Interested Article - Эллиптическое уравнение

Гармоническая функция на кольце — решение уравнения Лапласа

Эллиптические уравнения — класс дифференциальных уравнений в частных производных , описывающих стационарные процессы.

Определение

Рассмотрим общий вид скалярного дифференциального уравнения в частных производных второго порядка относительно функции $u:R^{n}\rightarrow R$ $u:R^{n}\rightarrow R$ :

\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}+\sum _{k=1}^{n}b_{k}{\frac {\partial u}{\partial x_{k}}}+cu=f(x_{1},\ldots ,x_{n})

\sum _{{i=1}}^{n}\sum _{{j=1}}^{n}a_{{ij}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}+\sum _{{k=1}}^{n}b_{k}{\frac {\partial u}{\partial x_{k}}}+cu=f(x_{1},\ldots ,x_{n})

При этом уравнение записано в симметричном виде, то есть: $a_{ij}=a_{ji}$ $a_{{ij}}=a_{{ji}}$ . Тогда эквивалентное уравнение в виде квадратичной формы :

\left(\nabla A\nabla ^{T}\right)u+\mathbf {b} \cdot \nabla u+cu=f(x_{1},\ldots ,x_{n})

\left(\nabla A\nabla ^{T}\right)u+{\mathbf {b}}\cdot \nabla u+cu=f(x_{1},\ldots ,x_{n})

,

где $A=A^{T}$ $A=A^{T}$ .
Матрица $A$ $A$ называется матрицей главных коэффициентов .
Если все собственные значения матрицы $A$ $A$ имеют одинаковый знак, то уравнение относят к эллиптическому типу .
Другое, эквивалентное определение: уравнение называется эллиптическим, если оно представимо в виде:

Lu=f(x_{1},\ldots ,x_{n})

Lu=f(x_{1},\ldots ,x_{{n}})

,

где $L$ $L$ — эллиптический оператор .

Эллиптические уравнения противопоставляются параболическим и гиперболическим , хотя данная классификация не является исчерпывающей.

Решение эллиптических уравнений

Для аналитического решения эллиптических уравнений при заданных граничных условиях применяют метод разделения переменных Фурье , метод функции Грина и метод потенциалов .

Примеры эллиптических уравнений

В математической физике эллиптические уравнения возникают в задачах, сводящихся лишь к пространственным координатам: от времени либо ничего не зависит (стационарные процессы), либо оно каким-то образом исключается.

Уравнение Лапласа и уравнение Пуассона , описывают различные стационарные физические поля.
Стационарный аналог уравнения Шрёдингера , когда предполагается гармоническая зависимость от времени.
Уравнения, получаемые из уравнений Максвелла . Такие получаются, из предположения, что электромагнитное поле либо не меняется с течением времени, либо меняется по гармоническому закону. Одним из уравнений, получаемых в таких предположениях является уравнение Гельмгольца .
Уравнение Стокса — стационарный аналог системы уравнений Навье-Стокса , для устоявшегося течения.