Interested Article - Центр масс

Центр масс (тж. центр ине́рции ) — геометрическая точка, положение которой определяется распределением массы в теле, а перемещение характеризует движение тела или механической системы как целого . Радиус-вектор данной точки задаётся формулой

{\vec {r}}_{c}=\left(\int \rho ({\vec {r}})dV\right)^{-1}\int \rho ({\vec {r}}){\vec {r}}dV,

{\vec {r}}_{c}=\left(\int \rho ({\vec {r}})dV\right)^{-1}\int \rho ({\vec {r}}){\vec {r}}dV,

где $\rho ({\vec {r}})$ $\rho ({\vec {r}})$ — зависящая от координат плотность, а интегрирование осуществляется по объёму тела. Центр масс может оказаться как внутри, так и вне тела.

Использование понятия центра масс, а также системы координат, связанной с центром масс, удобно во многих приложениях механики и упрощает расчёты. Если на механическую систему не действуют внешние силы, то её центр масс движется с постоянной по величине и направлению скоростью.

Джованни Чева применял рассмотрение центров масс к решению геометрических задач, в результате были сформулированы теоремы Менелая и теоремы Чевы .

В случае систем материальных точек и тел в однородном гравитационном поле центр масс совпадает с центром тяжести, хотя в общем случае это разные понятия.

Центр масс в классической механике

Определение

Положение центра масс (центра инерции) системы материальных точек в классической механике определяется следующим образом :

{\vec {r}}_{c}={\frac {\sum \limits _{i}m_{i}{\vec {r}}_{i}}{\sum \limits _{i}m_{i}}},

{\vec r}_{c}={\frac {\sum \limits _{i}m_{i}{\vec r}_{i}}{\sum \limits _{i}m_{i}}},

где ${\vec {r}}_{c}$ ${\vec r}_{c}$ — радиус-вектор центра масс, ${\vec {r}}_{i}$ ${\vec r}_{i}$ — радиус-вектор i -й точки системы, $m_{i}$ $m_{i}$ — масса i -й точки.

Для случая непрерывного распределения масс:

{\vec {r}}_{c}={1 \over M}\int \limits _{V}\rho ({\vec {r}}){\vec {r}}dV,

{\vec r}_{c}={1 \over M}\int \limits _{V}\rho ({\vec r}){\vec r}dV,

M=\int \limits _{V}\rho ({\vec {r}})dV,

M=\int \limits _{V}\rho ({\vec r})dV,

где $M$ $M$ — суммарная масса системы, $V$ $V$ — объём, $\rho$ $\rho$ — плотность. Центр масс, таким образом, характеризует распределение массы по телу или системе частиц.

Если система состоит не из материальных точек, а из протяжённых тел с массами $M_{i}$ $M_{i}$ , то радиус-вектор центра масс такой системы $R_{c}$ $R_{c}$ связан с радиус-векторами центров масс тел $R_{ci}$ $R_{{ci}}$ соотношением :

{\vec {R}}_{c}={\frac {\sum \limits _{i}M_{i}{\vec {R}}_{ci}}{\sum \limits _{i}M_{i}}}.

{\vec R}_{c}={\frac {\sum \limits _{i}M_{i}{\vec R}_{{ci}}}{\sum \limits _{i}M_{i}}}.

Действительно, пусть даны несколько систем материальных точек с массами $M_{1},M_{2},...M_{N}.$ $M_{1},M_{2},...M_{N}.$ Радиус-вектор ${\vec {R}}_{c_{n}}$ ${\vec {R}}_{c_{n}}$ $n$ $n$ -ной системы:

{\vec {R}}_{c_{n}}={\frac {\sum \limits _{i_{n}}m_{i_{n}}{\vec {r}}_{i_{n}}}{\sum \limits _{i_{n}}m_{i_{n}}}}={\frac {\sum \limits _{i_{n}}m_{i_{n}}{\vec {r}}_{i_{n}}}{M_{n}}},\ n=1,2,...N.

{\vec {R}}_{c_{n}}={\frac {\sum \limits _{i_{n}}m_{i_{n}}{\vec {r}}_{i_{n}}}{\sum \limits _{i_{n}}m_{i_{n}}}}={\frac {\sum \limits _{i_{n}}m_{i_{n}}{\vec {r}}_{i_{n}}}{M_{n}}},\ n=1,2,...N.

{\vec {R}}_{c}={\frac {\sum \limits _{n}\left({\frac {\sum \limits _{i_{n}}m_{i_{n}}{\vec {r}}_{i_{n}}}{M_{n}}}\cdot M_{n}\right)}{\sum \limits _{n}M_{n}}}={\frac {\sum \limits _{i}M_{i}{\vec {R}}_{ci}}{\sum \limits _{i}M_{i}}}.

{\vec {R}}_{c}={\frac {\sum \limits _{n}\left({\frac {\sum \limits _{i_{n}}m_{i_{n}}{\vec {r}}_{i_{n}}}{M_{n}}}\cdot M_{n}\right)}{\sum \limits _{n}M_{n}}}={\frac {\sum \limits _{i}M_{i}{\vec {R}}_{ci}}{\sum \limits _{i}M_{i}}}.

При переходе к протяженным телам с непрерывным распределением плотности в формулах будут интегралы вместо сумм, что даст тот же результат.

Иначе говоря, в случае протяжённых тел справедлива формула, по своей структуре совпадающая с той, что используется для материальных точек.

Примеры

Центры масс плоских однородных фигур

У отрезка — середина.
У многоугольников :
- У параллелограмма — точка пересечения диагоналей .
- У треугольника — точка пересечения медиан ( центроид ).
У правильного многоугольника — центр поворотной симметрии .
У полукруга — точка, делящая перпендикулярный радиус в отношении ${\frac {4}{3\pi }}$ ${\frac {4}{3\pi }}$ от центра круга.

Координаты центра масс однородной плоской фигуры можно вычислить по формулам (следствие из теорем Паппа — Гульдина ):

x_{s}={\frac {V_{y}}{2\pi S}}

x_{s}={\frac {V_{y}}{2\pi S}}

и

y_{s}={\frac {V_{x}}{2\pi S}}

y_{s}={\frac {V_{x}}{2\pi S}}

, где

V_{x},V_{y}

V_{x},V_{y}

— объём тела, полученного вращением фигуры вокруг соответствующей оси,

S

S

— площадь фигуры.

Центры масс периметров однородных фигур

Центр масс сторон треугольника находится в центре вписанной окружности дополнительного треугольника (треугольника с вершинами, расположенными в серединах сторон данного треугольника). Эту точку называют центром Шпикера . Это означает то, что если стороны треугольника сделать из тонкой проволоки одинакового сечения, то центр масс ( барицентр ) полученной системы будет совпадать с центром вписанной окружности дополнительного треугольника или с центром Шпикера.

Использование

Понятие центра масс широко используется в физике, в частности, в механике.

Движение твёрдого тела можно рассматривать как суперпозицию движения центра масс и вращательного движения тела вокруг его центра масс. Центр масс при этом движется так же, как двигалось бы тело с такой же массой, но бесконечно малыми размерами ( материальная точка ). Последнее означает, в частности, что для описания этого движения применимы все законы Ньютона . Во многих случаях можно вообще не учитывать размеры и форму тела и рассматривать только движение его центра масс.

Часто бывает удобно рассматривать движение замкнутой системы в системе отсчёта , связанной с центром масс. Такая система отсчёта называется системой центра масс (Ц-система), или системой центра инерции . В ней полный импульс замкнутой системы всегда остаётся равным нулю, что позволяет упростить уравнения её движения.

Центр масс в релятивистской механике

В случае высоких скоростей (порядка скорости света ) (например, в физике элементарных частиц ) для описания динамики системы применяется аппарат СТО . В релятивистской механике (СТО) понятия центра масс и системы центра масс также являются важнейшими понятиями, однако, определение понятия меняется:

{\vec {r}}_{c}={\frac {\sum \limits _{i}{\vec {r}}_{i}E_{i}}{\sum \limits _{i}E_{i}}},

{\vec r}_{c}={\frac {\sum \limits _{i}{\vec r}_{i}E_{i}}{\sum \limits _{i}E_{i}}},

где ${\vec {r}}_{c}$ ${\vec r}_{c}$ — радиус-вектор центра масс, ${\vec {r}}_{i}$ ${\vec r}_{i}$ — радиус-вектор i -й частицы системы, $E_{i}$ $E_{i}$ — полная энергия i -й частицы.

Данное определение относится только к системам невзаимодействующих частиц. В случае взаимодействующих частиц в определении должны в явном виде учитываться импульс и энергия поля, создаваемого частицами .

Во избежание ошибок следует понимать, что в СТО центр масс характеризуется не распределением массы, а распределением энергии. В курсе теоретической физики Ландау и Лифшица предпочтение отдается термину «центр инерции». В западной литературе по элементарным частицам применяется термин «центр масс» ( англ. center-of-mass): оба термина эквивалентны.

Скорость центра масс в релятивистской механике можно найти по формуле:

{\vec {v}}_{c}={\frac {c^{2}}{\sum \limits _{i}E_{i}}}\cdot \sum \limits _{i}{\vec {p}}_{i}.

{\vec v}_{c}={\frac {c^{2}}{\sum \limits _{i}E_{i}}}\cdot \sum \limits _{i}{\vec p}_{i}.

Смежные понятия

Центр масс vs. барицентр

Движение космических тел вокруг барицентра.

Термин «центр масс» синонимичен одному из значений понятия барицентр (от др.-греч. βαρύς — тяжёлый + κέντρον — центр), однако последнее применяется преимущественно в задачах астрофизики и небесной механики. Под барицентром подразумевается общий для нескольких небесных тел центр масс, вокруг которого эти тела движутся. Примером может выступить совместное движение планеты и звезды (см. рис.) или компонент двойных звёзд . Центр масс (барицентр) в таком случае находится на отрезке длины $l$ $l$ , соединяющем тела массами $m_{1}$ $m_1$ и $m_{2}$ $m_2$ , на удалении $s=m_{2}l/(m_{1}+m_{2})$ $s=m_{2}l/(m_{1}+m_{2})$ от тела $m_{1}$ $m_1$ .

Другое значение слова барицентр относится, скорее, к геометрии, нежели к физике; в этом значении выражение для координаты барицентра отличается от формулы для центра масс отсутствием плотности (как если бы всегда было $\rho =$ $\rho =$ const).

Центр масс vs. центр тяжести

Центр тяжести (в данном случае = центр масс), демонстрация

Центр масс тела не следует путать с центром тяжести.

Центром тяжести механической системы называется точка, относительно которой суммарный момент сил тяжести (действующих на систему) равен нулю. Например, в системе, состоящей из двух одинаковых масс, соединённых несгибаемым стержнем, и помещённой в неоднородное гравитационное поле (например, планеты), центр масс будет находиться в середине стержня, в то время как центр тяжести системы будет смещён к тому концу стержня, который находится ближе к планете (ибо вес P = m·g зависит от параметра гравитационного поля g ), и, вообще говоря, даже расположен вне стержня.

В однородном гравитационном поле центр тяжести всегда совпадает с центром масс. В некосмических задачах гравитационное поле обычно может считаться постоянным в пределах объёма тела, поэтому на практике эти два центра почти совпадают.

По этой же причине понятия центр масс и центр тяжести совпадают при использовании этих терминов в геометрии, статике и тому подобных областях, где применение его по сравнению с физикой можно назвать метафорическим и где неявно предполагается ситуация их эквивалентности (поскольку реального гравитационного поля нет, то и учёт его неоднородности не имеет смысла). В этих применениях традиционно оба термина синонимичны, и нередко второй предпочитается просто в силу того, что он более старый.

См. также

Примечания

Тарг С. М. // Физическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. А. М. Прохоров . — М. : Большая российская энциклопедия , 1999. — Т. 5: Стробоскопические приборы — Яркость. — С. 624—625. — 692 с. — 20 000 экз. — ISBN 5-85270-101-7 .
G. Ceva, Milan, 1678
, с. 66.
Фейнман Р. , Лейтон Р., Сэндс М. Выпуск 2. Пространство. Время. Движение // Фейнмановские лекции по физике . — М. : Мир, 1965. — 164 с. — С. 68.
Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля. — Издание 7-е, исправленное. — М. : Наука , 1988 . — 512 с. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-02-014420-7 .