Первая группа когомологий топологического пространства — абелева группа , состоящая из аддитивных целозначных функций на первой группе гомологий этого пространства. Она является простейшим вариантом — одного из центральных понятий теории гомологий и алгебраической топологии .

Определение

Первой группой когомологий топологического пространства ${\displaystyle X}$ называется группа гомоморфизмов

${\displaystyle H^{1}(X):={\rm {Hom}}(H_{1}(X),\mathbb {Z})}$ ,

где ${\displaystyle H_{1}(X)}$ — его первая группа гомологий .

Свойства

Первая группа когомологий компактного пространства является конечно порождённой . Она тривиальна тогда и только тогда, когда первая группа гомологий этого пространства конечна.

Первые группы когомологий гомеоморфных или гомотопически эквивалентных пространств изоморфны .

Функториальность

Сопоставление ${\displaystyle X\to H^{1}(X)}$ продолжается до функтора из категории топологических пространств в категорию абелевых групп , причем контравариантного . А именно, каждому непрерывному отображению ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ сопоставляется гомоморфизм ${\displaystyle f^{*}\colon H^{1}(Y)\to H^{1}(X)}$ , где образ ${\displaystyle f^{*}(\varphi)\colon H_{1}(X)\to \mathbb {Z} }$ гомоморфизма ${\displaystyle \varphi \colon H_{1}(Y)\to \mathbb {Z} }$ определяется правилом

${\displaystyle [a]\mapsto \varphi ([f(a)])}$ ,

где символ ${\displaystyle [a]}$ обозначает гомологический класс одномерного цикла ${\displaystyle a}$ .

Иными словами, данный функтор является композицией ${\displaystyle X\mapsto H_{1}(X)\mapsto H^{1}(X)}$ ковариантного функтора первой группы гомологий и контравариантного hom-функтора , представленного группой ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ .

Если два отображения ${\displaystyle f,g\colon X\to Y}$ гомотопны, то они индуцируют одинаковые гомоморфизмы первых групп когомологий: ${\displaystyle f^{*}=g^{*}}$ . В связи с этим сопоставление ${\displaystyle X\to H^{1}(X)}$ продолжается до контравариантного функтора из в категорию абелевых групп.

Связь с фундаментальной группой

Если ${\displaystyle X}$ линейно связно, его первая группа гомологий изоморфна абелианизации его фундаментальной группы . В этом случае, согласно универсальному свойству абелианизации , имеется изоморфизм групп гомоморфизмов:

${\displaystyle H^{1}(X)\cong {\rm {Hom}}(\pi _{1}(X),\mathbb {Z})}$ .

Связь с отображениями в окружность

Каждое непрерывное отображение ${\displaystyle f\colon X\to S^{1}}$ индуцирует гомоморфизм фундаментальных групп:

${\displaystyle f_{*}\colon \pi _{1}(X)\to \pi _{1}(S^{1})\cong \mathbb {Z} }$ .

Следовательно, если пространство ${\displaystyle X}$ линейно связно, оно определяет элемент первой группы когомологий: ${\displaystyle f_{*}\in {\rm {Hom}}(\pi _{1}(X),\mathbb {Z})\cong H^{1}(X)}$ . Поскольку гомотопные отображения индуцируют одинаковые гомоморфизмы, данная конструкция задаёт функцию

${\displaystyle [X,S^{1}]\to H^{1}(X)}$

из множества гомотопических классов отображений ${\displaystyle X\to S^{1}}$ в первую группу когомологий пространства ${\displaystyle X}$ . Она биективна, поскольку для окружности, как и для любого пространства Эйленберга-Маклейна , подобная конструкция осуществляет взаимно-однозначное соответствие между гомотопическими классами отображений ${\displaystyle X\to K(G,1)}$ и гомоморфизмами ${\displaystyle \pi _{1}(X)\to G}$ .

Имеется следующее описание прообраза сложения из первой группы когомологий ${\displaystyle H^{1}(X)}$ в множестве ${\displaystyle [X,S^{1}]}$ гомотопических классов. Для ${\displaystyle f,g\colon X\to S^{1}}$ определим отображение ${\displaystyle f\ast g\colon X\to S^{1}}$ правилом

${\displaystyle x\mapsto f(x)\times g(x)}$ ,

где ${\displaystyle \times }$ — стандартная групповая операция на окружности . Тогда ${\displaystyle (f\ast g)_{*}=f_{*}+g_{*}}$ .

Примечания

Литература

• Хатчер А. Алгебраическая топология (рус.) . — М. : МЦНМО , 2011. — 689 с. — ISBN 978-5-940-57-748-5 .
• Viro O. Ya. , Ivanov O. A. , Netsvetaev N. Y. , Kharlamov V. M. . = Элементарная топология (англ.) . — American Mathematical Society , 2008. — 490 p. — ISBN 0821845063 .