, в пространстве Минковского в галилеевых координатах сводящаяся к обычной частной производной.

Порождающие алгебры Ли калибровочной группы $T^{a}$ $T^a$ удовлетворяют соотношению

\ [T^{a},T^{b}]=if^{abc}T^{c}

\ [T^{a},T^{b}]=if^{abc}T^{c}

,

где $f^{abc}$ $f^{abc}$ называются структурными константами группы .

Ковариантные (иногда называемые удлинёнными) производные полей, взаимодействующих через поля Янга — Миллса данной теории, определены как:

\ D_{\mu }=I\partial _{\mu }-igT^{a}A_{\mu }^{a}

\ D_\mu=I\partial_\mu-igT^aA^a_\mu

,

где $I$ $I$ — единичный оператор, а $g$ $g$ — это константа взаимодействия . В четырёхмерном пространстве-времени константа взаимодействия $g$ $g$ — это безразмерная величина. Для групп $SU(N)$ $SU(N)$ $a,b,c=1\ldots N^{2}-1$ $a,b,c=1\ldots N^{2}-1$ .

Вышеприведённое определение $F_{\mu \nu }^{a}$ $F_{\mu \nu}^a$ может быть получено исходя из коммутатора:

\ [D_{\mu },D_{\nu }]=-igT^{a}F_{\mu \nu }^{a}

\ [D_{\mu },D_{\nu }]=-igT^{a}F_{\mu \nu }^{a}

.

Само поле Янга — Миллса оказывается при этом самодействующим, а получающиеся уравнения движения:

\partial ^{\mu }F_{\mu \nu }^{a}+gf^{abc}A^{\mu b}F_{\mu \nu }^{c}=0

\partial ^{\mu }F_{\mu \nu }^{a}+gf^{abc}A^{\mu b}F_{\mu \nu }^{c}=0

называются полулинейными. В случае малой константы связи $g<1$ $g<1$ в данной теории применима теория возмущений .

Переход между «верхним» («контравариантным») и «нижним» («ковариантным») векторными или тензорными компонентами тривиальны для групповых латинских индексов (например, $f^{abc}=f_{abc}$ $f^{abc}=f_{abc}$ , в групповом пространстве введена евклидова метрика), но нетривиальны для пространственно-временных греческих индексов, которые жонглируются метрикой пространства-времени , в простейшем случае — обычной метрикой Минковского $\eta _{\mu \nu }={\rm {diag}}\,(+---)$ $\eta_{\mu \nu }={\rm diag}\,(+---)$ .

С введением $F_{\mu \nu }=T^{a}F_{\mu \nu }^{a}$ $F_{\mu\nu}=T^aF^a_{\mu\nu}$ уравнения движения можно переписать так:

(D^{\mu }F_{\mu \nu })^{a}=0.

(D^{\mu }F_{\mu \nu })^{a}=0.

Так как $F$ $F$ — 2-форма, то выполняется тождество Бьянки :

\ (D_{\mu }F_{\nu \kappa })^{a}+(D_{\kappa }F_{\mu \nu })^{a}+(D_{\nu }F_{\kappa \mu })^{a}=0

\ (D_{\mu }F_{\nu \kappa })^{a}+(D_{\kappa }F_{\mu \nu })^{a}+(D_{\nu }F_{\kappa \mu })^{a}=0

.

Источник $J_{\mu }^{a}$ $J_\mu^a$ входит в уравнения движения как:

\partial ^{\mu }F_{\mu \nu }^{a}+gf^{abc}A^{\mu b}F_{\mu \nu }^{c}=-J_{\nu }^{a}

\partial ^{\mu }F_{\mu \nu }^{a}+gf^{abc}A^{\mu b}F_{\mu \nu }^{c}=-J_{\nu }^{a}

.

(Токи тоже должны правильно меняться при калибровочных преобразованиях.)

В $D$ $D$ измерениях пространства-времени поле масштабируется как $[A]=\left[L^{\frac {2-D}{2}}\right]$ $[A]=\left[L^{\frac {2-D}{2}}\right]$ и, таким образом, взаимодействие должно иметь размерность $\left[g^{2}\right]={\Big [}L^{D-4}{\Big ]}$ $\left[g^{2}\right]={\Big [}L^{D-4}{\Big ]}$ . Это означает, что теории Янга — Миллса не перенормируемы для размерностей пространства-времени больше, чем четыре (см. также Антропный принцип ). Кроме того, для $D=4$ $D=4$ константа связи безразмерна, а поле и квадрат константы взаимодействия имеют одинаковые размерности с полем и константой взаимодействия с самодействием $\phi ^{4}$ $\phi^4$ . Таким образом, эти теории имеют одинаковую масштабную инвариантность на классическом уровне.

Примечания

C. N. Yang , R. Mills . Conservation of Isotopic Spin and Isotopic Gauge Invariance (англ.) // Physical Review : journal. — 1954. — Vol. 96 , no. 1 . — P. 191—195 . — doi : .
См. Предисловие в книге Девитт Б. С. Динамическая теория групп и полей: Пер. с англ. / Под ред. Г. А. Вилковыского. — М. : Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. — 1987. — 288 с.
репринтное переиздание: Череповец: Меркурий-пресс, 2000. ISBN 5-11-480064-7 .
(неопр.) . Дата обращения: 22 мая 2004. 29 октября 2017 года.

Литература

Янг, Ч. , Миллс Р. Сохранение изотопического спина и изотопическая калибровочная инвариантность // Элементарные частицы и компенсирующие поля / под ред. Д. Иваненко . — М.: Мир, 1964. — С. 28—38.
Славнов, А. А. , Фаддеев Л. Д. Введение в квантовую теорию калибровочных полей. — М. : Наука, 1978. — С. 240.