Квадра́тное уравне́ние — алгебраическое уравнение второй степени с общим видом

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0,\;a\neq 0,}$

в котором ${\displaystyle x}$ — неизвестное, а коэффициенты ${\displaystyle a}$ , ${\displaystyle b}$ и ${\displaystyle c}$ — вещественные или комплексные числа.

Корень уравнения ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$ — это значение неизвестного ${\displaystyle x}$ , обращающее квадратный трёхчлен ${\displaystyle ax^{2}+bx+c}$ в ноль, а квадратное уравнение в верное числовое равенство. Также это значение называется корнем самого многочлена ${\displaystyle ax^{2}+bx+c.}$

Элементы квадратного уравнения имеют собственные названия :

• ${\displaystyle a}$ называют первым или старшим коэффициентом,
• ${\displaystyle b}$ называют вторым , средним коэффициентом или коэффициентом при ${\displaystyle x}$ ,
• ${\displaystyle c}$ называют свободным членом .

Приведённым называют квадратное уравнение, в котором старший коэффициент равен единице . Такое уравнение может быть получено делением всего выражения на старший коэффициент ${\displaystyle a}$ :

${\displaystyle x^{2}+px+q=0,\quad p={\dfrac {b}{a}},\quad q={\dfrac {c}{a}}.}$

Полным называют такое квадратное уравнение, все коэффициенты которого отличны от нуля.

Неполным называется такое квадратное уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов, кроме старшего (либо второй коэффициент, либо свободный член), равен нулю.

Квадратное уравнение является разрешимым в радикалах , то есть его корни могут быть выражены через коэффициенты в общем виде.

Исторические сведения о квадратных уравнениях

Древний Вавилон

Уже во втором тысячелетии до нашей эры вавилоняне знали, как решать квадратные уравнения . Решение их в Древнем Вавилоне было тесно связано с практическими задачами, в основном такими, как измерение площади земельных участков, земельные работы, связанные с военными нуждами; наличие этих познаний также обусловлено развитием математики и астрономии вообще. Были известны способы решения как полных, так и неполных квадратных уравнений. Приведём примеры квадратных уравнений, решавшихся в Древнем Вавилоне, используя современную алгебраическую запись:

${\displaystyle x^{2}+x={\frac {3}{4}};\ x^{2}-x=14{\frac {1}{2}}.}$

Правила решения квадратных уравнений во многом аналогичны современным, однако в вавилонских текстах не зафиксированы рассуждения, путём которых эти правила были получены.

Индия

Задачи, решаемые с помощью квадратных уравнений, встречаются в трактате по астрономии «Ариабхаттиам», написанном индийским астрономом и математиком Ариабхатой в 499 году нашей эры. Один из первых известных выводов формулы корней квадратного уравнения принадлежит индийскому учёному Брахмагупте (около 598 г.) ; Брахмагупта изложил универсальное правило решения квадратного уравнения, приведённого к каноническому виду: ${\displaystyle ax^{2}+bx=c;}$ притом предполагалось, что в нём все коэффициенты, кроме ${\displaystyle a,}$ могут быть отрицательными. Сформулированное учёным правило по своему существу совпадает с современным.

Корни квадратного уравнения на множестве действительных чисел

I способ. Общая формула для вычисления корней с помощью дискриминанта

Дискриминантом квадратного уравнения ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$ называется величина ${\displaystyle {\mathcal {D}}=b^{2}-4ac}$ .

Условие	${\displaystyle {\mathcal {D}}>0}$	${\displaystyle {\mathcal {D}}=0}$	${\displaystyle {\mathcal {D}}<0}$
Количество корней	Два корня	Один корень кратности 2 (другими словами, два равных корня)	Действительных корней нет
Формула	${\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {\mathcal {D}}}}{2a}}}$ (1)	${\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}}$	—

Следствия:

• трёхчлен ${\displaystyle ax^{2}+bx+c}$ есть полный квадрат суммы или разности в том и только в том случае, если ${\displaystyle {\mathcal {D}}=0}$ ;

• Дискриминант можно найти по формуле: ${\displaystyle {\mathcal {D}}=a^{2}\left(x_{+}-x_{-}\right)^{2}}$ ;

• ${\displaystyle x_{\pm }={\frac {2c}{-b\mp {\sqrt {\mathcal {D}}}}}}$ .

Данный метод универсальный, однако не единственный.

II способ. Корни квадратного уравнения при чётном коэффициенте b

Для уравнений вида ${\displaystyle ax^{2}+2kx+c=0}$ , то есть при чётном ${\displaystyle b}$ , где

${\displaystyle k={\frac {1}{2}}b,}$

вместо формулы (1) для нахождения корней существует возможность использования более простых выражений .

Примечание: данные ниже формулы можно получить, подставив в стандартные формулы выражение b = 2 k , через несложные преобразования.

Дискриминант		Корни
неприведённое	приведённое	D > 0	неприведённое	приведённое
удобнее вычислять значение четверти дискриминанта: ${\displaystyle {\frac {D}{4}}=k^{2}-ac}$ Все необходимые свойства при этом сохраняются.	${\displaystyle {\frac {D}{4}}=k^{2}-c}$ .		${\displaystyle x_{1,2}={\frac {-k\pm {\sqrt {k^{2}-ac}}}{a}}.}$	${\displaystyle x_{1,2}=-k\pm {\sqrt {k^{2}-c}}}$
		D = 0	${\displaystyle x={\frac {-k}{a}}}$	${\displaystyle x=-k}$

III способ. Решение неполных квадратных уравнений

К решению неполных квадратных уравнений практикуется особый подход. Рассматриваются три возможных ситуации.

b = 0 , c = 0	b=0; c≠0	b≠0; c=0
${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}ax^{2}&=0,\\x^{2}&=0,\\x&=0.\end{alignedat}}}$ (процесс преобразования специально показан подробно, на практике можно сразу переходить к последнему равенству)	${\displaystyle {\begin{aligned}ax^{2}+c&=0,\\ax^{2}&=-c,\\x^{2}&=-{\dfrac {c}{a}},\\x_{1,2}&=\pm {\sqrt {-{\dfrac {c}{a}}}}.\end{aligned}}}$ Если ${\displaystyle -{\dfrac {c}{a}}>0}$ , то уравнение имеет два действительных корня (разных по знаку), a если ${\displaystyle -{\dfrac {c}{a}}<0}$ , то уравнение не имеет действительных корней .	${\displaystyle {\begin{aligned}ax^{2}+bx&=0,\\x(ax+b)&=0,\end{aligned}}}$ ${\displaystyle x=0}$ или ${\displaystyle ax+b=0,}$ ${\displaystyle x_{1}=0,\quad x_{2}=-{\dfrac {b}{a}}.}$ Такое уравнение обязательно имеет два действительных корня , причём один из них всегда равен нулю.

IV способ. Использование частных соотношений коэффициентов

Существуют частные случаи квадратных уравнений, в которых коэффициенты находятся в соотношениях между собой, позволяющих решать их гораздо проще.

Корни квадратного уравнения, в котором сумма старшего коэффициента и свободного члена равна второму коэффициенту

Если в квадратном уравнении ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$ сумма первого коэффициента и свободного члена равна второму коэффициенту: ${\displaystyle a+c=b}$ , то его корнями являются ${\displaystyle -1}$ и число, противоположное отношению свободного члена к старшему коэффициенту ( ${\displaystyle -{\frac {c}{a}}}$ ).

Отсюда следует, что перед решением какого-либо квадратного уравнения целесообразна проверка возможности применения к нему этой теоремы: сравнить сумму старшего коэффициента и свободного члена со вторым коэффициентом.

Корни квадратного уравнения, сумма всех коэффициентов которого равна нулю

Если в квадратном уравнении сумма всех его коэффициентов равна нулю ( ${\displaystyle a+b+c=0}$ ), то корнями такого уравнения являются ${\displaystyle 1}$ и отношение свободного члена к старшему коэффициенту ( ${\displaystyle {\frac {c}{a}}}$ ).

Отсюда следует, что перед решением уравнения стандартными методами целесообразна проверка применимости к нему этой теоремы, а именно сложение всех коэффициентов данного уравнения и установление, не равна ли нулю эта сумма.

V способ. Разложение квадратного трёхчлена на линейные множители

Если трёхчлен вида ${\displaystyle ax^{2}+bx+c~(a\not =0)}$ удастся каким-либо образом представить в качестве произведения линейных множителей ${\displaystyle (kx+m)(lx+n)=0}$ , то можно найти корни уравнения ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$ — ими будут ${\displaystyle -{\frac {m}{k}}}$ и ${\displaystyle -{\frac {n}{l}}}$ , действительно, ведь ${\displaystyle (kx+m)(lx+n)=0\Longleftrightarrow {\biggl [}{\begin{array}{lcl}kx+m=0,\\lx+n=0,\end{array}}}$ а решив указанные линейные уравнения, получим вышеописанное. Квадратный трёхчлен не всегда раскладывается на линейные множители с действительными коэффициентами: это возможно, если соответствующее ему уравнение имеет действительные корни.

Рассматриваются некоторые частные случаи.

Использование формулы квадрата суммы (разности)

Если квадратный трёхчлен имеет вид ${\displaystyle (ax)^{2}+2abx+b^{2}}$ , то применив к нему названную формулу, можно разложить его на линейные множители и, значит, найти корни:

${\displaystyle (ax)^{2}+2abx+b^{2}=(ax+b)^{2},}$

${\displaystyle (ax+b)^{2}=0,}$

${\displaystyle x=-{\frac {b}{a}}.}$

Выделение полного квадрата суммы (разности)

Также названную формулу применяют, пользуясь методом, получившим названия «выделение полного квадрата суммы (разности)». Применительно к приведённому квадратному уравнению с введёнными ранее обозначениями, это означает следующее:

1. прибавляют и отнимают одно и то же число:
   ${\displaystyle x^{2}+px+({\frac {p}{2}})^{2}-({\frac {p}{2}})^{2}+q=0;}$ .
2. применяют формулу к полученному выражению, переносят вычитаемое и свободный член в правую часть:
   ${\displaystyle (x^{2}+2{\frac {p}{2}}x+({\frac {p}{2}})^{2})+(-({\frac {p}{2}})^{2}+q)=0,}$
   ${\displaystyle (x+{\frac {p}{2}})^{2}={\frac {p^{2}}{4}}-q;}$
3. извлекают из левой и правой частей уравнения квадратный корень и выражают переменную:
   ${\displaystyle x+{\frac {p}{2}}=\pm {\sqrt {{\frac {p^{2}}{4}}-q}},}$
   ${\displaystyle x_{1,2}=-{\frac {p}{2}}\pm {\sqrt {{\frac {p^{2}}{4}}-q}}.}$

Примечание: данная формула совпадает с предлагаемой в разделе «Корни приведённого квадратного уравнения», которую, в свою очередь, можно получить из общей формулы (1) путём подстановки равенства a = 1 . Этот факт не просто совпадение: описанным методом, произведя, правда, некоторые дополнительные рассуждения, можно вывести и общую формулу, а также доказать свойства дискриминанта.

VI способ. Использование прямой и обратной теоремы Виета

Прямая теорема Виета (см.) и обратная ей теорема позволяют решать приведённые квадратные уравнения устно, не прибегая к вычислениям по формуле (1).

Согласно обратной теореме, всякая пара чисел (число) ${\displaystyle x_{1},x_{2}}$ , будучи решением системы уравнений

${\displaystyle {\begin{cases}x_{1}+x_{2}=-p,\\x_{1}x_{2}=q,\end{cases}}}$

являются корнями уравнения ${\displaystyle x^{2}+px+q=0}$ .

Подобрать устно числа, удовлетворяющие этим уравнениям, поможет прямая теорема. С её помощью можно определить знаки корней, не зная сами корни. Для этого следует руководствоваться правилом:

1) если свободный член отрицателен, то корни имеют различный знак, и наибольший по модулю из корней — знак, противоположный знаку второго коэффициента уравнения;

2) если свободный член положителен, то оба корня обладают одинаковым знаком, и это — знак, противоположный знаку второго коэффициента.

VII способ. Метод «переброски»

По своей сущности метод «переброски» является просто модификацией теоремы Виета .

Метод «переброски» — это сведение уравнения, которое нельзя привести так, чтобы все коэффициенты остались целыми, к приведённому уравнению с целыми коэффициентами:

1) умножаем обе части на старший коэффициент:

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\quad \mid \;\cdot a,}$

${\displaystyle (ax)^{2}+b(ax)+ac=0;}$

2) заменяем ${\displaystyle y=ax\colon }$

${\displaystyle y^{2}+by+ac=0.}$

Далее решаем уравнение относительно ${\displaystyle y}$ по методу, описанному , и находим ${\displaystyle x={\frac {y}{a}}}$ .

Графическое решение квадратного уравнения

Графиком квадратичной функции является парабола . Решениями (корнями) квадратного уравнения называют абсциссы точек пересечения параболы с осью абсцисс . Если парабола, описываемая квадратичной функцией, не пересекается с осью абсцисс, уравнение не имеет вещественных корней. Если парабола пересекается с осью абсцисс в одной точке (в вершине параболы), уравнение имеет один вещественный корень (также говорят, что уравнение имеет два совпадающих корня). Если парабола пересекает ось абсцисс в двух точках, уравнение имеет два вещественных корня (см. изображение справа.)

Если коэффициент ${\displaystyle a}$ положительный, ветви параболы направлены вверх и наоборот. Если коэффициент ${\displaystyle b}$ положительный (при положительном ${\displaystyle a}$ , при отрицательном наоборот), то вершина параболы лежит в левой полуплоскости и наоборот.

Графический способ решения квадратных уравнений

Помимо универсального способа, описанного выше, существует так называемый графический способ . В общем виде этот способ решения рационального уравнения вида ${\displaystyle f(x)=g(x)}$ заключается в следующем: в одной системе координат строят графики функций ${\displaystyle y=f(x)}$ и ${\displaystyle y=g(x)}$ и находят абсциссы общих точек этих графиков; найденные числа и будут корнями уравнения.

Есть всего пять основных способов графического решения квадратных уравнений.

Приём I

Для решения квадратного уравнения ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$ строится график функции ${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}$ и отыскиваются абсциссы точек пересечения такого графика с осью ${\displaystyle x}$ .

Приём II

Для решения того же уравнения этим приёмом уравнение преобразуют к виду ${\displaystyle ax^{2}=-bx-c}$ и строят в одной системе координат графики квадратичной функции ${\displaystyle y=ax^{2}}$ и линейной функции ${\displaystyle y=-bx-c}$ , затем находят абсциссу точек их пересечения.

Приём III

Данный приём подразумевает преобразование исходного уравнения к виду ${\displaystyle a(x+l)^{2}+m=0}$ , используя метод выделения полного квадрата суммы (разности) и затем в ${\displaystyle a(x+l)^{2}=-m}$ . После этого строятся график функции ${\displaystyle y=a(x+l)^{2}}$ (им является график функции ${\displaystyle y=ax^{2}}$ , смещённый на ${\displaystyle |l|}$ единиц масштаба вправо или влево в зависимости от знака) и прямую ${\displaystyle y=-m}$ , параллельную оси абсцисс. Корнями уравнения будут абсциссы точек пересечения параболы и прямой.

Приём IV

Квадратное уравнение преобразуют к виду ${\displaystyle ax^{2}+c=-bx}$ , строят график функции ${\displaystyle y=ax^{2}+c}$ (им является график функции ${\displaystyle y=ax^{2}}$ , смещённый на ${\displaystyle c}$ единиц масштаба вверх, если этот коэффициент положителен, либо вниз, если он отрицателен), и ${\displaystyle y=-bx}$ , находят абсциссы их общих точек.

Приём V

Квадратное уравнение преобразуют к особому виду:

${\displaystyle {\dfrac {ax^{2}}{x}}+{\dfrac {bx}{x}}+{\dfrac {c}{x}}={\dfrac {0}{x}};}$

${\displaystyle ax+b+{\dfrac {c}{x}}=0;}$

затем

${\displaystyle ax+b=-{\dfrac {c}{x}}.}$

Совершив преобразования, строят графики линейной функции ${\displaystyle y=ax+b}$ и обратной пропорциональности ${\displaystyle y=-{\frac {c}{x}};\ (c\not =0)}$ , отыскивают абсциссы точек пересечения этих графиков. Этот приём имеет границу применимости: если ${\displaystyle c=0}$ , то приём не используется.

Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки

Описанные выше приёмы графического решения имеют существенные недостатки: они достаточно трудоёмки, при этом точность построения кривых — парабол и гипербол — низка. Указанные проблемы не присущи предлагаемому ниже методу, предполагающему относительно более точные построения циркулем и линейкой.

Чтобы произвести такое решение, нужно выполнить нижеследующую последовательность действий.

1. Построить в системе координат ${\displaystyle Oxy}$ окружность с центром в точке ${\displaystyle S\left(-{\dfrac {b}{2a}};{\dfrac {a+c}{2a}}\right)}$ , пересекающую ось ${\displaystyle Oy}$ в точке ${\displaystyle C\left(0;\,1\right)}$ .
2. Далее возможны три случая:
   • длина радиуса окружности превышает длину перпендикуляра к оси абсцисс, опущенного из точки ${\displaystyle S}$ : в этом случае окружность пересекает ось ${\displaystyle Ox}$ в двух точках, а уравнение имеет два действительных корня, равных абсциссам этих точек;
   • радиус равен перпендикуляру: одна точка и один вещественный корень кратности 2;
   • радиус меньше перпендикуляра: корней в множестве ${\displaystyle \mathbb {R} }$ нет.

Корни квадратного уравнения на множестве комплексных чисел

Уравнение с действительными коэффициентами

Квадратное уравнение с вещественными коэффициентами ${\displaystyle a,~b,~c}$ всегда имеет с учётом кратности два комплексных корня , о чём гласит основная теорема алгебры . При этом, в случае неотрицательного дискриминанта корни будут вещественными, а в случае отрицательного — комплексно-сопряжёнными :

• при ${\displaystyle {\mathcal {D}}>0}$ уравнение будет иметь два вещественных корня:

  ${\displaystyle x_{1,2}={\dfrac {-b\pm {\sqrt {\mathcal {D}}}}{2a}};}$

• при ${\displaystyle {\mathcal {D}}=0}$ — один корень кратности 2 (другими словами, два одинаковых корня):

  ${\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}};}$

• при ${\displaystyle {\mathcal {D}}<0}$ — два комплексно-сопряжённых корня, выражающихся той же формулой, что и для положительного дискриминанта. Также её можно переписать так, чтобы она не содержала отрицательного подкоренного выражения, следующим образом:

  ${\displaystyle x_{1,2}={\dfrac {-b\pm {\sqrt {\mathcal {D}}}}{2a}}={\dfrac {-b\pm i{\sqrt {|{\mathcal {D}}|}}}{2a}}.}$

Уравнение с комплексными коэффициентами

В комплексном случае квадратное уравнение решается по той же формуле (1) и указанным выше её вариантам, но различимыми являются только два случая: нулевого дискриминанта (один двукратный корень) и ненулевого (два корня единичной кратности).

Корни приведённого квадратного уравнения

Квадратное уравнение вида ${\displaystyle x^{2}+px+q=0,}$ в котором старший коэффициент ${\displaystyle a}$ равен единице, называют приведённым . В этом случае формула для корней (1) упрощается до

${\displaystyle x_{1,2}=-{\frac {p}{2}}\pm {\sqrt {\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}-q}}.}$

Мнемонические правила:

• Из « Радионяни »:

«Минус» напишем сначала,
Рядом с ним p пополам,
«Плюс-минус» знак радикала,
С детства знакомого нам.
Ну, а под корнем, приятель,
Сводится всё к пустяку:
p пополам и в квадрате
Минус прекрасное q .

• Из « Радионяни » (второй вариант):

p , со знаком взяв обратным,
На два мы его разделим,
И от корня аккуратно
Знаком «минус-плюс» отделим.
А под корнем очень кстати
Половина p в квадрате
Минус q — и вот решенья,
То есть корни уравненья.

• Из « Радионяни » (третий вариант на мотив Подмосковных вечеров ):

Чтобы x найти к половине p ,
Взятой с минусом не забудь,
Радикал приставь с плюсом минусом,
Аккуратно, не как-нибудь.
А под ним квадрат половины p ,
Ты, убавь на q и конец,
Будет формула приведенная,
Рассуждений твоих венец.
Будет формула приведенная,
Рассуждений твоих венец.

Теорема Виета

Формулировка для приведённого квадратного уравнения

Сумма корней приведённого квадратного уравнения ${\displaystyle x^{2}+px+q=0}$ (вещественных или комплексных) равна второму коэффициенту ${\displaystyle p}$ , взятому с противоположным знаком, а произведение этих корней — свободному члену ${\displaystyle q}$ :

${\displaystyle x_{1}+x_{2}=-p,\quad x_{1}x_{2}=q.}$

С его помощью приведённые уравнения можно решать устно:

Для неприведённого квадратного уравнения

В общем случае, то есть для неприведённого квадратного уравнения ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\colon }$

${\displaystyle {\begin{cases}x_{1}+x_{2}=-b/a,\\x_{1}x_{2}=c/a.\end{cases}}}$

На практике (следуя методу «переброски» ) для вычисления корней применяется модификация теорема Виета:

${\displaystyle {\begin{cases}x_{1}+x_{2}=-b/a&\mid \cdot a,\\x_{1}x_{2}=c/a&\mid \cdot a^{2};\end{cases}}}$

${\displaystyle {\begin{cases}(ax_{1})+(ax_{2})=-b,\\(ax_{1})(ax_{2})=ac,\end{cases}}}$

по которой можно устно находить ax ₁ , ax ₂ , а оттуда — сами корни:

Но у некоторых неприведённых уравнений корни можно устно угадать даже по стандартной теореме Виета:

Разложение квадратного трёхчлена на множители и теоремы, следующие из этого

Если известны оба корня квадратного трёхчлена, его можно разложить по формуле

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=a(x-x_{1})(x-x_{2})}$ (2)

Доказательство

Для доказательства этого утверждения воспользуемся теоремой Виета. Согласно этой теореме, корни ${\displaystyle x_{1}}$ и ${\displaystyle x_{2}}$ квадратного уравнения ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$ образуют соотношения с его коэффициентами: ${\displaystyle x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}},\ x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}}$ . Подставим эти соотношения в квадратный трёхчлен:

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}ax^{2}+bx+c&=a(x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}})=a(x^{2}-(x_{1}+x_{2})x+x_{1}x_{2})=\\&=a(x^{2}-x_{1}x-x_{2}x+x_{1}x_{2})=a(x(x-x_{1})-x_{2}(x-x_{1}))\\&=a(x-x_{1})(x-x_{2}).\end{alignedat}}}$

В случае нулевого дискриминанта это соотношение становится одним из вариантов формулы квадрата суммы или разности .

Из формулы (2) имеются два важных следствия:

Следствие 1

Если квадратный трёхчлен раскладывается на линейные множители с вещественными коэффициентами, то он имеет вещественные корни.

Доказательство

Пусть ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=(kx+m)(nx+l)}$ . Тогда, переписав это разложение, получим:

${\displaystyle (kx+m)(nx+l)=k(x+{\frac {m}{k}})n(x+{\frac {l}{n}})=kn(x-(-{\frac {m}{k}}))(x-(-{\frac {l}{n}}))}$ .

Сопоставив полученное выражение с формулой (2), находим, что корнями такого трёхчлена являются ${\displaystyle -{\frac {m}{k}}}$ и ${\displaystyle -{\frac {l}{n}}}$ . Так как коэффициенты вещественны, то и числа, противоположные их отношениям также являются элементами множества ${\displaystyle \mathbb {R} }$ .

Следствие 2

Если квадратный трёхчлен не имеет вещественных корней, то он не раскладывается на линейные множители с вещественными коэффициентами.

Доказательство

Действительно, если мы предположим противное (что такой трёхчлен раскладывается на линейные множители), то, согласно следствию 1 , он имеет корни в множестве ${\displaystyle \mathbb {R} }$ , что противоречит условию, а потому наше предположение неверно, и такой трёхчлен не раскладывается на линейные множители.

Уравнения, сводящиеся к квадратным

Алгебраические

Уравнение вида ${\displaystyle a\cdot f^{2}(x)+b\cdot f(x)+c=0}$ является уравнением, сводящимся к квадратному.

В общем случае оно решается методом введения новой переменной , то есть заменой ${\displaystyle f(x)=t,~t\in {\mathcal {E}}(f),}$ где ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ — множество значений функции ${\displaystyle f}$ , c последующим решением квадратного уравнения ${\displaystyle a\cdot t^{2}+b\cdot t+c=0}$ .

Также при решении можно обойтись без замены, решив совокупность двух уравнений:

${\displaystyle f(x)={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4\cdot a\cdot c}}}{2a}}}$ и

${\displaystyle f(x)={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4\cdot a\cdot c}}}{2a}}}$

К примеру, если ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ , то уравнение принимает вид:

${\displaystyle ax^{4}+bx^{2}+c=0.}$

Такое уравнение 4-й степени называется биквадратным .

С помощью замены

${\displaystyle y=x+{\dfrac {k}{x}}}$

к квадратному уравнению сводится уравнение

${\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+kbx+k^{2}a=0,}$

известное как возвратное или обобщённо-симметрическое уравнение .

Дифференциальные

Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами второго порядка

${\displaystyle y''+py'+qy=0}$

подстановкой ${\displaystyle y=e^{kx}}$ сводится к характеристическому квадратному уравнению:

${\displaystyle k^{2}+pk+q=0}$

Если решения этого уравнения ${\displaystyle k_{1}}$ и ${\displaystyle k_{2}}$ не равны друг другу, то общее решение имеет вид:

${\displaystyle y=Ae^{k_{1}x}+Be^{k_{2}x}}$ , где ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ — произвольные постоянные.

Для комплексных корней ${\displaystyle k_{1,2}=k_{r}\pm k_{i}i}$ можно переписать общее решение, используя формулу Эйлера :

${\displaystyle y=e^{k_{r}x}\left(A\cos {k_{i}x}+B\sin {k_{i}x}\right)=Ce^{k_{r}x}\cos(k_{i}x+\varphi),}$

где A , B , C , φ — любые постоянные. Если решения характеристического уравнения совпадают ${\displaystyle k_{1}=k_{2}=k}$ , общее решение записывается в виде:

${\displaystyle y=Axe^{kx}+Be^{kx}}$

Уравнения такого типа часто встречаются в самых разнообразных задачах математики и физики, например, в теории колебаний или теории цепей переменного тока .

Примечания

Литература

• Квадратное уравнение; Квадратный трёхчлен // / Сост. А. П. Савин. — М. : Педагогика , 1985. — С. -136. — 352 с.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
• от 28 января 2016 на Wayback Machine / Фестиваль педагогических идей «Открытый урок».