Корневой годограф — в теории управления траектория, описываемая на комплексной плоскости полюсами передаточной функции динамической системы при изменении одного из её параметров. Обычно изменяемым параметром является коэффициент усиления системы. Корневые годографы широко применяются в анализе и синтезе линейных -систем.

Обычно корневые годографы применяют при анализе системы.

Метод корневого годографа

Пусть передаточная функция замкнутой системы

${\displaystyle W(s)={\frac {A(s)}{B(s)}}}$ ,

причём порядок полинома числителя равен ${\displaystyle m}$ , порядок полинома знаменателя равен ${\displaystyle n\!,m\leq n}$ для физически реализуемых систем .

Метод корневого годографа связывает динамические характеристики системы с поведением нулей и полюсов её передаточной функции, которые находятся из нулей и полюсов разомкнутой системы при изменении какого-либо параметра (обычно коэффициента усиления разомкнутой системы). Замкнутая система связана с разомкнутой с помощью следующего соотношения:

${\displaystyle W(s)={\frac {W_{\Pi }}{1+W_{p}}}}$

Где ${\displaystyle W_{\Pi }}$ - передаточная функция прямой системы, ${\displaystyle W_{p}}$ - передаточная функция разомкнутой системы. Эта формула справедлива только для отрицательной обратной связи, в противном случае знак после единицы будет отрицательным. Пусть точка ${\displaystyle s}$ является полюсом замкнутой системы. Проведём в эту точку вектора из всех нулей ${\displaystyle W_{p}}$ разомкнутой системы (обозначим аргументы этих векторов ${\displaystyle \theta _{j}^{0}}$ ) и всех полюсов ${\displaystyle W_{p}}$ (аргументы этих векторов обозначим ${\displaystyle \theta _{j}^{P}}$ ). Тогда корневым годографом будет являться геометрическое место точек , удовлетворяющих следующему уравнению:

${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}\theta _{j}^{0}-\sum _{j=1}^{n}\theta _{j}^{P}=\pm (2u+1)\pi ,u=0,1,2,\dots }$

Метод корневого годографа позволяет подобрать коэффициент усиления системы управления, оценить колебательность движения, подобрать расположение нулей и полюсов корректирующих звеньев системы управления .

Свойства корневого годографа

Рассмотрим свойства корневого годографа при изменении коэффициента усиления:

1. Ветви корневого годографа непрерывны и симметричны относительно действительной оси комплексной плоскости.
2. Число ветвей корневого годографа равно порядку системы ${\displaystyle n}$ .
3. Ветви начинаются в полюсах разомкнутой системы (так как при нулевом коэффициенте усиления ${\displaystyle K}$ полюсы разомкнутой и замкнутой систем совпадают). При возрастании ${\displaystyle K}$ от 0 до бесконечности полюса замкнутой системы двигаются по ветвям корневого годографа.
4. Так как при ${\displaystyle K=\infty }$ полюсы замкнутой системы становятся равными нулям разомкнутой системы, то ровно ${\displaystyle m}$ ветвей корневого годографа заканчивается в нулях замкнутой системы, а остальные ветви уходят в бесконечность.
5. Замкнутая система является устойчивой , если её полюса лежат в левой полуплоскости плоскости корней. Соответственно при пересечении ветвями годографа мнимой оси слева направо система из устойчивой становится неустойчивой. Коэффициент усиления, соответствующий этому переходу, называется критическим . Данное свойство полезно при оценке устойчивости системы.

См. также

• ЛАФЧХ
• АФЧХ
• Диаграмма Николса
• Годограф

Внешние ссылки

• Е. В. Никульчев .