В теории узлов прямой узел — это составной узел , полученный соединением трилистника с его отражением . Узел тесно связан с бабьим узлом , который также является соединением двух трилистников. Поскольку трилистник является простейшим нетривиальным узлом, прямой и бабий узлы являются простейшими составными узлами.

Прямой узел является математической версией бытового двойного узла .

Построение

Прямой узел можно построить из двух трилистников, один из которых должен быть левосторонним, а другой — правосторонним. Каждый из узлов рассекается и свободные концы попарно соединяются. В результате соединения получается прямой узел.

Важно, чтобы брались два зеркальных образа трилистника. Если взять два одинаковых трилистника, получится бабий узел.

Свойства

Прямой узел является ахиральным , что означает, что он не отличается от своего зеркального образа. Число пересечений прямого узла равно шести, что является минимумом для составных узлов.

Многочлен Александера прямого узла равен

${\displaystyle \Delta (t)=(t-1+t^{-1})^{2},}$

что просто является квадратом многочлена Александера трилистника.

Аналогично, многочлен Александера-Конвея прямого узла равен

${\displaystyle \nabla (z)=(z^{2}+1)^{2}.}$

Эти два многочлена в точности те же, что и для бабьего узла. Однако многочлен Джонса прямого узла равен

${\displaystyle V(q)=(q^{-1}+q^{-3}-q^{-4})(q+q^{3}-q^{4})=-q^{3}+q^{2}-q+3-q^{-1}+q^{-2}-q^{-3}.}$

Этот многочлен равен произведению многочленов Джонса для левого и для правого трилистников и он отличается от многочлена Джонса для бабьего узла.

Группа прямого узла задаётся следующим образом

${\displaystyle \langle x,y,z\mid xyx=yxy,xzx=zxz\rangle }$ .

Эта группа изоморфна группе бабъего узла, и это служит простейшим примером двух различных узлов с изоморфными группами узлов.

В отличие от бабьего узла прямой узел является ленточным , а потому срезанным .

См. также

• Двойной узел
• Бабий узел
• Бабий узел (теория узлов)

Примечания

Литература

• А. Б. Сосинский. Узлы. Хронология математической теории. — Москва: МЦНМО, 2005. — С. 58. — ISBN 5-94057-220-0 .
• С. В. Дужин, С. В. Чмутов. Математическое просвещение. Сер. 3. — 1999. — С. 72—73.