Interested Article - Задача Штурма — Лиувилля

Задача Шту́рма — Лиуви́лля , названная в честь Жака Шарля Франсуа Штурма и Жозефа Лиувилля , состоит в отыскании нетривиальных (то есть отличных от тождественного нуля) решений на промежутке ( a , b ) {\displaystyle (a,\;b)} уравнения Штурма — Лиувилля

L [ y ] = λ ρ ( x ) y ( x ) , {\displaystyle L[y]=\lambda \rho (x)y(x),}

удовлетворяющих однородным краевым (граничным) условиям

α 1 y ( a ) + β 1 y ( a ) = 0 , α 1 2 + β 1 2 0 ; α 2 y ( b ) + β 2 y ( b ) = 0 , α 2 2 + β 2 2 0 ; {\displaystyle {\begin{array}{l}\alpha _{1}y'(a)+\beta _{1}y(a)=0,\qquad \alpha _{1}^{2}+\beta _{1}^{2}\neq 0;\\\alpha _{2}y'(b)+\beta _{2}y(b)=0,\qquad \alpha _{2}^{2}+\beta _{2}^{2}\neq 0;\\\end{array}}}

и значений параметра λ {\displaystyle \lambda } , при которых такие решения существуют.

Оператор L [ y ] {\displaystyle L[y]} здесь — это действующий на функцию y ( x ) {\displaystyle y(x)} линейный дифференциальный оператор второго порядка вида

L [ y ] d d x [ p ( x ) d y d x ] + q ( x ) y ( x ) {\displaystyle L[y]\equiv {\frac {d}{dx}}\left[-p(x){\frac {dy}{dx}}\right]+q(x)y(x)}

( оператор Штурма — Лиувилля или оператор Шрёдингера), x {\displaystyle x} — вещественный аргумент.

Функции p ( x ) , p ( x ) , q ( x ) , ρ ( x ) {\displaystyle p(x),\;p'(x),\;q(x),\;\rho (x)} предполагаются непрерывными на ( a , b ) {\displaystyle (a,\;b)} , кроме того функции p ( x ) , ρ ( x ) {\displaystyle p(x),\;\rho (x)} положительны на ( a , b ) {\displaystyle (a,\;b)} .

Искомые нетривиальные решения называются собственными функциями этой задачи, а значения λ {\displaystyle \lambda } , при которых такое решение существует — её собственными значениями (каждому собственному значению соответствует собственная функция).

Постановка задачи

Вид уравнения

Если функции ρ {\displaystyle \rho } и p {\displaystyle p} дважды непрерывно дифференцируемы и положительны на отрезке [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} и функция q {\displaystyle q} непрерывна на [ a , b ] {\displaystyle [a,\;b]} , то уравнение Штурма — Лиувилля вида

( p ( x ) y ) q ( x ) y + λ ρ ( x ) y = 0 {\displaystyle (p(x)y')'-q(x)y+\lambda \rho (x)y=0}

при помощи преобразования Лиувилля приводится к виду

y + q 1 ( x ) y = λ y . ( 1 ) {\displaystyle -y''+q_{1}(x)y=\lambda y.\qquad (1)}

Поэтому часто рассматривают уравнение Штурма — Лиувилля в виде (1), функцию q 1 ( x ) {\displaystyle q_{1}(x)} называют потенциалом . Изучаются задачи Штурма — Лиувилля с потенциалами из разных классов функций: непрерывными , L {\displaystyle L} (суммируемыми), L 2 {\displaystyle L_{2}} и других.

Виды краевых условий

  • Условия Дирихле y ( a ) = y ( b ) = 0. {\displaystyle y(a)=y(b)=0.}
  • Условия Неймана y ( a ) = y ( b ) = 0 {\displaystyle y'(a)=y'(b)=0}
  • Условия Робена y ( a ) h y ( a ) = 0 , y ( b ) + H y ( b ) = 0. {\displaystyle y'(a)-hy(a)=0,\quad y'(b)+Hy(b)=0.}
  • Смешанные условия: условия разных видов в разных концах отрезка [ a , b ] {\displaystyle [a,\;b]} .
  • Распадающиеся краевые условия общего вида
α 1 y ( a ) + β 1 y ( a ) = 0 , α 1 2 + β 1 2 0 ; α 2 y ( b ) + β 2 y ( b ) = 0 , α 2 2 + β 2 2 0. {\displaystyle {\begin{array}{l}\alpha _{1}y'(a)+\beta _{1}y(a)=0,\qquad \alpha _{1}^{2}+\beta _{1}^{2}\neq 0;\\\alpha _{2}y'(b)+\beta _{2}y(b)=0,\qquad \alpha _{2}^{2}+\beta _{2}^{2}\neq 0.\\\end{array}}}
  • Периодические условия y ( a ) = y ( b ) , y ( a ) = y ( b ) {\displaystyle y(a)=y(b),\quad y'(a)=y'(b)} .
  • Антипериодические условия y ( a ) = y ( b ) , y ( a ) = y ( b ) {\displaystyle y(a)=-y(b),\quad y'(a)=-y'(b)} .
  • Общие краевые условия
a i 1 y ( a ) + a i 2 y ( a ) + a i 3 y ( b ) + a i 4 y ( b ) = 0 , i = 1 , 2. {\displaystyle a_{i1}y(a)+a_{i2}y'(a)+a_{i3}y(b)+a_{i4}y'(b)=0,\quad i=1,\;2.}

В последнем случае обычно накладываются дополнительные условия регулярности на коэффициенты a i j {\displaystyle a_{ij}} .

Для удобства произвольный отрезок [ a , b ] {\displaystyle [a,\;b]} часто переводят в отрезок [ 0 , l ] {\displaystyle [0,\;l]} или [ 0 , π ] {\displaystyle [0,\;\pi ]} с помощью замены переменной.

Оператор Штурма — Лиувилля

Оператор Штурма — Лиувилля

L y = 1 ρ ( x ) ( d d x [ p ( x ) d d x y ] q ( x ) y ) {\displaystyle Ly=-{\frac {1}{\rho (x)}}{\Bigl (}{\frac {d}{dx}}\left[p(x){\frac {d}{dx}}y\right]-q(x)y{\Bigr)}}

представляет собой частный случай линейного дифференциального оператора

p 0 ( x ) y ( n ) + p 1 ( x ) y ( n 1 ) + + p n ( x ) y . {\displaystyle p_{0}(x)y^{(n)}+p_{1}(x)y^{(n-1)}+\ldots +p_{n}(x)y.}

Область определения оператора L {\displaystyle L} состоит из дважды непрерывно дифференцируемых на отрезке [ a , b ] {\displaystyle [a,\;b]} функций y {\displaystyle y} , удовлетворяющих краевым условиям задачи Штурма — Лиувилля. Таким образом, задачу Штурма — Лиувилля можно рассматривать как задачу на собственные значения и собственные функции оператора L {\displaystyle L} : L y = λ y {\displaystyle Ly=\lambda y} . Если функции p , q , ρ {\displaystyle p,\ q,\ \rho } и коэффициенты краевых условий вещественные , оператор L {\displaystyle L} является самосопряжённым в гильбертовом пространстве L 2 ([ a , b ] , ρ (x) d x) {\displaystyle L_{2}([a,\;b],\;\rho (x)\,dx)} . Следовательно, его собственные значения вещественны и собственные функции ортогональны с весом ρ ( x ) {\displaystyle \rho (x)} .

Решение задачи

Пример

Решение задачи Штурма — Лиувилля с нулевым потенциалом:

y = λ y , ( 2 ) {\displaystyle -y''=\lambda y,\qquad (2)}
y ( 0 ) = y ( l ) = 0 {\displaystyle y(0)=y(l)=0}

может быть найдено в явном виде . Пусть λ = ρ 2 {\displaystyle \lambda =\rho ^{2}} . Общее решение уравнения (2) при каждом фиксированном λ {\displaystyle \lambda } имеет вид

y ( x ) = A sin ρ x ρ + B cos ρ x ( 3 ) {\displaystyle y(x)=A{\frac {\sin \rho x}{\rho }}+B\cos \rho x\qquad (3)}

(в частности, при ρ = 0 {\displaystyle \rho =0} (3) дает y ( x ) = A x + B {\displaystyle y(x)=Ax+B} ). Из y ( 0 ) = 0 {\displaystyle y(0)=0} следует B = 0 {\displaystyle B=0} . Подставляя (3) в краевое условие y ( l ) = 0 {\displaystyle y(l)=0} , получаем A sin ρ l ρ = 0 {\displaystyle A{\frac {\sin \rho l}{\rho }}=0} . Так как мы ищем нетривиальные решения, то A 0 {\displaystyle A\neq 0} , и мы приходим к уравнению на собственные значения

sin ρ l ρ = 0. {\displaystyle {\frac {\sin \rho l}{\rho }}=0.}

Его корни ρ n = π n l {\displaystyle \rho _{n}={\frac {\pi n}{l}}} , следовательно, искомые собственные значения имеют вид

λ n = ( π n l ) 2 , n = 1 , 2 , 3 , {\displaystyle \lambda _{n}=\left({\frac {\pi n}{l}}\right)^{2},\quad n=1,\;2,\;3,\;\ldots }

а соответствующие им собственные функции суть

y n ( x ) = sin π n l x , n = 1 , 2 , 3 , {\displaystyle y_{n}(x)=\sin {\frac {\pi n}{l}}x,\quad n=1,\;2,\;3,\;\ldots }

(с точностью до постоянного множителя).

Общий случай

В общем случае любое решение уравнения Штурма — Лиувилля

y + q ( x ) y = λ y ( 4 ) {\displaystyle -y''+q(x)y=\lambda y\qquad (4)}

представимо в виде линейной комбинации

y ( x ) = A S ( x , λ ) + B C ( x , λ ) ( 5 ) {\displaystyle y(x)=AS(x,\;\lambda)+BC(x,\;\lambda)\qquad (5)}

его решений S ( x , λ ) {\displaystyle S(x,\;\lambda)} и C ( x , λ ) {\displaystyle C(x,\;\lambda)} , удовлетворяющих начальным условиям

S ( 0 , λ ) = C ( 0 , λ ) = 0 , S ( 0 , λ ) = C ( 0 , λ ) = 1 {\displaystyle S(0,\;\lambda)=C'(0,\;\lambda)=0,\quad S'(0,\;\lambda)=C(0,\;\lambda)=1} .

Решения S ( x , λ ) {\displaystyle S(x,\;\lambda)} и C ( x , λ ) {\displaystyle C(x,\;\lambda)} образуют фундаментальную систему решений уравнения (4) и являются целыми функциями по λ {\displaystyle \lambda } при каждом фиксированном x {\displaystyle x} . (При q ( x ) 0 {\displaystyle q(x)\equiv 0} S ( x , λ ) = sin ρ x {\displaystyle S(x,\;\lambda)=\sin \rho x} , C ( x , λ ) = cos ρ x {\displaystyle C(x,\;\lambda)=\cos \rho x} , ρ = λ {\displaystyle \rho ={\sqrt {\lambda }}} ). Подставляя (5) в краевые условия y ( 0 ) = y ( π ) = 0 {\displaystyle y(0)=y(\pi)=0} , получаем, что собственные значения совпадают с нулями характеристической функции

Δ ( λ ) = S ( π , λ ) , {\displaystyle \Delta (\lambda)=S(\pi ,\;\lambda),}

аналитической во всей λ {\displaystyle \lambda } -плоскости.

В общем случае собственные значения и собственные функции не могут быть найдены в явном виде, однако для них получены асимптотические формулы:

λ n = n + c n + O ( 1 n 2 ) , c = 1 2 π 0 π q ( τ ) d τ , {\displaystyle {\sqrt {\lambda }}_{n}=n+{\frac {c}{n}}+O\left({\frac {1}{n^{2}}}\right),\quad c={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{\pi }q(\tau)\,d\tau ,}
y n ( x ) = sin n x + O ( 1 n 2 ) , {\displaystyle y_{n}(x)=\sin nx+O\left({\frac {1}{n^{2}}}\right),}

(в случае непрерывного на [ 0 , π ] {\displaystyle [0,\;\pi ]} потенциала q ( x ) {\displaystyle q(x)} ). При больших n {\displaystyle n} собственные значения и собственные функции близки к собственным значениям и собственным функциям задачи из с нулевым потенциалом.

Свойства собственных значений и собственных функций

  • Существует бесконечное счетное множество собственных значений: λ 1 < λ 2 < < λ n < {\displaystyle \lambda _{1}<\lambda _{2}<\ldots <\lambda _{n}<\ldots }
  • Каждому собственному значению λ n {\displaystyle \lambda _{n}} соответствует единственная с точностью до постоянного множителя собственная функция y n {\displaystyle y_{n}} .
  • Все собственные значения вещественны .
  • В случае граничных условий y ( a ) = y ( b ) = 0 {\displaystyle y(a)=y(b)=0} и при выполнении условия q ( x ) 0 {\displaystyle q(x)\geqslant 0} все собственные значения положительны λ n > 0 {\displaystyle \lambda _{n}>0} .
  • Собственные функции y n ( x ) {\displaystyle y_{n}(x)} образуют на [ a , b ] {\displaystyle [a,\;b]} ортогональную с весом ρ ( x ) {\displaystyle \rho (x)} систему { y n ( x ) } {\displaystyle \{y_{n}(x)\}} :
a b y n ( x ) y m ( x ) ρ ( x ) d x = 0 , n m . {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}y_{n}(x)y_{m}(x)\rho (x)\,dx=0,\quad n\neq m.}

Численные методы решения

  • Метод стрельбы . Чтобы решить задачу Штурма — Лиувилля с краевыми условиями Дирихле y ( a ) = y ( b ) = 0 {\displaystyle y(a)=y(b)=0} , можно взять для исходного уравнения задачу Коши с начальными условиями u ( a ) = 0 {\displaystyle u(a)=0} , u ( a ) = λ {\displaystyle u'(a)=\lambda } и вести пристрелку параметра λ {\displaystyle \lambda } до выполнения правого краевого условия.
  • Метод конечных разностей . Строится конечно-разностная аппроксимация , которая позволяет заменить задачу Штурма — Лиувилля задачей нахождения собственных значений матрицы.
  • Метод дополненного вектора. Разностная собственная функция y = { y 0 , y 1 , , y N } {\displaystyle y=\{y_{0},\;y_{1},\;\ldots ,\;y_{N}\}} дополняется компонентой y N + 1 = λ {\displaystyle y_{N+1}=\lambda } . Относительно дополненного вектора получается нелинейная система , которая может быть решена методом Ньютона .
  • Метод Галёркина .
  • Вариационные методы .

Применение к решению уравнений в частных производных

Задачи Штурма — Лиувилля возникают при решении уравнений в частных производных методом разделения переменных .

В качестве примера рассмотрим краевую задачу для уравнения гиперболического типа :

ρ ( x ) u t t = ( k ( x ) u x ) x q ( x ) u , 0 < x < l , t > 0 , ( 6 ) {\displaystyle \rho (x)u_{tt}=(k(x)u_{x})_{x}-q(x)u,\quad 0<x<l,\;t>0,\qquad (6)}
( h 1 u x h u ) | x = 0 = 0 , ( H 1 u x + H u ) | x = l = 0 , ( 7 ) {\displaystyle (h_{1}u_{x}-hu)_{|x=0}=0,\quad (H_{1}u_{x}+Hu)_{|x=l}=0,\qquad (7)}
u | t = 0 = Φ ( x ) , u t | t = 0 = Ψ ( x ) . ( 8 ) {\displaystyle u_{|t=0}=\Phi (x),\quad u_{t|t=0}=\Psi (x).\qquad (8)}

Здесь x {\displaystyle x} и t {\displaystyle t} независимые переменные , u ( x , t ) {\displaystyle u(x,\;t)} — неизвестная функция, ρ {\displaystyle \rho } , k {\displaystyle k} , q {\displaystyle q} , Φ {\displaystyle \Phi } , Ψ {\displaystyle \Psi } — известные функции, h , h 1 , H , H 1 {\displaystyle h,\ h_{1},\ H,\ H_{1}} вещественные числа . Будем искать не равные тождественно нулю частные решения уравнения (6), удовлетворяющие краевым условиям (7) в виде

u ( x , t ) = Y ( x ) T ( t ) . ( 9 ) {\displaystyle u(x,t)=Y(x)T(t).\qquad (9)}

Подстановка вида (9) в уравнение (6) дает

( k ( x ) Y ( x ) ) q ( x ) Y ( x ) ρ ( x ) Y ( x ) = T ( t ) T ( t ) . {\displaystyle {\frac {(k(x)Y'(x))'-q(x)Y(x)}{\rho (x)Y(x)}}={\frac {T''(t)}{T(t)}}.}

Так как x {\displaystyle x} и t {\displaystyle t} — независимые переменные, то равенство возможно только если обе дроби равны константе. Обозначим эту константу через λ {\displaystyle -\lambda } . Получаем

T ( t ) + λ T ( t ) = 0 , ( 10 ) {\displaystyle T''(t)+\lambda T(t)=0,\qquad (10)}
( k ( x ) Y ( x ) ) + q ( x ) Y ( x ) = λ ρ ( x ) Y ( x ) , 0 < x < l . ( 11 ) {\displaystyle -(k(x)Y'(x))'+q(x)Y(x)=\lambda \rho (x)Y(x),\quad 0<x<l.\qquad (11)}

Подстановка вида (9) в краевые условия (7) дает

h 1 Y ( 0 ) h Y ( 0 ) = 0 , H 1 Y ( l ) + H Y ( l ) = 0. ( 12 ) {\displaystyle h_{1}Y'(0)-hY(0)=0,\quad H_{1}Y'(l)+HY(l)=0.\qquad (12)}

Нетривиальные решения (6) — (7) вида (9) существуют только при значениях λ {\displaystyle \lambda } , являющихся собственными значениями задачи Штурма — Лиувилля (11) — (12) λ n {\displaystyle \lambda _{n}} . Эти решения имеют вид T n ( t ) Y n ( x ) {\displaystyle T_{n}(t)Y_{n}(x)} , где Y n ( x ) {\displaystyle Y_{n}(x)} — собственные функции задачи (11) — (12), T n ( t ) {\displaystyle T_{n}(t)} — решения уравнения (10) при λ = λ n {\displaystyle \lambda =\lambda _{n}} . Решение задачи (6) — (8) находится в виде суммы частных решений ( ряда Фурье по собственным функциям задачи Штурма — Лиувилля Y n ( x ) {\displaystyle Y_{n}(x)} ):

u ( x , t ) = n = 1 T n ( t ) Y n ( x ) . {\displaystyle u(x,t)=\sum _{n=1}^{\infty }T_{n}(t)Y_{n}(x).}

Обратные задачи Штурма — Лиувилля

Обратные задачи Штурма — Лиувилля состоят в восстановлении потенциала q ( x ) {\displaystyle q(x)} оператора Штурма — Лиувилля y + q ( x ) y {\displaystyle -y''+q(x)y} и коэффициентов краевых условий по спектральным характеристикам. Обратные задачи Штурма — Лиувилля и их обобщения имеют приложения в механике , физике , электронике , геофизике , метеорологии и других областях естествознания и техники. Существует важный метод интегрирования нелинейных эволюционных уравнений (например, уравнения КдФ ), связанный с использованием обратной задачи Штурма — Лиувилля на оси ( < x < {\displaystyle -\infty <x<\infty } ).

Одного спектра (множества собственных значений) как правило недостаточно для того, чтобы однозначно восстановить оператор. Поэтому в качестве исходных данных обратной задачи обычно используют следующие спектральные характеристики:

  1. Два спектра, соответствующие разным краевым условиям (задача Борга).
  2. Спектральные данные, включающие в себя собственные значения и весовые числа, равные квадратам норм собственных функций в пространстве L 2 {\displaystyle L_{2}} .
  3. Функцию Вейля мероморфную функцию , равную отношению двух характеристических функций разных краевых задач.

Каждый из наборов данных 1 — 3 однозначно определяет потенциал q ( x ) {\displaystyle q(x)} . Кроме того, задание функции Вейля равносильно заданию двух спектров или спектральных данных, поэтому обратные задачи по данным 1 — 3 эквивалентны. Существуют конструктивные методы решения обратных задач Штурма — Лиувилля, основанные на сведении нелинейных обратных задач к линейным уравнениям в некоторых банаховых пространствах .

См. также

Примечания

  1. , с. 10.
  2. , с. 45.
  3. ↑ .
  4. ↑ .
  5. , с. 72.
  6. .
  7. , с. 25.
  8. ↑ .
  9. , с. 281.
  10. , с. 284.
  11. Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. — Бином, 2008. — ISBN 978-5-94774-815-4 .
  12. , с. 286.
  13. , с. 287.
  14. Гельфанд И. М., Фомин С. В. Вариационное исчисление. — 1961.
  15. , с. 30.

Литература

Same as Задача Штурма — Лиувилля