Владимир Александрович Воеводский ( 4 июня 1966 , Москва — 30 сентября 2017 , Принстон , Нью-Джерси ) — советский, российский и американский математик , внёсший значительный вклад в алгебраическую геометрию и основания математики . Лауреат Филдсовской премии (2002), постоянный профессор Института перспективных исследований .

Среди основных результатов на стыке алгебраической геометрии и алгебраической топологии — построение теории и доказательство её средствами и , составлявших существенную проблемную часть . В области оснований математики инициировал и внёс решающий вклад в программу создания унивалентных оснований математики — формального языка для абстрактных разделов математики, обеспечивающего автоматическую проверку доказательств на компьютере .

Биография

Родился в семье учёных — выпускников МГУ, отец — астрофизик, лауреат Государственной премии за работы по созданию Баксанской нейтринной обсерватории (1998) , мать — химик, специалист по ядерному магнитному резонансу . Раннее детство провёл в коммунальной квартире на площади Ногина , впоследствии семья переселилась в отдельную квартиру в Малом Ивановском переулке .

В старших классах сменил несколько школ, аттестат о среднем образовании получил в 1983 году, в формировании строгого и точного математического мышления отмечал влияние учебника по геометрии под редакцией Колмогорова . В том же году поступил на механико-математический факультет МГУ . Получив из-за сильной аллергии « белый билет » — освобождение от срочной воинской службы , отсрочку от которой не предоставляли прервавшим обучение в вузе, взял академический отпуск , после возвращения из которого был отчислен, но впоследствии восстановился .

Во время учёбы в университете увлёкся алгебраической геометрией, в числе причин указывал на работу в этой области таких интересных людей, как Игорь Шафаревич . Во время академического отпуска подрабатывал преподавателем программирования на учебно-производственном комбинате , там встретился с . Шабат познакомил Воеводского с Программой Гротендика , к которой впоследствии неоднократно обращался в своём творчестве, к осмыслению и развитию идей программы относятся и первые научные исследования Воеводского, проведённые совместно с Шабатом и вылившиеся в ряд публикаций , одна из которых получила одобрение Гротендика . В 1989 году, по результатам I семестра четвёртого курса, несмотря на наличие опубликованных работ в ведущих журналах, окончательно отчислен из университета за академическую неуспеваемость .

В 1989—1990 годы опубликовал несколько работ вместе с Михаилом Капрановым , вскоре иммигрировавшим в США. В 1990 году Капранов заполнил за Воеводского заявку на поступление в аспирантуру Гарвардского университета , и, несмотря на формальное отсутствие высшего образования, тот был принят . Квалификационный экзамен, на сдачу которого отводятся первые три года обучения в аспирантуре, сдал уже через месяц после поступления, благодаря чему был освобождён от занятий и смог сконцентрироваться на исследовательской работе . Находясь в аспирантуре постоянно нарушал регламенты: уезжал в Россию на 4 месяца, жил прямо в офисе, отказываясь снять жильё, при этом руководство факультета во всех случаях содействовало сохранению перспективного учёного в Гарварде. Докторскую диссертацию на тему «Гомологии схем и ковариантных мотивов» защитил в 1992 году под руководством Давида Каждана .

По окончании аспирантуры прошёл годичную постдокторантуру в принстонском Институте перспективных исследований, после чего вернулся в Гарвард и три года состоял в Обществе стипендиатов ( англ. Society of fellows), в которое ежегодно набирают 8 выпускников аспирантур и предоставляют возможность сфокусироваться на исследованиях, не отвлекаясь на преподавание .

В 1995 году женился на математике Надежде Шалаби (род. 1966), в браке, который завершился разводом в 2008 году, родились двое дочерей (Тали и Дина).

С 1996 по 1999 год работал в должности ассоциированного профессора в Северо-Западном университете , где сотрудничал с крупнейшими специалистами по алгебраической ${\displaystyle K}$ -теории Андреем Суслиным и , также в течение этого периода был приглашённым профессором в Институте Макса Планка и в Гарварде. В 1998 году прочёл пленарный доклад «Теория ${\displaystyle \mathbf {A} ^{1}}$ -гомотопий» на Международном конгрессе математиков в Берлине .

В 1998 году приглашён на постоянную позицию в Институт перспективных исследований; в январе 2002 года, за несколько месяцев до награждения медалью Филдса, получил должность пожизненного профессора института. Во время работы в Принстоне обращался к математической биологии в части исторической генетики и к теории вероятностей , работая над переформулировкой её на языке теории категорий , считая важным внести вклад в приложения , а в период 2005—2006 годов полностью выключился из академической деятельности. В 2006 году опубликовал первые заметки по возможностям применения геометрических понятий к теории типов , и, после окончательного доказательства гипотезы Блоха — Като в 2010 году, полностью погрузился в новое направление, выдвинув программу унивалентных оснований . К программе постепенно подключился значительный коллектив специалистов по математической логике , теории категорий, системам автоматического доказательства . Академический год 2012/13 в Институте перспективных исследований по инициативе Воеводского был объявлен «годом унивалентных оснований», в рамках которого в сотрудничестве Воеводского, и Кокана была открыта специальная исследовательская программа, собравшая около 30 учёных, совместно написавших за этот период 600-страничную книгу .

Умер у себя дома в Принстоне, обнаружен по обращению бывшей жены, которая некоторое время не могла с ним связаться и знала о тяжёлом заболевании; по её сообщениям, причиной смерти могла быть аневризма . Похоронен 27 декабря 2017 года на Химкинском кладбище в Москве , участок 20.

Научный вклад

Алгебраическая геометрия

В работах 1989—1990 годов по , написанных в соавторстве с Капрановым, развил идею Гротендика о возможности описания CW-комплексов с гомотопической точки зрения как группоидов . В 1998 году построен контрпример к одной из основных конструкций этих работ , который Воеводский с Капрановым изначально не признали, и статья Симпсона не была принята в журналы; лишь в 2013 году Воеводский подтвердил доводы Симпсона.

В трудах периода гарвардской аспирантуры разработал конструкцию, в которой всякой схеме ${\displaystyle S}$ соответствуют ${\displaystyle DM(S)}$ и ковариантный функтор из категории схем над ${\displaystyle S}$ в ${\displaystyle DM(S)}$ . Полученная конструкция обладает всеми свойствами теории гомологий , таким образом, выявлена новая возможность работать со схемами (и, в частности, с алгебраическими многообразиями ) средствами алгебраической топологии .

Используя созданный в диссертации инструментарий подключился к решению ключевых проблем алгебраической ${\displaystyle K}$ -теории и проработке деталей теории мотивных когомологий. В 1996—1998 годы совместно с создал , основная идея которой заменить в определении гомотопии единичный интервал ${\displaystyle [0,1]}$ (не являющийся алгебраическим многообразием) ${\displaystyle A^{1}}$ для возможности полной алгебраизации теории гомотопий . Этим работам посвящён пленарный доклад на Международном конгрессе математиков в 1998 году.

Теории мотивных когомологий в 2000 году Математической предметной классификации присвоен отдельный код 14F42 в составе подраздела «Теории гомологий и когомологий» в разделе «Алгебраическая геометрия». В 2010 году к этому же коду присоединена также теория ${\displaystyle A^{1}}$ -гомотопий под наименованием «теория мотивных гомотопий».

В 1996 году выпустил препринт с первым доказательством гипотезы Милнора, составлявшей основную проблему , согласно которой существует изоморфизм между ${\displaystyle K_{n}^{M}(F)/2}$ и ${\displaystyle H_{{\acute {e}}t}^{n}(F,\mathbb {Z} /2\mathbb {Z})}$ — с коэффициентами в ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ для всякого поля ${\displaystyle F}$ характеристики , отличной от 2, и любого целого ${\displaystyle n}$ . В доказательстве, кроме собственных разработок и теории ${\displaystyle A^{1}}$ -гомотопий, существенно использованы результаты Меркурьева , Суслина, Фридландера и . Несмотря на всеобщее признание результата в конце 1990-х годов и получение Филдсовской премии за доказательство гипотезы, окончательный вариант, устраняющий все недочёты в доказательствах, был опубликован в 2003 году .

С конца 1990-х годов принялся за решение проблемы Блоха — Като, для которой гипотеза Милнора является частным случаем при ${\displaystyle \ell =2}$ . Несмотря на то, что подход к доказательству Воеводский, по собственному утверждению, выработал уже в конце 1996 года, проработка результата потребовала значительной подготовительной работы, как по линии алгебраической ${\displaystyle K}$ -теории, так и мотивной теории когомологий. Лишь к концу 2000-х годов Суслину, Жуховицкому и Вейбелю удалось доказать необходимое обобщение результата Роста , а работу по развитию мотивной теории когомологий и соединение всех деталей доказательства Воеводский завершил в феврале 2010 года .

Основания математики

Ещё с середины 1990-х годов считал одной из угроз математики возможность накопления незамеченных ошибок из-за чрезвычайного усложнения современных направлений, и с 2002 года искал возможность применить системы автоматического доказательства к абстрактным разделам математики, но не находил удовлетворительных решений . В конце 2005 года обнаружил возможность описания , средствами λ-исчисления с зависимыми типами , лежавшего в основе ряда систем автоматического доказательства, эксплуатирующих изоморфизм Карри — Ховарда об эквивалентности между компьютерными программами и математическими доказательствами . Идеи применения интуиционистской теории типов к теории категорий и топологии публиковались с середины 1990-х годов, но не к высшим группоидам, которые, согласно Воеводскому, ссылающемуся в свою очередь на соответствие Гротендика, являются фундаментальными математическими объектами, и соответствуют гомотопическим типам .

К 2006 году относятся первые эксперименты Воеводского с системой Coq . В 2009 году решил основные технические проблемы на пути применения интуиционистской теории типов к высшим группоидам, прежде всего, разработав конструкцию для иерархии универсумов и постулировав аксиому унивалентности , утверждающую равенство между объектами, между которыми может быть установлена эквивалентность:

${\displaystyle (A=B)\simeq (A\simeq B)}$ .

Хотя в математике традиционно множество результатов устанавливается для классов эквивалентных объектов, «с точностью до…» — изоморфизма , гомеоморфизма , гомотопии , — считается, что введение аксиомы унивалентности на уровне оснований стало революционным новшеством , кроме всего, обеспечивающим множество технических эффектов благодаря возможности избавиться в формализациях от громоздких конструкций с классами эквивалентностей . Ещё одной фундаментальной особенностью подхода Воеводского к основаниям считается объединение в рамках одной теории логических и математических понятий, где одни и те же конструкции могут быть наделены той или иной интерпретацией, в отличие от классического подхода, идущего от Гильберта и Тарского , где логика эпистемологически первична — вначале определяется логическая система, а потом её средствами строятся собственно математические теории .

С 2010 года приступил к разработке «Библиотеки унивалентных оснований» — коллекции формальных описаний на Coq, позволяющих формулировать доказательства для абстрактных разделов математики, в течение трёх месяцев удалось построить систему с достаточно широким охватом . В 2010 году в рамках запроса на грант подготовил программу разработки унивалентных оснований , в которой выделил следующие её возможности:

• естественная аксиоматизация категорных и высшекатегорных языков,
• применение языков зависимых типов,
• прямая аксиоматизация понятий на основе гомотопических типов, без использования инструментария теории множеств ,
• применимость как для конструктивной так и неконструктивной математики.

В 2013 году, в рамках инициированного им совместно с и Коканом в Институте перспективных исследований года унивалентных оснований, стал соавтором книги «Гомотопическая теория типов», впоследствии высказывал неудовлетворённость результатами, отмечая, что участники программы предлагали много странных идей . В целом, несмотря на большое количество специалистов, подключившихся к программе создания унивалентных оснований, работал изолированно: развивал собственный проект библиотеки оснований , использующий специально разработанное безопасное подмножество Coq, тогда как участники исследовательской программы Института перспективных исследований вели работы стандартными средствами . Кроме того, посвятил цикл из восьми работ 2014—2017 годов модельным вопросам и проблемам обоснования, разрабатывая теорию (контекстуальных категорий), притом что основная волна исследований направлена на расширение возможностей оснований и приложения .

Память

8 октября 2017 года в Институте перспективных исследований проведено собрание памяти учёного, на котором выступили близкие и коллеги учёного, в том числе Пьер Делинь , Ричард Тейлор , Давид Каждан . 28 декабря 2017 года, на следующий день после отпевания и похорон в Москве, в Математическом институте Академии наук имени Стеклова прошла однодневная конференция памяти Воеводского .

По мнению сокурсника по Гарварду Михаила Вербицкого , Воеводский выведен в нескольких текстах писателя Баяна Ширянова и стал прототипом главного героя романа Николая Баранского «Путешествие в поисках истинной живости» .

Избранные публикации

Книги

• Vladimir Voevodsky, Andrei Suslin, and Eric M. Friedlander. Cycles, transfers, and motivic homology theories. — Princeton, NJ: Princeton University Press , 2000. — 254 с. — (Annals of Mathematics Studies, vol. 143). — ISBN 0-691-04815-0 .
  • Обзорная рецензия — Charles A. Weibel. // Bulletin Of The American Mathematical Society. — 2001. — Т. 39 , № 1 . — С. 137—143 . 18 октября 2020 года.
• Carlo Mazza, Vladimir Voevodsky, Charles Weibel. Lecture Notes on Motivic Cohomology. — Princeton, NJ: American Mathematical Society , 2006. — 218 с. — (Clay mathematics monographs, vol. 2). — ISBN 0-8218-3847-4 .

Статьи

• В. А. Воеводский, М. М. Капранов. // Успехи математических наук . — 1990. — Т. 45 , № 5 . — С. 239—240 . — doi : . Совместная с Капрановым работа по соответствию между CW-комплексами и высшими группоидами, к которому впоследствии Симпсон нашёл контрпример.
• Vladimir Voevodsky. // Publications Mathématiques de l’Institut des Hautes Études Scientifiques. — 2003. — Т. 98 , № 1 . — С. 59–104 . — doi : . Заключительная работа с полным доказательством гипотезы Милнора.
• Vladimir Voevodsky. // Annals of Mathematics. — 2011. — Т. 174 . — С. 401–438 . — doi : . Статья с доказательством гипотезы Блоха — Като
• Vladimir Voevodsky. // Mathematical Structures in Computer Science. — Cambridge University Press , 2015. — Т. 25 . — С. 1278–1294 . — doi : . Публикация о библиотеке формализованной математики на базе унивалентных оснований
• Vladimir Voevodsky. . A Personal Mission to Develop Computer Proof Verification to Avoid Mathematical Mistakes (англ.) . IDEAS, The Institute Letter, Summer 2014 . Institute of Advanced Study (1 июля 2014) . — «I think it was at this moment that I largely stopped doing what is called “curiosity-driven research” and started to think seriously about the future» . Дата обращения: 29 декабря 2017. 22 января 2018 года. Работа, в которой Воеводский перечисляет выявленные впоследствии труднообнаружимые ошибки в доказательствах, как в собственных трудах, так и в результатах коллег, которые послужили для него мотивацией в работе над унивалентными основаниями

Примечания

Ссылки

• (англ.) . Institute of Advanced Study. Дата обращения: 26 декабря 2017. 29 ноября 2017 года.
• Георгий Шабат, Ольга Орлова. . Памяти Владимира Воеводского (неопр.) . « Троицкий вариант — наука », № 249 c. 2–3 (13 марта 2018) . Дата обращения: 14 марта 2018. 15 марта 2018 года.
• А. А. Бейлинсон , , Д. А. Каждан , М. М. Капранов , А. С. Меркурьев , Д. О. Орлов , И. А. Панин , А. А. Суслин , , . // Успехи математических наук . — 2018. — Т. 73 , вып. 3 (441) . — С. 157–168 . — doi : .
• . (англ.) // Notices of the AMS . — 2019. — Vol. 66 , no. 4 . — P. 526—533 . — doi : .

Некоторые выступления

• Vladimir Voevodsky. (англ.) . Annual Conference of Clay Research Institute — 2002 . Clay Research Institute (10 октября 2002). Дата обращения: 26 декабря 2017. 1 марта 2020 года.
• (англ.) . Heidelberg Laureate Forum (26 сентября 2013). Дата обращения: 26 декабря 2017. 8 октября 2020 года.
• (англ.) . Бернайсовская лекция . ETH Zürich (10 сентября 2014). Дата обращения: 31 декабря 2017. 10 марта 2016 года. (неопр.) . Дата обращения: 31 декабря 2017. 8 марта 2016 года. (неопр.) . Дата обращения: 31 декабря 2017.
• (англ.) . 9th Asian Science Camp — 2015 . NSTDA Channel, Thailand (5 августа 2015). Дата обращения: 26 декабря 2017. 3 января 2020 года.

Интервью

• Елена Новосёлова. . Россиянина Владимира Воеводского отчислили с мехмата, а спустя 15 лет он стал лучшим математиком планеты (неопр.) . Российская газета (19 октября 2002) . Дата обращения: 26 декабря 2017. 2 июня 2017 года.
• Ольга Орлова. (неопр.) . polit.ru (22 августа 2006). Дата обращения: 26 декабря 2017. 13 декабря 2017 года.
• Светлана Беляева. . Новейшие математические теории наш соотечественник разрабатывает в Америке (неопр.) . Поиск (13 мая 2011) . Дата обращения: 26 декабря 2017. 18 января 2021 года.
• Роман Михайлов . (неопр.) (1 июля 2012). Дата обращения: 26 декабря 2017. 22 августа 2017 года. (неопр.) (5 июля 2012). Дата обращения: 26 декабря 2017. 12 декабря 2017 года.
• Gaël Octavia. (фр.) . SMF – Gazette – 142, octobre 2014 . (1 октября 2014). Дата обращения: 1 января 2018. 16 мая 2018 года.
• Ольга Баклицкая-Каменева. (неопр.) . Элементы (8 ноября 2017). Дата обращения: 26 декабря 2017. 27 декабря 2017 года.
• Светлана Беляева. . Труд математиков можно облегчить (неопр.) . Поиск (18 сентября 2015) . Дата обращения: 24 декабря 2017. Архивировано из 26 декабря 2017 года.