Interested Article - Удвоение куба

Удвоение куба — классическая античная задача на построение циркулем и линейкой ребра куба, объём которого вдвое больше объёма заданного куба .

Наряду с трисекцией угла и квадратурой круга , является одной из самых известных неразрешимых задач на построение с помощью циркуля и линейки. Эти задачи сыграли важнейшую роль в истории математики.

История

Согласно античной легенде, однажды на острове Делос разразилась эпидемия чумы. Жители острова обратились к дельфийскому оракулу , и тот сообщил, что необходимо удвоить жертвенник святилища, который имел форму куба. Жители Делоса соорудили второй куб и поставили его на первый, но эпидемия не прекратилась. После повторного обращения оракул разъяснил, что удвоенный жертвенник должен быть единым кубом.

С тех пор делийской задачей занимались лучшие математики античного мира, было предложено несколько решений, однако никто не смог выполнить такое построение, используя только циркуль и линейку, поэтому постепенно сложилось общее убеждение в неразрешимости такой задачи. Ещё Аристотель в IV веке до н. э. писал: «Посредством геометрии нельзя доказать, что… два куба составляют один куб» .

Попытки решения

Гиппократ Хиосский (конец V в. до н. э.) показал, что задача сводится к нахождению двух средних пропорциональных между одним отрезком и другим, вдвое большим его. В современных обозначениях — к нахождению $x$ $x$ и $y$ $y$ таких, что

${\frac {a}{x}}={\frac {x}{y}}={\frac {y}{2a}}$ ${\frac {a}{x}}={\frac {x}{y}}={\frac {y}{2a}}$ . Отсюда $x^{3}=2a^{3}$ $x^{3}=2a^{3}$ .

Архит Тарентский (начало IV в. до н. э.) предложил решение, основанное на пересечении тора , конуса и кругового цилиндра .

Платон (первая половина IV в. до н. э.) предложил механическое решение, основанное на построении трёх прямоугольных треугольников с нужным соотношением сторон.

Менехм (середина IV в. до н. э.) нашёл два решения этой задачи, основанные на использовании конических сечений. В первом решении отыскивается точка пересечения двух парабол, а во втором — параболы и гиперболы.

Эратосфен (III в. до н. э.) предложил ещё одно решение, в котором используется специальный механический инструмент — мезолябия , а также описал решения своих предшественников.

Никомед (II в. до н. э.) использовал для решения этой задачи метод вставки, выполняемой с помощью специальной кривой — конхоиды .

Группа схожих между собой решений, принадлежащих Аполлонию , Филону Византийскому и Герону , также использует метод вставки.

В ещё одной группе схожих между собой решений, принадлежащих Диоклу , Паппу и Спору , используется та же идея, что и в решении Платона , при этом Диокл применяет для построения специальную кривую — циссоиду .

Свои решения также предложили Виет , Декарт , Грегуар де Сен-Венсан , Гюйгенс , Ньютон .

Неразрешимость

В современных обозначениях задача сводится к решению уравнения $x^{3}=2a^{3}$ $x^{3}=2a^{3}$ . Решение имеет вид $x=a{\sqrt[{3}]{2}}$ $x=a{\sqrt[ {3}]2}$ . Всё сводится к проблеме построения отрезка длиной ${\sqrt[{3}]{2}}$ ${\sqrt[ {3}]{2}}$ . В 1837 году Пьер Ванцель доказал, что эта задача не может быть решена с помощью циркуля и линейки .

Решение с помощью дополнительных средств

Удвоение куба неразрешимо с помощью циркуля и линейки, однако его можно осуществить, используя некоторые дополнительные инструменты.

Удвоение куба возможно осуществить построением с помощью плоского оригами .

Удвоение куба возможно осуществить с помощью невсиса . Возьмём равносторонний треугольник MPN со стороной a , продлим сторону PN и на расстоянии a от точки N построим точку R (рис. 1). Продлим влево отрезки NM и RM . Возьмём линейку невсиса с диастемой a и, используя прямую NM в качестве направляющей, точку P в качестве полюса и прямую RM в качестве целевой линии, построим отрезок AB . Длина отрезка BP соответствует стороне куба удвоенного объёма по сравнению с кубом со стороной a .

Литература

Белозеров С. Е. Пять знаменитых задач древности. История и современная теория. — Ростов: изд-во Ростовского университета, 1975. — 320 с.
Глейзер Г. И. . — М. : Просвещение, 1964. — С. 324-325.
Прасолов В. В. . — М. : Наука, 1992. — 80 с. — ( Популярные лекции по математике , выпуск 62).
Чистяков В. Д. Три знаменитые задачи древности. — М. : Гос. уч.-пед. изд-во Министерства просвещения РСФСР, 1963. — С. 8—28. — 96 с. .
Щетников А. И. Как были найдены некоторые решения трёх классических задач древности? // Математическое образование. — 2008. — № 4 (48) . — С. 3—15 .
Щетников А. И. Как были найдены некоторые решения задачи об удвоении куба? Историко-математические исследования , № 15 (50), 2014, С. 65—78.

Примечания

Удвоение куба // Большая советская энциклопедия / В. А. Введенский. — 2-е издание. — Большая советская энциклопедия, 1956. — Т. 43. — С. 648. — 300 000 экз.
Аристотель . Вторая аналитика, часть I, гл. 7. М.: Госполитиздат, 1952.
Петрунин А. (рус.) // Квант . — 2008. — № 1 . — С. 38—40 .