Interested Article - Логнормальное распределение

Логнорма́льное распределе́ние в теории вероятностей — это двухпараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений . Если случайная величина имеет логнормальное распределение, то её логарифм имеет нормальное распределение .

Определение

Пусть распределение случайной величины $X$ $X$ задаётся плотностью вероятности , имеющей вид:

f_{X}(x)={\frac {1}{x\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-(\ln x-\mu)^{2}/2\sigma ^{2}},

где $x>0,\;\sigma >0,\;\mu \in \mathbb {R}$ $x>0,\;\sigma >0,\;\mu \in {\mathbb {R}}$ . Тогда говорят, что $X$ $X$ имеет логнормальное распределение с параметрами $\mu$ $\mu$ и $\sigma$ $\sigma$ . Пишут: $X\sim \mathrm {LogN} (\mu ,\sigma ^{2})\$ $X\sim {\mathrm {LogN}}(\mu ,\sigma ^{2})\$ .

Моменты

Формула для $k$ $k$ -го момента логнормальной случайной величины $X$ $X$ имеет вид:

\mathbb {E} \left[X^{k}\right]=e^{k\mu +{\frac {k^{2}\sigma ^{2}}{2}}},\;k\in \mathbb {N} ,

{\mathbb {E}}\left[X^{k}\right]=e^{{k\mu +{\frac {k^{2}\sigma ^{2}}{2}}}},\;k\in {\mathbb {N}},

откуда в частности:

\mathbb {E} [X]=e^{\mu +{\sigma ^{2} \over 2}}

{\mathbb {E}}[X]=e^{{\mu +{\sigma ^{2} \over 2}}}

,

\mathrm {D} [X]=\left(e^{\sigma ^{2}}-1\right)e^{2\mu +\sigma ^{2}}

{\mathrm {D}}[X]=\left(e^{{\sigma ^{2}}}-1\right)e^{{2\mu +\sigma ^{2}}}

.

Любые нецентральные моменты n-мерного совместного логнормального распределения могут быть вычислены по простой формуле:

\alpha _{n}=e^{(\mu ,n)+{\frac {1}{2}}(n,\Sigma n)}

\alpha _{{n}}=e^{{(\mu ,n)+{\frac {1}{2}}(n,\Sigma n)}}

, где

\mu

\mu

и

\Sigma

\Sigma

— параметры многомерного совместного распределения.

n

n

— вектор, компоненты которого задают порядок момента. (Например, в двухмерном случае,

n=(2,0)

n=(2,0)

— второй нецентральный момент первой компоненты,

n=(1,1)

n=(1,1)

— смешанный второй момент). Круглые скобки обозначают скалярное произведение.

Свойства логнормального распределения

Если $X_{1},\ldots ,X_{n}$ $X_{1},\ldots ,X_{n}$ — независимые логнормальные случайные величины, такие что $X_{i}\sim \mathrm {LogN} (\mu ,\sigma _{i}^{2})$ $X_{i}\sim {\mathrm {LogN}}(\mu ,\sigma _{i}^{2})$ , то их произведение также логнормально:

$Y=\prod \limits _{i=1}^{n}X_{i}\sim \mathrm {LogN} \left(n\mu ,\sum \limits _{i=1}^{n}\sigma _{i}^{2}\right)$ $Y=\prod \limits _{{i=1}}^{n}X_{i}\sim {\mathrm {LogN}}\left(n\mu ,\sum \limits _{{i=1}}^{n}\sigma _{i}^{2}\right)$ .

Связь с другими распределениями

Если $X\sim \mathrm {LogN} (\mu ,\sigma ^{2})\$ $X\sim {\mathrm {LogN}}(\mu ,\sigma ^{2})\$ , то $Y=\ln(X)\sim \mathrm {N} (\mu ,\sigma ^{2})\$ $Y=\ln(X)\sim {\mathrm {N}}(\mu ,\sigma ^{2})\$ .

И наоборот, если $Y\sim \mathrm {N} (\mu ,\sigma ^{2})\$ $Y\sim {\mathrm {N}}(\mu ,\sigma ^{2})\$ , то $X=\exp(Y)\sim \mathrm {LogN} (\mu ,\sigma ^{2})\$ $X=\exp(Y)\sim {\mathrm {LogN}}(\mu ,\sigma ^{2})\$ .

Моделирование логнормальных случайных величин

Для моделирования обычно используется связь с нормальным распределением. Поэтому, достаточно сгенерировать нормально распределённую случайную величину, например, используя преобразование Бокса — Мюллера , и вычислить её экспоненту.

Вариации обобщения

Логнормальное распределение является частным случаем так называемого распределения Кэптейна ^{[

источник не указан 2795 дней

]} .

Приложения

Логнормальное распределение удовлетворительно описывает распределение частот частиц по их размерам при случайном дроблении, например, градин в граде и т. д. Однако здесь есть исключения, например, размер астероидов в солнечной системе имеет логарифмическое распределение ^{[

источник не указан 2795 дней

]} .

Литература

Crow, Edwin L. & Shimizu, Kunio (Editors) (1988), Lognormal Distributions, Theory and Applications , vol. 88, Statistics: Textbooks and Monographs, New York: Marcel Dekker, Inc., с. xvi+387, ISBN 0-8247-7803-0
Aitchison, J. and Brown, J.A.C. (1957) The Lognormal Distribution , Cambridge University Press .
Limpert, E; Stahel, W; Abbt, M. Lognormal distributions across the sciences: keys and clues (англ.) // (англ.) (: journal. — 2001. — Vol. 51 , no. 5 . — P. 341—352 . — doi : .
Eric W. Weisstein et al. at MathWorld . Electronic document, retrieved October 26, 2006.
Holgate, P. The lognormal characteristic function (неопр.) // Communications in Statistics - Theory and Methods. — 1989. — Т. 18 , № 12 . — С. 4539—4548 . — doi : .
Brooks, Robert; Corson, Jon; (англ.) (. The Pricing of Index Options When the Underlying Assets All Follow a Lognormal Diffusion (англ.) // Advances in Futures and Options Research : journal. — 1994. — Vol. 7 .