Эволю́та плоской кривой — геометрическое место точек , являющихся центрами кривизны кривой.

По отношению к своей эволюте любая кривая является эвольвентой .

Уравнения

Если линия задана параметрическими уравнениями ${\displaystyle X=x(t),\ Y=y(t)}$ , то её эволюта имеет уравнение:

${\displaystyle X=x(t)-y'{\frac {x'^{2}+y'^{2}}{x'y''-x''y'}},}$

${\displaystyle Y=y(t)+x'{\frac {x'^{2}+y'^{2}}{x'y''-x''y'}}}$

В частности, если ${\displaystyle t}$ является натуральным параметром кривой ${\displaystyle {\vec {r}}(t)}$ , то её эволюта может быть задана уравнением:

${\displaystyle {\vec {r}}(t)+{\frac {1}{k(t)}}{\vec {n}}(t)}$ ,

где ${\displaystyle {\vec {n}}}$ — единичный вектор нормали кривой, направленный в сторону центра кривизны, ${\displaystyle k}$ — кривизна.

Примеры

• Вытянутая астроида
• : ${\displaystyle x={\frac {a^{2}-b^{2}}{a}}\cos ^{3}t,\quad y={\frac {b^{2}-a^{2}}{b}}\sin ^{3}t}$

является эволютой эллипса

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$ .

• Эволюта астроиды подобна ей, но вдвое больше неё и повёрнута относительно неё на 45°.
• Эволюта циклоиды является циклоидой, конгруэнтной исходной и параллельно сдвинутой от исходной так, что вершины переходят в её каспы . Эти свойства открыты Христианом Гюйгенсом ; они были им использованы при создании точных механических часов , собственная частота маятника в которых не зависит от амплитуды колебаний.

См. также

• Эвольвента
• Параллельная кривая
• Соприкасающаяся окружность

Примечания

Литература

• Д. А. Граве . // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб. , 1890—1907.
• В. Бляшке . Диференциальная геометрия и геометрические основы теории относительности Эйнштейна / М. Я. Выгодский (перевод с немецкого). — М. : ОНТИ , 1935. — 331 с.