Промежуток , или, если более точно, промежуток числовой прямой , — это множество вещественных чисел — таких, что если некоторые два числа принадлежат этому множеству, то любое число, лежащее между ними, тоже принадлежит этому множеству . С использованием логических символов это определение можно записать так:

множество ${\displaystyle X\subseteq \mathbb {R} }$ является промежутком, только если

${\displaystyle \forall x\forall y\forall z{\big (}(x\in X)\wedge (z\in X)\wedge (x<y<z)\Rightarrow y\in X{\big)},}$

где ${\displaystyle \forall }$ — квантор всеобщности . В качестве примеров промежутков можно привести следующие множества:

${\displaystyle {\begin{aligned}X_{1}&=\{x\in \mathbb {R} \colon 0\leqslant x\leqslant 1\},&X_{2}&=\{x\in \mathbb {R} \colon 0\leqslant x<1\},&X_{3}&=\{x\in \mathbb {R} \colon 0<x\leqslant 1\},\\X_{4}&=\{x\in \mathbb {R} \colon 0<x<1\},&X_{5}&=\{x\in \mathbb {R} \colon x>0\},&X_{6}&=\{x\in \mathbb {R} \colon x<1\},\\X_{7}&=\mathbb {R} ,&X_{8}&=\varnothing .\end{aligned}}}$

Типы промежутков

Конечный промежуток

Конечный промежуток состоит из множества чисел, заключённых между двумя числами ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ — концами промежутка , которые сами могут быть включены в его состав, или нет . Если a ≤ b , то длиной такого промежутка называется число ${\displaystyle |a-b|=|b-a|=b-a}$ .

Замкнутый (закрытый) конечный промежуток

Если ${\displaystyle a\leqslant b,a\in \mathbb {R} ,b\in \mathbb {R} }$ , то промежуток ${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} \colon a\leqslant x\leqslant b\}}$ называется сегментом или числовым отрезком и обозначается ${\displaystyle [a,b]}$ :

${\displaystyle [a,b]\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \{x\in \mathbb {R} \colon a\leqslant x\leqslant b\}.}$

В случае ${\displaystyle a=b}$ отрезок вырождается в множество из одной точки (в синглетон ).

Открытый конечный промежуток

Если ${\displaystyle a<b,a\in \mathbb {R} ,b\in \mathbb {R} }$ , то промежуток ${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} \colon a<x<b\}}$ называется интервалом и обозначается ${\displaystyle (a,b)}$ :

${\displaystyle (a,b)\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \{x\in \mathbb {R} \colon a<x<b\}.}$

Для обозначения открытого промежутка вместо ${\displaystyle (a,b)}$ нередко используют обозначение ${\displaystyle ]a,b[}$ с подачи Н. Бурбаки .

Полузамкнутый (полуоткрытый) конечный промежуток

Промежутки

${\displaystyle [a,b)\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \{x\in \mathbb {R} \colon a\leqslant x<b\},\quad (a,b]\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \{x\in \mathbb {R} \colon a<x\leqslant b\}}$

называются полусегментами (не дополненными до сегмента) или полуинтервалами .

Бесконечный промежуток

Бесконечные промежутки

${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} \colon x\geqslant a\},\quad \{x\in \mathbb {R} \colon x>a\},\quad \{x\in \mathbb {R} \colon x\leqslant b\},\quad \{x\in \mathbb {R} \colon x<b\}\quad }$ и ${\displaystyle \quad \mathbb {R} }$

с положительной или с отрицательной стороны не ограничены каким-либо вещественным числом. В этом случае удобно считать, что у этих промежутков одним из концов или обоими концами служат несобственные числа ${\displaystyle -\infty }$ и ${\displaystyle +\infty }$ , полагая, что для любого вещественного числа ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ справедливо соотношение ${\displaystyle -\infty <x<+\infty }$ . Обозначения и наименования бесконечных промежутков аналогичны тем названиям, какие они есть для конечных промежутков. Например, множества можно переписать соответственно как

${\displaystyle [a,+\infty),\quad (a,+\infty),\quad (-\infty ,b],\quad (-\infty ,b),\quad (-\infty ,+\infty),}$

при этом из-за того, что ${\displaystyle -\infty }$ и ${\displaystyle +\infty }$ по определению не входят в ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ они не включаются в эти множества.

Пустой промежуток

Пустое множество ${\displaystyle \varnothing }$ также является промежутком, тривиально попадая под его определение:

${\displaystyle [b,a]=(b,a)=[b,a)=(b,a]=(a,a)=[a,a)=(a,a]=\varnothing ,}$

где a < b .

Промежутки аффинно расширенной числовой прямой

Множество вещественных чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$ , дополненное элементами ${\displaystyle +\infty }$ и ${\displaystyle -\infty }$ , называется расширенной (точнее, аффинно расширенной , чтобы отличать от проективно расширенной прямой ) числовой прямой и обозначается ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$ , то есть

${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}=[-\infty ,+\infty ].}$

При этом для любого вещественного числа ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ по определению полагают выполненными неравенства

${\displaystyle -\infty <x,\quad x<+\infty ,\quad -\infty <+\infty }$

Для расширенной числовой прямой тоже вводят понятия промежутков — отрезков, интервалов, полуинтервалов . В отличие от соответствующих промежутков числовой прямой, они могут содержать элементы ${\displaystyle \pm \infty }$ . Например, ${\displaystyle (a,+\infty ]=(a,+\infty)\cup {\{+\infty \}}}$ .

Терминология

В русском языке слова промежуток и интервал соответствуют одному английскому слову interval . В англоязычной литературе и в переводах иностранных книг, а также в некоторых других книгах на русском языке используется следующая терминология :

${\displaystyle [a,b]=\{x\in \mathbb {R} \colon a\leqslant x\leqslant b\}}$ — замкнутый интервал ( англ. closed interval),

${\displaystyle (a,b)=\{x\in \mathbb {R} \colon a<x<b\}}$ — открытый интервал ( англ. open interval),

${\displaystyle [a,b)=\{x\in \mathbb {R} \colon a\leqslant x<b\}}$ или ${\displaystyle (a,b]=\{x\in \mathbb {R} \colon a<x\leqslant b\}}$ — полуоткрытый (или полузамкнутый) интервал ( англ. half-open interval/half-closed interval).

То есть в такой терминологии они все называются интервалами , но только разного типа.

В более старой русскоязычной литературе вместо «интервал» используется слово промежуток : замкнутый промежуток , открытый промежуток , полуоткрытый (или полузамкнутый ) промежуток .

Однако, особенно в учебной литературе, где наибольшее количество теорем для функций на компактных множествах, для замкнутого промежутка предпочтительным считают использовать отдельное название в одно слово — сегмент (термин «отрезок» имеет скорее геометрический оттенок, как и «промежуток числовой прямой»). В этом случае термин «интервал» закрепляется только за открытым промежутком.

См. также открытые и замкнутые множества.

Факты

Теорема о промежуточных значениях

Известная теорема Больцано — Коши о промежуточных значениях непрерывной функции гласит: образ любого промежутка при непрерывном отображении тоже является промежутком. У этой теоремы есть обобщение на случай произвольных топологических пространств : образ связного множества при непрерывном отображении связен. Числовые промежутки, и притом только они, как раз и являются связными подмножествами ${\displaystyle \mathbb {R} }$ .

Операции с промежутками

На практике промежуток нередко характеризует интервал возможных значений ( приближённо ) измеренной величины. На множестве таких промежутков можно определить арифметические операции. Тогда результату вычислений над величинами можно сопоставить соответствующие вычисления над их интервалами, задающие в итоге интервал возможных значений для результата.

Мера

Промежутки числовой прямой, а также прямоугольники на плоскости, прямоугольные параллелепипеды в пространстве и т. п. являются одним из основных объектов, на которых основывается теория меры , поскольку они являются простейшими множествами, меру которых ( длину , площадь , объем и т. п.) легко определить.

Обобщения

Связные множества

Обобщением промежутка числовой прямой является понятие связного топологического пространства . На числовой прямой всякое связное множество есть промежуток, и обратно, любой промежуток есть связное множество.

Также промежуток числовой прямой лежит в основе другого, более специального понятия линейной связности . Во множестве вещественных чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$ , а также в евклидовом пространстве ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ произвольной размерности ${\displaystyle n}$ понятия связности и линейной связности совпадают.

Выпуклые множества

Другим обобщением понятия промежутка числовой прямой является понятие выпуклого множества .

Промежутки в частично упорядоченных множествах

В самом общем случае понятие промежутка можно ввести на любом множестве, на котором введено отношение порядка ${\displaystyle <}$ .

См. также

• Интервальная арифметика
• Отрезок

Примечания