Interested Article - Метрика Хаусдорфа

Метрика Хаусдорфа есть естественная метрика, определённая на множестве всех непустых компактных подмножеств метрического пространства . Таким образом, она превращает множество всех непустых компактных подмножеств метрического пространства в метрическое пространство.

По-видимому, первое упоминание этой метрики содержится в книге Феликса Хаусдорфа «Теория множеств», первое издание 1914 года. Двумя годами позже, та же метрика описывается в книге Вильгельма Бляшке «Круг и шар», возможно независимо, так как не содержит ссылки на книгу Хаусдорфа.

Определение

Пусть $X$ $X$ и $Y$ $Y$ суть два непустых компактных подмножества метрического пространства $M$ $M$ . Тогда расстояние по Хаусдорфу, $d_{H}(X,\;Y)$ $d_{H}(X,\;Y)$ , между $X$ $X$ и $Y$ $Y$ есть минимальное число $r$ $r$ такое, что замкнутая $r$ $r$ -окрестность $X$ $X$ содержит $Y$ $Y$ и также замкнутая $r$ $r$ -окрестность $Y$ $Y$ содержит $X$ $X$ .

Замечания

Другими словами, если $|xy|$ $|xy|$ обозначает расстояние между точками $x$ $x$ и $y$ $y$ в $M$ $M$ то

$d_{H}(X,\;Y)=\max \left\{\sup _{x\in X}\inf _{y\in Y}|xy|,\;\sup _{y\in Y}\inf _{x\in X}|xy|\right\}.$ $d_{H}(X,\;Y)=\max \left\{\sup _{{x\in X}}\inf _{{y\in Y}}|xy|,\;\sup _{{y\in Y}}\inf _{{x\in X}}|xy|\right\}.$

Эквивалентное определение:

$d_{H}(X,\;Y)=\sup _{m\in M}\left\{\,|\mathrm {dist} _{X}(m)-\mathrm {dist} _{Y}(m)|\,\right\},$ $d_{H}(X,\;Y)=\sup _{m\in M}\left\{\,|\mathrm {dist} _{X}(m)-\mathrm {dist} _{Y}(m)|\,\right\},$

где

\mathrm {dist} _{X}\colon M\to \mathbb {R}

\mathrm {dist} _{X}\colon M\to \mathbb {R}

обозначает функцию расстояния до множества

X

X

.

Свойства

Пусть $F(M)$ $F(M)$ обозначает множество всех непустых компактных подмножеств метрического пространства $M$ $M$ с метрикой Хаусдорфа:

Топология пространства $F(M)$ $F(M)$ полностью определяется топологией $M$ $M$ .
(Теорема выбора Бляшке) $F(M)$ $F(M)$ компактно тогда и только тогда, когда компактно $M$ $M$ .
$F(M)$ $F(M)$ полно тогда и только тогда, когда $M$ $M$ полное.

Вариации и обобщения

Иногда метрика Хаусдорфа рассматривается на множестве всех замкнутых подмножеств метрического пространства, в этом случае расстояние между некоторыми подмножествами может равняться бесконечности.
Иногда метрика Хаусдорфа рассматривается на множестве всех подмножеств метрического пространства. В этом случае она является только псевдометрикой и не является метрикой, так как «расстояние» между различными подмножествами может равняться нулю.
В евклидовой геометрии , часто применяется метрика Хаусдорфа с точностью до конгруэнтности . Пусть $X$ $X$ и $Y$ $Y$ два компактных подмножества евклидова пространства, тогда $D_{H}(X,\;Y)$ $D_{H}(X,\;Y)$ определяется как минимум $d_{H}{\bigl (}I(X),\;Y{\bigr)}$ $d_{H}{\bigl (}I(X),\;Y{\bigr)}$ по всем движениям евклидова пространства $I$ $I$ . Строго говоря, эта метрика на пространстве классов конгруэнтности компактных подмножеств евклидова пространства.
Метрика Громова — Хаусдорфа аналогична метрике Хаусдорфа с точностью до конгруэнтности . Она превращает множество (изометрических классов) компактных метрических пространств в метрическое пространство.