Interested Article - Вириал

Вириал для множества $N$ $N$ точечных частиц в механике определяется как скалярная функция:

\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k},

\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k},

где $\mathbf {r} _{k}$ ${\mathbf {r}}_{k}$ и $\mathbf {F} _{k}$ ${\mathbf {F}}_{k}$ — пространственные векторы координат и сил для $k$ $k$ -й частицы.

Выражение «вириал» происходит от латинских слов «vis» , «viris» — «сила» или «энергия». Оно было введено Клаузиусом в 1870 году .

Теорема о вириале

Для стабильной системы, связанной потенциальными силами, справедлива теорема о вириале :

2\langle T\rangle =-\sum _{k=1}^{N}\langle \mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\rangle ,

2\langle T\rangle =-\sum _{{k=1}}^{N}\langle {\mathbf {F}}_{k}\cdot {\mathbf {r}}_{k}\rangle ,

где $\langle T\rangle$ $\langle T\rangle$ представляет среднюю полную кинетическую энергию и $\mathbf {F} _{k}$ ${\mathbf {F}}_{k}$ — сила , действующая на $k$ $k$ -ю частицу.

В частном случае, когда соответствующая силе потенциальная энергия взаимодействия $V(r)$ $V(r)$ пропорциональна $n$ $n$ -й степени расстояния между частицами $r$ $r$ , вириальная теорема принимает простую форму

2\langle T\rangle =n\langle U\rangle .

2\langle T\rangle =n\langle U\rangle .

Другими словами, удвоенная средняя полная кинетическая энергия $T$ $T$ равна $n$ $n$ -кратной средней полной потенциальной энергии $U$ $U$ .

Значение теоремы о вириале состоит в том, что она позволяет вычислить среднюю полную кинетическую энергию даже для очень сложных систем, недоступных для точного решения, которые рассматривает, например, статистическая механика . Например, теорему о вириале можно использовать, чтобы вывести эквипарциальную теорему (теорема о равномерности распределении энергии по степеням свободы) или вычислить предел Чандрасекара для устойчивости белого карлика .

Производная по времени и усреднение

С вириалом тесно связана другая скалярная функция:

G=\sum _{k=1}^{N}\mathbf {p} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k},

G=\sum _{k=1}^{N}\mathbf {p} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k},

где $\mathbf {p} _{k}$ ${\mathbf {p}}_{k}$ есть импульс $k$ $k$ -й частицы.

Производную по времени от функции $G$ $G$ можно записать так:

{\frac {dG}{dt}}=\sum _{k=1}^{N}{\frac {d\mathbf {p} _{k}}{dt}}\cdot \mathbf {r} _{k}+\sum _{k=1}^{N}\mathbf {p} _{k}\cdot {\frac {d\mathbf {r} _{k}}{dt}}=

{\frac {dG}{dt}}=\sum _{{k=1}}^{N}{\frac {d{\mathbf {p}}_{k}}{dt}}\cdot {\mathbf {r}}_{k}+\sum _{{k=1}}^{N}{\mathbf {p}}_{k}\cdot {\frac {d{\mathbf {r}}_{k}}{dt}}=

=\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}+\sum _{k=1}^{N}m_{k}{\frac {d\mathbf {r} _{k}}{dt}}\cdot {\frac {d\mathbf {r} _{k}}{dt}}

=\sum _{{k=1}}^{N}{\mathbf {F}}_{k}\cdot {\mathbf {r}}_{k}+\sum _{{k=1}}^{N}m_{k}{\frac {d{\mathbf {r}}_{k}}{dt}}\cdot {\frac {d{\mathbf {r}}_{k}}{dt}}

или в более простой форме

{\frac {dG}{dt}}=2T+\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}.

{\frac {dG}{dt}}=2T+\sum _{{k=1}}^{N}{\mathbf {F}}_{k}\cdot {\mathbf {r}}_{k}.

Здесь $m_{k}$ $m_{k}$ масса $k$ $k$ -й частицы, $\mathbf {F} _{k}={\frac {d\mathbf {p} _{k}}{dt}}$ ${\mathbf {F}}_{k}={\frac {d{\mathbf {p}}_{k}}{dt}}$ — полная сила, действующая на частицу, а $T$ $T$ — полная кинетическая энергия системы

T={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}m_{k}v_{k}^{2}={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}m_{k}{\frac {d\mathbf {r} _{k}}{dt}}\cdot {\frac {d\mathbf {r} _{k}}{dt}}.

T={\frac {1}{2}}\sum _{{k=1}}^{N}m_{k}v_{k}^{2}={\frac {1}{2}}\sum _{{k=1}}^{N}m_{k}{\frac {d{\mathbf {r}}_{k}}{dt}}\cdot {\frac {d{\mathbf {r}}_{k}}{dt}}.

Усреднение этой производной за время $\tau$ $\tau$ определяется следующим образом:

\left\langle {\frac {dG}{dt}}\right\rangle _{\tau }={\frac {1}{\tau }}\int \limits _{0}^{\tau }{\frac {dG}{dt}}\,dt={\frac {1}{\tau }}\int \limits _{0}^{\tau }dG={\frac {G(\tau)-G(0)}{\tau }},

\left\langle {\frac {dG}{dt}}\right\rangle _{\tau }={\frac {1}{\tau }}\int \limits _{0}^{\tau }{\frac {dG}{dt}}\,dt={\frac {1}{\tau }}\int \limits _{0}^{\tau }dG={\frac {G(\tau)-G(0)}{\tau }},

откуда мы получим точное решение

\left\langle {\frac {dG}{dt}}\right\rangle _{\tau }=2\langle T\rangle _{\tau }+\sum _{k=1}^{N}\langle \mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\rangle _{\tau }.

\left\langle {\frac {dG}{dt}}\right\rangle _{\tau }=2\langle T\rangle _{\tau }+\sum _{{k=1}}^{N}\langle {\mathbf {F}}_{k}\cdot {\mathbf {r}}_{k}\rangle _{\tau }.

Вириальная теорема

Вириальная теорема утверждает:

Если $\left\langle {\frac {dG}{dt}}\right\rangle _{\tau }=0$ $\left\langle {\frac {dG}{dt}}\right\rangle _{\tau }=0$ , то

$2\langle T\rangle _{\tau }=-\sum _{k=1}^{N}\langle \mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\rangle _{\tau }.$ $2\langle T\rangle _{\tau }=-\sum _{{k=1}}^{N}\langle {\mathbf {F}}_{k}\cdot {\mathbf {r}}_{k}\rangle _{\tau }.$

Имеется несколько причин того, почему усреднение производной по времени исчезает, то есть $\left\langle {\frac {dG}{dt}}\right\rangle _{\tau }=0$ $\left\langle {\frac {dG}{dt}}\right\rangle _{\tau }=0$ . Одна часто цитируемая причина апеллирует к связанным системам , то есть системам, которые остаются ограниченными в пространстве. В этом случае функция $G^{\mathrm {bound} }$ $G^{{{\mathrm {bound}}}}$ обычно ограничена двумя пределами, $G_{\min }$ $G_{\min }$ и $G_{\max }$ $G_{\max }$ , и среднее стремится к нулю в пределе очень долгих времен $\tau$ $\tau$ :

\lim _{\tau \to \infty }\left|\left\langle {\frac {dG^{\mathrm {bound} }}{dt}}\right\rangle _{\tau }\right|=\lim _{\tau \to \infty }\left|{\frac {G(\tau)-G(0)}{\tau }}\right|\leqslant \lim _{\tau \to \infty }{\frac {G_{\max }-G_{\min }}{\tau }}=0.

\lim _{{\tau \to \infty }}\left|\left\langle {\frac {dG^{{{\mathrm {bound}}}}}{dt}}\right\rangle _{\tau }\right|=\lim _{{\tau \to \infty }}\left|{\frac {G(\tau)-G(0)}{\tau }}\right|\leqslant \lim _{{\tau \to \infty }}{\frac {G_{\max }-G_{\min }}{\tau }}=0.

Данный вывод справедлив лишь для тех систем, в которых функция $G$ $G$ зависит только от времени и не зависит существенно от координат. Если среднее значение производной по времени $\left\langle {\frac {dG}{dt}}\right\rangle _{\tau }\approx 0$ $\left\langle {\frac {dG}{dt}}\right\rangle _{\tau }\approx 0$ , вириальная теорема имеет ту же степень приближения.

Соотношение с потенциальной энергией

Полная сила $\mathbf {F} _{k}$ ${\mathbf {F}}_{k}$ , действующая на частицу $k$ $k$ , есть сумма всех сил действующих со стороны других частиц $j$ $j$ в системе

\mathbf {F} _{k}=\sum _{j=1}^{N}\mathbf {F} _{jk},

{\mathbf {F}}_{k}=\sum _{{j=1}}^{N}{\mathbf {F}}_{{jk}},

где $\mathbf {F} _{jk}$ ${\mathbf {F}}_{{jk}}$ — сила, действующая на частицу $j$ $j$ со стороны частицы $k$ $k$ . Отсюда, слагаемое в производной по времени от функции $G$ $G$ , содержащее силу, можно переписать в виде:

\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}=\sum _{k=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}\mathbf {F} _{jk}\cdot \mathbf {r} _{k}.

\sum _{{k=1}}^{N}{\mathbf {F}}_{k}\cdot {\mathbf {r}}_{k}=\sum _{{k=1}}^{N}\sum _{{j=1}}^{N}{\mathbf {F}}_{{jk}}\cdot {\mathbf {r}}_{k}.

Поскольку отсутствует самодействие (то есть $\mathbf {F} _{jk}=0$ ${\mathbf {F}}_{{jk}}=0$ , где $j=k$ $j=k$ ), мы получим:

\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}=\sum _{k=1}^{N}\sum _{j<k}\mathbf {F} _{jk}\cdot \mathbf {r} _{k}+\sum _{k=1}^{N}\sum _{j>k}\mathbf {F} _{jk}\cdot \mathbf {r} _{k}=\sum _{k=1}^{N}\sum _{j<k}\mathbf {F} _{jk}\cdot (\mathbf {r} _{k}-\mathbf {r} _{j}),

\sum _{{k=1}}^{N}{\mathbf {F}}_{k}\cdot {\mathbf {r}}_{k}=\sum _{{k=1}}^{N}\sum _{{j<k}}{\mathbf {F}}_{{jk}}\cdot {\mathbf {r}}_{k}+\sum _{{k=1}}^{N}\sum _{{j>k}}{\mathbf {F}}_{{jk}}\cdot {\mathbf {r}}_{k}=\sum _{{k=1}}^{N}\sum _{{j<k}}{\mathbf {F}}_{{jk}}\cdot ({\mathbf {r}}_{k}-{\mathbf {r}}_{j}),

где мы предположим, что выполняется третий закон Ньютона , то есть $\mathbf {F} _{jk}=-\mathbf {F} _{kj}$ ${\mathbf {F}}_{{jk}}=-{\mathbf {F}}_{{kj}}$ (равны по модулю и противоположны по направлению).

Часто случается, что силы могут быть получены из потенциальной энергии $V$ $V$ , которая является функцией только расстояния $r_{jk}$ $r_{{jk}}$ между точечными частицами $j$ $j$ и $k$ $k$ . Поскольку сила — это градиент потенциальной энергии с обратным знаком, мы имеем в этом случае

\mathbf {F} _{jk}=-\nabla _{\mathbf {r} _{k}}V=-{\frac {dV}{dr}}{\frac {\mathbf {r} _{k}-\mathbf {r} _{j}}{r_{jk}}},

{\mathbf {F}}_{{jk}}=-\nabla _{{{\mathbf {r}}_{k}}}V=-{\frac {dV}{dr}}{\frac {{\mathbf {r}}_{k}-{\mathbf {r}}_{j}}{r_{{jk}}}},

который равен по модулю и противоположен по направлению вектору $\mathbf {F} _{kj}=-\nabla _{\mathbf {r} _{j}}V$ ${\mathbf {F}}_{{kj}}=-\nabla _{{{\mathbf {r}}_{j}}}V$ — силе, которая действует со стороны частицы $k$ $k$ на частицу $j$ $j$ , как можно показать простыми вычислениями. Отсюда силовое слагаемое в производной от функции $G$ $G$ по времени равно

\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}=\sum _{k=1}^{N}\sum _{j<k}\mathbf {F} _{jk}\cdot (\mathbf {r} _{k}-\mathbf {r} _{j})=-\sum _{k=1}^{N}\sum _{j<k}{\frac {dV}{dr}}{\frac {(\mathbf {r} _{k}-\mathbf {r} _{j})^{2}}{r_{jk}}}=-\sum _{k=1}^{N}\sum _{j<k}{\frac {dV}{dr}}r_{jk}.

\sum _{{k=1}}^{N}{\mathbf {F}}_{k}\cdot {\mathbf {r}}_{k}=\sum _{{k=1}}^{N}\sum _{{j<k}}{\mathbf {F}}_{{jk}}\cdot ({\mathbf {r}}_{k}-{\mathbf {r}}_{j})=-\sum _{{k=1}}^{N}\sum _{{j<k}}{\frac {dV}{dr}}{\frac {({\mathbf {r}}_{k}-{\mathbf {r}}_{j})^{2}}{r_{{jk}}}}=-\sum _{{k=1}}^{N}\sum _{{j<k}}{\frac {dV}{dr}}r_{{jk}}.

Применение к силам, зависящим от расстояния степенным образом

Часто оказывается, что потенциальная энергия $V$ $V$ имеет вид степенной функции

V(r_{jk})=\alpha r_{jk}^{n},

V(r_{{jk}})=\alpha r_{{jk}}^{n},

где коэффициент $\alpha$ $\alpha$ и показатель $n$ $n$ — константы. В таком случае, силовое слагаемое в производной от функции $G$ $G$ по времени задаётся следующими уравнениями

-\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}=\sum _{k=1}^{N}\sum _{j<k}{\frac {dV}{dr}}r_{jk}=\sum _{k=1}^{N}\sum _{j<k}nV(r_{jk})=nU,

-\sum _{{k=1}}^{N}{\mathbf {F}}_{k}\cdot {\mathbf {r}}_{k}=\sum _{{k=1}}^{N}\sum _{{j<k}}{\frac {dV}{dr}}r_{{jk}}=\sum _{{k=1}}^{N}\sum _{{j<k}}nV(r_{{jk}})=nU,

где $U$ $U$ — полная потенциальная энергия системы:

U=\sum _{k=1}^{N}\sum _{j<k}V(r_{jk}).

U=\sum _{{k=1}}^{N}\sum _{{j<k}}V(r_{{jk}}).

В тех случаях, когда среднее от производной по времени $\left\langle {\frac {dG}{dt}}\right\rangle _{\tau }=0$ $\left\langle {\frac {dG}{dt}}\right\rangle _{\tau }=0$ , выполняется уравнение

\langle T\rangle _{\tau }=-{\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}\langle \mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\rangle _{\tau }={\frac {n}{2}}\langle U\rangle _{\tau }.

\langle T\rangle _{\tau }=-{\frac {1}{2}}\sum _{{k=1}}^{N}\langle {\mathbf {F}}_{k}\cdot {\mathbf {r}}_{k}\rangle _{\tau }={\frac {n}{2}}\langle U\rangle _{\tau }.

Обычно приводимый пример — гравитационное притяжение , для которого $n=-1$ $n=-1$ . В том случае, средняя кинетическая энергия — половина средней отрицательной потенциальной энергии

\langle T\rangle _{\tau }=-{\frac {1}{2}}\langle U\rangle _{\tau }.

\langle T\rangle _{\tau }=-{\frac {1}{2}}\langle U\rangle _{\tau }.

Этот результат является замечательно полезным для сложных гравитационных систем, типа солнечная система или галактика , и выполняется ещё для , для которой $n=-1$ $n=-1$ также.

Хотя это выражение получено для классической механики, вириальная теорема верна и для квантовой механики .

Учёт электромагнитных полей

Вириальную теорему можно обобщить на случай электрических и магнитных полей. Результат:

{\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}I+\int \limits _{V}x_{k}{\frac {\partial P_{k}}{\partial t}}\,d^{3}r=2(T+U)+W^{E}+W^{M}-\int x_{k}(p_{ik}+T_{ik})\,dS_{i},

{\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}I+\int \limits _{V}x_{k}{\frac {\partial P_{k}}{\partial t}}\,d^{3}r=2(T+U)+W^{E}+W^{M}-\int x_{k}(p_{ik}+T_{ik})\,dS_{i},

где $I$ $I$ — момент инерции , $P$ $P$ — вектор Пойнтинга , $T$ $T$ — кинетическая энергия «жидкости», $U$ $U$ — случайная тепловая энергия частиц, $W^{E}$ $W^{E}$ и $W^{M}$ $W^{M}$ — энергия электрического и магнитного поля в рассматриваемом объёме системы, $p_{ik}$ $p_{{ik}}$ — тензор давления жидкости, выраженный в локальной движущейся системе координат, сопутствующей жидкости:

p_{ik}=\Sigma n^{\sigma }m^{\sigma }\langle v_{i}v_{k}\rangle ^{\sigma }-V_{i}V_{k}\Sigma m^{\sigma }n^{\sigma }

p_{{ik}}=\Sigma n^{\sigma }m^{\sigma }\langle v_{i}v_{k}\rangle ^{\sigma }-V_{i}V_{k}\Sigma m^{\sigma }n^{\sigma }

и $T_{ik}$ $T_{ik}$ — тензор энергии-импульса электромагнитного поля:

T_{ik}=\left({\frac {\varepsilon _{0}E^{2}}{2}}+{\frac {B^{2}}{2\mu _{0}}}\right)\delta _{ik}-\left(\varepsilon _{0}E_{i}E_{k}+{\frac {B_{i}B_{k}}{\mu _{0}}}\right).

T_{{ik}}=\left({\frac {\varepsilon _{0}E^{2}}{2}}+{\frac {B^{2}}{2\mu _{0}}}\right)\delta _{{ik}}-\left(\varepsilon _{0}E_{i}E_{k}+{\frac {B_{i}B_{k}}{\mu _{0}}}\right).

Плазмоид — ограниченная конфигурация магнитных полей и плазмы. С помощью вириальной теоремы легко показать, что любая такая конфигурация расширяется, если не сдерживается внешними силами. В конечной конфигурации поверхностный интеграл исчезнет без оказывающих давление стен или магнитных катушек. Так как все другие слагаемые справа положительные, ускорение момента инерции также будет положительно. Легко оценить время расширения $\tau$ $\tau$ . Если полная масса $M$ $M$ ограничена в пределах радиуса $R$ $R$ , то момент инерции — примерно $MR^{2}$ $MR^{2}$ , и левая сторона в вириальной теореме — $MR^{2}/\tau ^{2}$ $MR^{2}/\tau ^{2}$ . Слагаемые справа составляют в целом величину порядка $pR^{3}$ $pR^{3}$ , где $p$ $p$ — большее из плазменного давления или магнитного давления. Приравнивая эти два члена и учитывая, что $M=m_{i}nV\sim m_{i}nR^{3}$ $M=m_{i}nV\sim m_{i}nR^{3}$ , $p\sim nkT$ $p\sim nkT$ , $c_{s}^{2}\sim {\frac {kT}{m_{i}}}$ $c_{s}^{2}\sim {\frac {kT}{m_{i}}}$ , где $m_{i}$ $m_{i}$ есть масса иона, $n$ $n$ — концентрация ионов, $V\sim R^{3}$ $V\sim R^{3}$ — объём плазмоида, $k$ $k$ — постоянная Больцмана, $T$ $T$ — температура, для $\tau$ $\tau$ находим:

\tau \sim R/c_{s},

\tau \sim R/c_{s},

где $c_{s}$ $c_{s}$ является скоростью (или волны Альфена , если магнитное давление выше, чем плазменное давление). Таким образом, время жизни плазмоида, как ожидают, будет равняться по порядку величины акустическому (альфеновскому) времени прохождения.

Релятивистская однородная система

В случае, когда в физической системе учитывается поле давления, электромагнитное и гравитационное поля, а также поле ускорений частиц, теорема вириала в релятивистской форме записывается так:

~\langle W_{k}\rangle \approx -0{,}6\sum _{k=1}^{N}\langle \mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\rangle ,

~\langle W_{k}\rangle \approx -0{,}6\sum _{k=1}^{N}\langle \mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\rangle ,

причём величина $~W_{k}\approx \gamma _{c}T$ $~W_{k}\approx \gamma _{c}T$ превышает кинетическую энергию частиц $~T$ $~T$ на множитель, равный фактору Лоренца $~\gamma _{c}$ $~\gamma _{c}$ частиц в центре системы. В обычных условиях можно считать, что $~\gamma _{c}\approx 1$ $~\gamma _{c}\approx 1$ , и тогда видно, что в теореме вириала кинетическая энергия связана с потенциальной энергией не коэффициентом 0,5, а скорее коэффициентом, близким к 0,6. Отличие от классического случая возникает за счёт учёта поля давления и поля ускорений частиц внутри системы, при этом производная от скалярной функции $~G$ $~G$ не равна нулю и должна рассматриваться как производная Лагранжа .

Анализ интегральной теоремы обобщённого вириала позволяет найти на основе теории поля формулу для среднеквадратичной скорости типичных частиц системы, не используя понятия температуры:

v_{\mathrm {rms} }=c{\sqrt {1-{\frac {4\pi \eta \rho _{0}r^{2}}{c^{2}\gamma _{c}^{2}\sin ^{2}{\left({\frac {r}{c}}{\sqrt {4\pi \eta \rho _{0}}}\right)}}}}},

v_{\mathrm {rms} }=c{\sqrt {1-{\frac {4\pi \eta \rho _{0}r^{2}}{c^{2}\gamma _{c}^{2}\sin ^{2}{\left({\frac {r}{c}}{\sqrt {4\pi \eta \rho _{0}}}\right)}}}}},

где $~c$ $~c$ есть скорость света, $~\eta$ $~\eta$ — постоянная поля ускорений, $~\rho _{0}$ $~\rho _{0}$ — плотность массы частиц, $~r$ $~r$ — текущий радиус.

В отличие от теоремы вириала для частиц, для электромагнитного поля теорема вириала записывается следующим образом:

~E_{kf}+2W_{f}=0,

~E_{kf}+2W_{f}=0,

где энергия $~E_{kf}=\int {A_{\alpha }j^{\alpha }{\sqrt {-g}}dx^{1}dx^{2}dx^{3}}$ $~E_{kf}=\int {A_{\alpha }j^{\alpha }{\sqrt {-g}}dx^{1}dx^{2}dx^{3}}$

рассматривается как кинетическая энергия поля, связанная с 4-током $~j^{\alpha }$ $~j^{\alpha }$ , а величина

~W_{f}={\frac {1}{4\mu _{0}}}\int {F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }{\sqrt {-g}}dx^{1}dx^{2}dx^{3}}

~W_{f}={\frac {1}{4\mu _{0}}}\int {F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }{\sqrt {-g}}dx^{1}dx^{2}dx^{3}}

задаёт потенциальную энергию поля, находимую через компоненты электромагнитного тензора.

См. также

Вириальное разложение

Примечания

Сивухин Д. В. Общий курс физики. Механика. — М. : Наука, 1979. — Тираж 50 000 экз. — с. 141.
Schmidt G. Physics of High Temperature Plasmas. — Second edition. — Academic Press, 1979. — p. 72.
Fedosin, S. G. The virial theorem and the kinetic energy of particles of a macroscopic system in the general field concept (англ.) // Continuum Mechanics and Thermodynamics : journal. — 2016. — Vol. 29 , no. 2 . — P. 361—371 . — doi : . — Bibcode : . — arXiv : .
Fedosin, Sergey G. (англ.) // Continuum Mechanics and Thermodynamics : journal. — 2018. — 24 September (vol. 31 , no. 3). — P. 627—638 . — ISSN . — doi : . — Bibcode : . — arXiv : .
Fedosin S.G. от 23 июня 2019 на Wayback Machine Gazi University Journal of Science. Vol. 32, No. 2, pp. 686-703 (2019). .