Interested Article - Производная по времени

Производная по времени — производная функции по отношению к времени , обычно интерпретируемая как скорость изменения значения функции. Время обычно обозначается переменной $t$ $t$ .

Обозначения

Для обозначения производной по времени используется несколько обозначений. В дополнение к обычной (лейбницкой) нотации,

{\frac {dx}{dt}}

{\frac {dx}{dt}}

Очень часто, особенно в физике, используется сокращённая запись с точкой над переменной:

{\dot {x}}

\dot{x}

(так называемая ньютоновская нотация).

Высшие производные по времени обозначаются так:

{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}

{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}

или в сокращённом виде: ${\ddot {x}}$ ${\ddot {x}}$ .

В случае производных по времени более высоких порядков ньютоновская нотация, как правило, не используется.

В более общем случае, производная по времени от вектора:

{\vec {V}}=\left[v_{1},\ v_{2},\ v_{3},\cdots \right]\ ,

{\vec {V}}=\left[v_{1},\ v_{2},\ v_{3},\cdots \right]\ ,

определяется как вектор с составляющими, которые являются производными соответствующих компонент исходного вектора. То есть

{\frac {d{\vec {V}}}{dt}}=\left[{\frac {dv_{1}}{dt}},{\frac {dv_{2}}{dt}},{\frac {dv_{3}}{dt}},\cdots \right]\ .

{\frac {d{\vec {V}}}{dt}}=\left[{\frac {dv_{1}}{dt}},{\frac {dv_{2}}{dt}},{\frac {dv_{3}}{dt}},\cdots \right]\ .

Применение в физике

Производные по времени являются одним из ключевых понятий в физике. Например, для радиус-вектора $x$ $x$ , производная по времени ${\dot {x}}$ $\dot{x}$ это его скорость , а вторая производная по времени ${\ddot {x}}$ ${\ddot {x}}$ это его ускорение . Третья производная по времени известна как рывок .

Большое число уравнений в физике является производной по времени от вектора, например скорости или смещения. Многие другие фундаментальные величины в науке соотносятся как производные по времени друг от друга: