Interested Article - Сочетание

В комбинаторике сочетанием из $n$ $n$ по $k$ $k$ называется набор из $k$ $k$ элементов, выбранных из $n$ $n$ -элементного множества , в котором не учитывается порядок элементов.

Соответственно, сочетания, отличающиеся только порядком следования элементов (но не составом), считаются одинаковыми — этим сочетания отличаются от размещений . Так, например, 3-элементные сочетания 2 и 3 ( (нестрогие) подмножества , для которых $k=3$ $k=3$ ) из 6-элементного множества 1 ( $n=6$ $n=6$ ) являются одинаковыми (в то время как размещения были бы разными) и состоят из одних и тех же элементов 1.

В общем случае всех возможных $k$ $k$ -элементных подмножеств $n$ $n$ -элементного множества стоит на пересечении $k$ $k$ -й диагонали и $n$ $n$ -й строки треугольника Паскаля .

3х элементные подмножества 5 элементного множества

Число сочетаний

Число сочетаний из $n$ $n$ по $k$ $k$ равно биномиальному коэффициенту

{n \choose k}=C_{n}^{k}={\frac {n!}{k!\left(n-k\right)!}}.

{n \choose k}=C_{n}^{k}={\frac {n!}{k!\left(n-k\right)!}}.

При фиксированном $n$ $n$ производящей функцией последовательности чисел сочетаний ${\tbinom {n}{0}}$ ${\tbinom {n}{0}}$ , ${\tbinom {n}{1}}$ ${\tbinom {n}{1}}$ , ${\tbinom {n}{2}}$ ${\tbinom {n}{2}}$ , … является

\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{k}=(1+x)^{n}.

\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{k}=(1+x)^{n}.

Двумерной производящей функцией чисел сочетаний является

\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{k}y^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }(1+x)^{n}y^{n}={\frac {1}{1-y-xy}}.

\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{k}y^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }(1+x)^{n}y^{n}={\frac {1}{1-y-xy}}.

Сочетания с повторениями

Сочетанием с повторениями из $n$ $n$ по $k$ $k$ называется такой $k$ $k$ -элементный набор из $n$ $n$ -элементного множества, в котором каждый элемент может участвовать несколько раз, но в котором порядок не учитывается ( мультимножество ). В частности, число монотонных неубывающих функций из множества $\{1,2,\dots ,k\}$ $\{1,2,\dots ,k\}$ в множество $\{1,2,\dots ,n\}$ $\{1,2,\dots,n\}$ равно числу сочетаний с повторениями из $n$ $n$ по $k$ $k$ .

Число сочетаний с повторениями из $n$ $n$ по $k$ $k$ равно:

{\overline {C_{n}^{k}}}=C_{(n)}^{k}=\left(\!\!{\binom {n}{k}}\!\!\right)={\binom {n+k-1}{n-1}}={\binom {n+k-1}{k}}=(-1)^{k}{\binom {-n}{k}}={\frac {(n+k-1)!}{k!\cdot (n-1)!}}.

{\overline {C_{n}^{k}}}=C_{(n)}^{k}=\left(\!\!{\binom {n}{k}}\!\!\right)={\binom {n+k-1}{n-1}}={\binom {n+k-1}{k}}=(-1)^{k}{\binom {-n}{k}}={\frac {(n+k-1)!}{k!\cdot (n-1)!}}.

Доказательство

Пусть имеется $n$ $n$ типов объектов, причём объекты одного типа неотличимы. Пусть имеется неограниченное (или достаточно большое, во всяком случае, не меньше $k$ $k$ ) число объектов каждого типа. Из этого ассортимента выберем $k$ $k$ объектов; в выборке могут встречаться объекты одного типа, порядок выбора не имеет значения. Обозначим через $x_{j}$ $x_{j}$ число выбранных объектов $j$ $j$ -го типа, $x_{j}\geq 0$ $x_{j}\geq 0$ , $j=1,2,\dots ,n$ $j=1,2,\dots ,n$ . Тогда $x_{1}+x_{2}+\dots +x_{n}=k$ $x_{1}+x_{2}+\dots +x_{n}=k$ . Но число решений этого уравнения легко подсчитывается с помощью метода шаров и перегородок : каждое решение соответствует расстановке в ряд $k$ $k$ шаров и $n-1$ $n-1$ перегородок так, чтобы между $(j-1)$ $(j-1)$ -й и $j$ $j$ -й перегородками находилось ровно $x_{j}$ $x_{j}$ шаров. Но таких расстановок в точности ${\tbinom {n+k-1}{k}}$ ${\tbinom {n+k-1}{k}}$ , что и требовалось доказать. ■