Interested Article - Формула Серсика

Вид одномерной функции Серсика при различных $n$ $n$ и одинаковых $r_{e}$ $r_e$ и $I_{e}$ $I_{e}$

Формула Серсика — эмпирическая формула распределения поверхностной яркости в галактиках . Является более общей формулой, чем закон де Вокулёра , и хорошо описывает различные галактики и отдельные компоненты их структуры.

Формула названа в честь аргентинского астронома Хосе Луиса Серсика , который её впервые использовал.

Формула

Двумерные функции Серсика для нескольких разных $n$ $n$ . Для всех моделей $r_{e}$ $r_e$ одинаково (показано как радиус окружности внизу справа), $I_{e}$ $I_{e}$ отличается таким образом, что полная светимость всех моделей одинакова

Формула Серсика (иногда закон Серсика или закон r ^1/n ) для галактик выражает зависимость между поверхностной яркостью $I$ $I$ в точке и её угловым расстоянием до центра галактики $r$ $r$ . Формулу можно записать следующим образом :

{\frac {I(r)}{I_{e}}}=\exp \left[-\nu _{n}\left(\left[{\frac {r}{r_{e}}}\right]^{1/n}-1\right)\right]\,,

{\frac {I(r)}{I_{e}}}=\exp \left[-\nu _{n}\left(\left[{\frac {r}{r_{e}}}\right]^{1/n}-1\right)\right]\,,

где $I_{e}$ $I_{e}$ — поверхностная яркость на расстоянии $r_{e}$ $r_e$ от центра, которое называется эффективным радиусом , внутри которого излучается половина полной светимости галактики .

Положительная величина $n$ $n$ называется индексом Серсика и характеризует общий вид распределения : при небольших $n$ $n$ распределение яркости становится более равномерным и более резко обрывается к краю, в то время как при больших $n$ $n$ в центре возникает резкий пик яркости, а во внешних частях яркость с удалением от центра убывает медленнее .

Величина $\nu _{n}$ $\nu _{n}$ — коэффициент, выбираемый таким образом, чтобы внутри радиуса $r_{e}$ $r_e$ излучалась половина полной светимости галактики. Коэффициент $\nu _{n}$ $\nu _{n}$ не независим и связан с $n$ $n$ (см. ниже ) .

Другое распространённое представление формулы Серсика имеет вид :

I(r)=I_{0}e^{-\nu _{n}\alpha ^{1/n}}\,,

I(r)=I_{0}e^{-\nu _{n}\alpha ^{1/n}}\,,

где $I_{0}$ $I_0$ — центральная поверхностная яркость, а $\alpha =r/r_{e}$ $\alpha =r/r_{e}$ . Между $I_{0}$ $I_0$ и $I_{e}$ $I_{e}$ выполняется соотношение $I_{e}=I_{0}e^{-\nu _{n}}$ $I_{e}=I_{0}e^{-\nu _{n}}$ .

Также можно записать формулу Серсика, если использовать поверхностную яркость в звёздных величинах на квадратную секунду дуги $\mu$ $\mu$ :

\mu (r)=\mu _{0}+{\frac {2{,}5\nu _{n}}{\ln 10}}\left({\frac {r}{r_{e}}}\right)^{1/n}\,,

\mu (r)=\mu _{0}+{\frac {2{,}5\nu _{n}}{\ln 10}}\left({\frac {r}{r_{e}}}\right)^{1/n}\,,

где $\mu _{0}$ $\mu _{0}$ — звёздная величина на квадратную секунду, соответствующая $I_{0}$ $I_0$ . Если аналогично определить $\mu _{e}$ $\mu_e$ , то будет верно $\mu _{e}=\mu _{0}+2{,}5\nu _{n}/\ln 10$ $\mu _{e}=\mu _{0}+2{,}5\nu _{n}/\ln 10$ .

Связь между n и ν _n

По определению, $\nu _{n}$ $\nu _{n}$ выбирается так, чтобы внутри $r_{e}$ $r_e$ излучалась половина полной светимости галактики. Тогда её можно найти через функцию $L(<r)$ $L(<r)$ , которая выражает полную светимость $L$ $L$ внутри круга с радиусом $r$ $r$ . Функцию можно записать в виде интеграла по радиусу :

L(<r)=\int _{0}^{r}I(R)2\pi RdR\,.

L(<r)=\int _{0}^{r}I(R)2\pi RdR\,.

После раскрытия $I(R)$ $I(R)$ и замены $x=\nu _{n}(r/r_{e})^{1/n}$ $x=\nu _{n}(r/r_{e})^{1/n}$ получается :

L(<r)=I_{0}r_{e}^{2}{\frac {2\pi n}{(\nu _{n})^{2n}}}\gamma (2n,x)\,,

L(<r)=I_{0}r_{e}^{2}{\frac {2\pi n}{(\nu _{n})^{2n}}}\gamma (2n,x)\,,

где $\gamma$ $\gamma$ ― (англ.) (, определяемая следующим образом :

\gamma (\eta ,x)=\int _{0}^{x}e^{-t}t^{\eta -1}dt\,.

\gamma (\eta ,x)=\int _{0}^{x}e^{-t}t^{\eta -1}dt\,.

Функция $L(<r)$ $L(<r)$ будет равна полной светимости $L_{T}$ $L_{T}$ , если $r=\infty$ $r=\infty$ . С учётом того, что $\gamma (\eta ,\infty)=\Gamma (\eta)$ $\gamma (\eta ,\infty)=\Gamma (\eta)$ , где $\Gamma (\eta)$ $\Gamma (\eta)$ — гамма-функция :

L_{T}=I_{0}r_{e}^{2}{\frac {2\pi n}{(\nu _{n})^{2n}}}\Gamma (2n)\,.

L_{T}=I_{0}r_{e}^{2}{\frac {2\pi n}{(\nu _{n})^{2n}}}\Gamma (2n)\,.

Поскольку внутри $r_{e}$ $r_e$ излучается половина полной светимости галактики, то можно записать уравнение :

\Gamma (2n)=2\gamma (2n,\nu _{n})\,.

\Gamma (2n)=2\gamma (2n,\nu _{n})\,.

Получается, что $\nu _{n}$ $\nu _{n}$ зависит от $n$ $n$ . Для данного уравнения на практике применимы численные решения , но также хорошую точность дают линейные приближения: например, в диапазоне $0{,}5<n<10$ $0{,}5<n<10$ применимо приближение $\nu _{n}=1{,}9992n-0{,}3271$ $\nu _{n}=1{,}9992n-0{,}3271$ . Если галактика имеет эллиптическую , а не круговую форму, то формулы для $L(<r)$ $L(<r)$ и $L_{T}$ $L_{T}$ нужно домножить на $1-\varepsilon$ $1-\varepsilon$ — здесь $\varepsilon =1-b/a$ $\varepsilon =1-b/a$ — видимая эллиптичность, а $b/a$ $b/a$ — отношение осей эллипса, описывающего изофоту .

Частные случаи и сходные формулы

Формула Серсика при некоторых $n$ $n$ совпадает с другими функциями: при $n=4$ $n=4$ функция переходит в закон де Вокулёра , при $n=1$ $n = 1$ — в убывающую показательную функцию , при $n=0{,}5$ $n=0{,}5$ — в функцию Гаусса .

Профиль Эйнасто , который используется для описания распределения плотности в гало тёмной материи , математически описывается той же функцией, что и закон Серсика. Он может быть записан как пропорциональность $\rho (r)\propto e^{-(r/r_{*})^{\alpha }}$ $\rho (r)\propto e^{-(r/r_{*})^{\alpha }}$ , где $\rho$ $\rho$ — плотность тёмной материи на расстоянии $r$ $r$ от центра, $r_{*}$ $r_{*}$ — характерный радиус, а $\alpha$ $\alpha$ — параметр, эквивалентный $1/n$ $1/n$ , в то время как подобная пропорциональность для закона Серсика выглядит как $I(r)\propto e^{-(r/r_{e})^{1/n}}$ $I(r)\propto e^{-(r/r_{e})^{1/n}}$ .

Применение

Закон Серсика хорошо описывает распределение яркости как в целых галактиках, так и в отдельных её частях. Распределение поверхностной яркости в большинстве балджей и в эллиптических галактиках невысокой яркости хорошо моделируются законом Серсика при $1<n<4$ $1<n<4$ . Для балджей с невысокой светимостью в основном подходит $n=1$ $n = 1$ , а для наиболее ярких балджей и ярких эллиптических галактик — $n=4$ $n=4$ (закон Вокулёра), и в среднем подходящий $n$ $n$ увеличивается с ростом светимости балджа. Для дисков галактик обычно $n=1$ $n = 1$ . Для баров закон Серсика также может использоваться — в этом случае обычно $0{,}5<n<1$ $0{,}5<n<1$ , однако нередко бывает и вне этого значения .

С развитием компьютерных методов анализа изображений наиболее распространённым стал анализ составляющих галактик по отдельности, в том числе с использованием функции Серсика для их описания, а не апроксимация изображения галактики законом Серсика целиком .

Закон Серсика является полностью эмпирическим и не следует из каких-либо теоретических соображений, хотя в численных моделях воспроизводятся распределения яркости, описываемые законом Серсика. Например, в моделях в результате слияний галактик с сопоставимыми массами получившаяся система распределения яркости близка к закону Серсика с $n=4$ $n=4$ , в то время как распределения яркости с $n=1$ $n = 1$ появляются в результате «спокойной» динамической эволюции .

Показатель $n$ $n$ для конкретной галактики коррелирует с её морфологическим типом . Для эллиптических галактик и балджей наблюдается корреляция $n$ $n$ с множеством параметров, среди которых — светимость и размеры , масса чёрной дыры в центре и центральная дисперсия скоростей .

Несколько галактик, для которых проводилась апроксимация распределения яркости законом Серсика, изображения SDSS (в скобках указано полученное $n$ $n$ )
NGC 2976 ( $n\approx 0{,}55$ $n\approx 0{,}55$ )
NGC 428 ( $n\approx 1{,}2$ $n\approx 1{,}2$ )
M 74 ( $n\approx 2{,}1$ $n\approx 2{,}1$ )
M 81 ( $n\approx 3{,}4$ $n\approx 3{,}4$ )
M 84 ( $n\approx 4{,}9$ $n\approx 4{,}9$ )

История

Формула Серсика названа в честь аргентинского астронома Хосе Луиса Серсика , который впервые использовал её. В 1968 году он опубликовал «Атлас южных галактик» и применил свою формулу, чтобы описать распределение яркости во всех достаточно крупных галактиках атласа. Серсик также показал, что параметр $n$ $n$ коррелирует с морфологическим типом галактики .

Сам Серсик рассматривал свою формулу как обобщение закона де Вокулёра, который Жерар Анри де Вокулёр предложил в 1948 году .

Примечания

↑ Trujillo I., Graham A. W., Caon N. // Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. — 2001-09-01. — Т. 326 . — С. 869–876 . — ISSN . — doi : . 6 декабря 2022 года.
↑ Graham A. W., Driver S. P. // Publications of the Astronomical Society of Australia. — 2005-01-01. — Т. 22 . — С. 118–127 . — ISSN . — doi : . 25 декабря 2022 года.
↑ Решетников В. П. (неопр.) . Астронет . Дата обращения: 25 декабря 2022. 4 ноября 2021 года.
Peng C. Y., Ho L. C., Impey C. D., Rix H-W. // The Astronomical Journal. — 2010-06-01. — Т. 139 . — С. 2097–2129 . — ISSN . — doi : . 25 декабря 2022 года.
Peng C. Y. (неопр.) . GALFIT . Дата обращения: 26 декабря 2022. 26 декабря 2022 года.
Nipoti C. . — 2017-03-01. — Т. 321 . — С. 87–89 . — doi : . 26 декабря 2022 года.
↑ , с. 345—346.
(неопр.) . Swinburne University of Technology . Дата обращения: 1 ноября 2021. 1 ноября 2021 года.
Gadotti D. A. // / edited by G. Contopoulos, P.A. Patsis. — N. Y. : Springer , 2009. — Vol. 8. — P. 159. — 497 p. — (Astrophysics and Space Science Proceedings). — ISBN 3-540-75826-7 . — ISBN 978-3-540-75826-6 . — doi : . 19 декабря 2021 года.
Kim T., Sheth K., Gadotti D. A., Lee M. G., Zaritsky D. (англ.) // The Astrophysical Journal . — Bristol: IOP Publishing , 2015. — 1 January (vol. 799). — P. 99 . — ISSN . — doi : .
Méndez-Abreu J., Ruiz-Lara T., Sánchez-Menguiano L. et al. // Astronomy and Astrophysics. — 2017-02-01. — Т. 598 . — С. A32 . — ISSN . — doi : . 2 августа 2022 года.
Graham A. W., Driver S. P. // The Astrophysical Journal. — 2007-01-01. — Т. 655 . — С. 77–87 . — ISSN . — doi : . 19 мая 2020 года.
Trujillo I., Erwin P., Asensio Ramos A., Graham A. W. // The Astronomical Journal. — 2004-04-01. — Т. 127 . — С. 1917–1942 . — ISSN . — doi : . 27 декабря 2022 года.
Salo H., Laurikainen E., Laine J. et al. // The Astrophysical Journal Supplement Series. — 2015-07-01. — Т. 219 . — С. 4 . — ISSN . — doi : .
Sersic, J. L. . — 1968-01-01. 25 декабря 2022 года.