Струя (или джет , от англ. jet) — структура, однозначно определённая частными производными функции (или сечения) в точке до некоторого порядка. Например k -струя функции ${\displaystyle f}$ в нуле однозначно описывается следующей последовательностью из ${\displaystyle (k+1)}$ -го числа:

${\displaystyle f(0),f'(0),\dots ,f^{(k)}(0).}$

Струи и ростки предоставляют инвариантный язык для теории дифференциальных уравнений на гладких многообразиях .

Определения

Аналитическое определение

k -струя гладкого расслоения ${\displaystyle E}$ на многообразии ${\displaystyle M}$ в точке ${\displaystyle x}$ — совокупность гладких сечений имеющих одинаковые многочлены Тейлора k -ой степени в точке ${\displaystyle x}$ в одной некоторой (а значит и в любой) карте ${\displaystyle x}$ .

Пространство ${\displaystyle k}$ -струй в точке ${\displaystyle x}$ обозначается как ${\displaystyle J_{x}^{k}}$ .

Алгебро-геометрическое определение

Это определение основано на идеях алгебраической геометрии и коммутативной алгебры . Пусть ${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} _{p}^{n},\;\mathbb {R} ^{m})}$ — векторное пространство ростков гладких отображений ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ в точке ${\displaystyle p\in \mathbb {R} ^{n}}$ . Пусть ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{p}}$ — идеал отображений, равных нулю в точке ${\displaystyle p}$ (это максимальный идеал локального кольца ${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} _{p}^{n},\;\mathbb {R} ^{m})}$ ), а ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{p}^{k+1}}$ — идеал, состоящий из ростков всех отображений, равных нулю в точке ${\displaystyle p}$ с точностью до ${\displaystyle k}$ -го порядка. Определим пространство струй в точке ${\displaystyle p}$ как

${\displaystyle J_{p}^{k}(\mathbb {R} ^{n},\;\mathbb {R} ^{m})=C^{\infty }(\mathbb {R} _{p}^{n},\;\mathbb {R} ^{m})/{\mathfrak {m}}_{p}^{k+1}.}$

Если ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ — гладкое отображение, то можно определить ${\displaystyle k}$ -струю ${\displaystyle f}$ в точке ${\displaystyle p}$ как элемент ${\displaystyle J_{p}^{k}(\mathbb {R} ^{n},\;\mathbb {R} ^{m})}$ , для которого

${\displaystyle J_{p}^{k}f=f\,({\bmod {\,}}{\mathfrak {m}}_{p}^{k+1}).}$

Теорема Тейлора

Независимо от определения, теорема Тейлора устанавливает канонический изоморфизм между векторными пространствами ${\displaystyle J_{p}^{k}(\mathbb {R} ^{n},\;\mathbb {R} ^{m})}$ и ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}[z]/(z^{k+1})}$ , поэтому струи функций на евклидовом пространстве зачастую отождествляются с соответствующими многочленами Тейлора.

Пространство струй из точки в точку

Мы определили пространство ${\displaystyle J_{p}^{k}(\mathbb {R} ^{n},\;\mathbb {R} ^{m})}$ струй в точке ${\displaystyle p\in \mathbb {R} ^{n}}$ . Подпространство, содержащее те струи отображения ${\displaystyle f}$ , для которых ${\displaystyle f(p)=q}$ , обозначается

${\displaystyle J_{p}^{k}(\mathbb {R} ^{n},\;\mathbb {R} ^{m})_{q}=\{J^{k}f\in J_{p}^{k}(\mathbb {R} ^{n},\;\mathbb {R} ^{m})\mid f(p)=q\}.}$

Струи сечений гладкого расслоения

Пусть ${\displaystyle Y\to X}$ — гладкое расслоение . Струёй ${\displaystyle k}$ -го порядка ${\displaystyle j_{x}^{k}s}$ его сечений ${\displaystyle s}$ называется класс эквивалентности этих сечений, отождествляемых, если их значения и значения их частных производных до ${\displaystyle k}$ -го порядка в точке ${\displaystyle x}$ совпадают. Струи ${\displaystyle k}$ -го порядка образуют гладкое многообразие ${\displaystyle J^{k}Y}$ , называемое многообразием струй .

Теория связностей , теория дифференциальных операторов и лагранжева теория на гладких расслоениях (в том числе классическая теория поля ) формулируются в терминах многообразий струй ${\displaystyle J^{k}Y}$ .

Литература

• Бочаров А. В., Вербовецкий А. М.., Виноградов А. М., Дужин С. М., Красильщик И. С., Самохин А. В., Торхов Ю. Н., Хорькова Н. Г., Четвериков В. Н. , под редакцией Виноградова А. М. и Красильщика И. С. — М.: Факториал, 2005 — 380 с. ISBN 5-88688-074-7
• Виноградов А. М., Красильщик И. С., Лычагин В. В. . — М. : Наука, 1986. — 336 с.
• Мишачев Н.М., Элиашберг Я.М. . — М. : Московский центр непрерывного математического образования, 2004. — ISBN 5-94057-126-3 .
• Saunders D. The geometry of jet bundles. — Cambridge: Cambridge Univ. Press., 1989.
• Сарданашвили Г. А. Современные методы теории поля. 1. Геометрия и классические поля. — М. : УРСС, 1996. — 224 с. — ISBN 5-88417-087-4 .
• Sardanashvily, G. , Fibre bundles, jet manifolds and Lagrangian theory. Lectures for theoreticians,
• Павлова Н.Г., Ремизов А.О. . — М. : Изд-во МФТИ, 2022. — 181 с. — ISBN 978-5-7417-0794-4 .