Квантовая механика
История Математические основы
Основа Классическая механика Постоянная Планка Интерференция Бра и кет Гамильтониан Старая квантовая теория
Фундаментальные понятия Квантовое состояние Квантовая наблюдаемая Волновая функция Квантовая суперпозиция Квантовая запутанность Смешанное состояние Измерение Неопределённость Принцип Паули Дуализм Декогеренция Симметрия Теорема Эренфеста Туннельный эффект
Эксперименты Опыт Дэвиссона — Джермера Опыт Франка — Герца Опыт Штерна — Герлаха Опыт Юнга Квантовый ластик Квантовый ластик с отложенным выбором Проверка неравенств Белла Фотоэффект Эффект Комптона
Формулировки Представление Шрёдингера Представление Гейзенберга Представление взаимодействия Представление фазового пространства Матричная квантовая механика Интегралы по траекториям Диаграммы Фейнмана
Уравнения Шрёдингера Паули Дирака Швингера — Томонаги фон Неймана Блоха Линдблада Гейзенберга
Интерпретации Копенгагенская Теория скрытых параметров Супердетерминизм Многомировая Теория де Бройля — Бома
Развитие теории Квантовая теория поля Квантовая электродинамика Теория Глэшоу — Вайнберга — Салама Квантовая хромодинамика Стандартная модель Квантовая гравитация
Сложные темы Релятивистская квантовая механика Квантовая теория поля Квантовая гравитация Теория всего
Известные учёные Планк Эйнштейн Шрёдингер Гейзенберг Йордан Бор Паули Дирак Фок Борн де Бройль Ландау Фейнман Бом Эверетт
См. также История возникновения ЭПР-парадокс
См. также: Портал:Физика

Уравнение Клейна — Гордона (иногда Клейна — Гордона — Фока , Клейна — Фока , Шрёдингера — Гордона ) — релятивистская версия уравнения Шрёдингера :

${\displaystyle \partial _{x}^{2}\psi +\partial _{y}^{2}\psi +\partial _{z}^{2}\psi -{1 \over c^{2}}\partial _{t}^{2}\psi -{m^{2}c^{2} \over \hbar ^{2}}\psi =0}$ ,

или (с использованием единиц, где ${\displaystyle \hbar =c=1}$ , ${\displaystyle \square \ }$ — оператор Д’Аламбера ):

${\displaystyle (\square \ -m^{2})\psi =0}$ .

Используется для описания быстро движущихся частиц, имеющих массу (массу покоя). Строго применимо к описанию скалярных массивных полей (таких как поле Хиггса ). Может быть обобщено для частиц с целым и полуцелым спинами . Кроме прочего, ясно, что уравнение является обобщением волнового уравнения , подходящего для описания безмассовых скалярных и векторных полей.

Механические системы (реальные или воображаемые), описывающиеся уравнением Клейна — Гордона — Фока, могут быть простыми модификациями систем, описывающихся волновым уравнением, например:

• в одномерном случае — натянутая тяжёлая нить, лежащая (приклеенная) на упругой (гуковской) подкладке.
• макроскопически изотропный кристалл, каждый атом которого находится, кроме связи с соседними атомами, ещё и в фиксированной в пространстве квадратичной потенциальной яме.
• более реалистично, если говорить о реальных кристаллах, рассмотреть моды поперечных колебаний, при которых, например, соседние слои атомов колеблются в противофазе: такие моды (в линейном приближении) будут подчиняться двумерному уравнению Клейна — Гордона — Фока в координатах, лежащих в плоскости слоёв.

Уравнение, в котором последний («массовый») член имеет знак, противоположный обычному, описывает в теоретической физике тахион . Такой вариант уравнения также допускает простую механическую реализацию.

Уравнение Клейна — Гордона — Фока для свободной частицы (которое и приведено выше) имеет простое решение в виде синусоидальных плоских волн .

Положив пространственные производные нулю (что в квантовой механике соответствует нулевому импульсу частицы), мы имеем для обычного уравнения Клейна — Гордона — Фока гармонический осциллятор с частотой ${\displaystyle \pm mc^{2}/\hbar }$ , что соответствует ненулевой энергии покоя, определяемой массой ${\displaystyle m}$ частицы. Тахионный же вариант уравнения в этом случае неустойчив, а решение его включает в общем случае неограниченно возрастающую экспоненту.

История

Уравнение, названное именами Оскара Клейна и Вальтера Гордона , первоначально записал Эрвин Шрёдингер до записи нерелятивистского уравнения, которое носит сейчас его имя. Он отказался от него (не опубликовав), потому что не смог включить в это уравнение спин электрона. Шрёдингер сделал упрощение уравнения и нашёл «своё» уравнение.

В 1926 году , вскоре после публикации уравнения Шрёдингера , Фок написал статью о его обобщении на случай магнитных полей, где силы зависели от скорости, и независимо вывел это уравнение. И Клейн (его работа появилась несколько раньше, но вышла из печати уже после того, как статья Фока была принята в журнал), и Фок использовали метод Калуцы — Клейна . Фок также ввёл калибровочную теорию для волнового уравнения.

Статья Гордона (начало 1926) была посвящена эффекту Комптона .

Вывод

(Здесь использованы единицы, где ${\displaystyle \hbar =c=1}$ ).

Уравнение Шрёдингера для свободной частицы записывается так:

${\displaystyle {\frac {{\hat {\mathbf {p} }}^{2}}{2m}}\psi =i\partial _{t}\psi }$ ,

где ${\displaystyle {\hat {\mathbf {p} }}=-i\mathbf {\nabla } }$ — оператор импульса ; оператор же ${\displaystyle {\hat {E}}=i\partial _{t}}$ будем называть, в отличие от гамильтониана, просто оператором энергии.

Уравнение Шрёдингера не является релятивистски ковариантным, то есть не согласуется со специальной теорией относительности (СТО).

Используем релятивистское дисперсионное (связывающее энергию и импульс) соотношение (из СТО ):

${\displaystyle p^{2}+m^{2}=E^{2}}$ .

Тогда просто подставляя квантовомеханические оператор импульса и оператор энергии , получаем:

${\displaystyle ((-i\mathbf {\nabla })^{2}+m^{2})\psi =i^{2}\partial _{t}^{2}\psi }$ ,

что в ковариантной форме запишется так:

${\displaystyle (\square \ -m^{2})\psi =0}$ ,

где ${\displaystyle \square \ =\nabla ^{2}-\partial _{t}^{2}}$ — оператор Д’Аламбера .

Решение уравнения Клейна — Гордона — Фока для свободной частицы

Искать решение уравнения Клейна — Гордона — Фока для свободной частицы

${\displaystyle \mathbf {\nabla } ^{2}\psi -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\psi ={\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi }$

можно, как и для любого линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами, в виде суперпозиции (то есть любой, конечной или бесконечной линейной комбинации) плоских волн:

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} ,\;t)=e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}}$ ,

подставляя же каждую такую волну в уравнение, получаем условие на ${\displaystyle \mathbf {k} }$ и ${\displaystyle \omega }$ :

${\displaystyle -k^{2}+{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}={\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}}$ .

Плоская волна, как легко заметить, описывает чистое состояние с определённой энергией и импульсом (то есть является собственной функцией соответствующих операторов). Энергия и импульс (то есть собственные значения этих операторов), исходя из этого, могут быть для неё просто посчитаны, как и в случае нерелятивистской частицы:

${\displaystyle \langle \mathbf {p} \rangle =\langle \psi |{\hat {\mathbf {p} }}|\psi \rangle =\langle \psi |-i\hbar \mathbf {\nabla } |\psi \rangle =\hbar \mathbf {k} }$ ,

${\displaystyle \langle E\rangle =\langle \psi |{\hat {E}}|\psi \rangle =\langle \psi |i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi \rangle =\hbar \omega }$ .

Найденное соотношение ${\displaystyle k}$ и ${\displaystyle \omega }$ тогда (снова) даёт уравнение связи между энергией и импульсом релятивистской частицы с ненулевой массой, известное из классики:

${\displaystyle \langle E^{2}\rangle =m^{2}c^{4}+\langle \mathbf {p} ^{2}\rangle c^{2}}$ .

Причём ясно, что соотношение для средних величин будет выполняться не только для состояний с определённой энергией и импульсом, но и для любой их суперпозиции, то есть для любого решения уравнения Клейна — Гордона — Фока (что, в частности, обеспечивает выполнение этого соотношения и в классическом пределе).

Для безмассовых частиц мы можем положить ${\displaystyle m=0}$ в последнем уравнении. Тогда получим для безмассовых частиц закон дисперсии (он же соотношение энергии и импульса) в виде:

${\displaystyle \langle E^{2}\rangle =\langle \mathbf {p} ^{2}\rangle c^{2}}$ .

Использовав формулу групповой скорости ${\displaystyle \mathbf {v} _{gr}=\partial \omega /\partial \mathbf {k} \ }$ , нетрудно получить обычные релятивистские формулы связи импульса и энергии со скоростью; в принципе того же результата можно добиться, просто посчитав коммутатор гамильтониана с координатой; но в случае уравнения Клейна — Гордона — Фока мы сталкиваемся с трудностью выписать гамильтониан в явном виде (очевиден только квадрат гамильтониана).

Примечания

См. также

• Уравнение синус-Гордона
• Уравнение Дирака
• Уравнения Прока
• Уравнения Максвелла

Ссылки

• на EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• на EqWorld: The World of Mathematical Equations.