Обобщённая тригонометрия — совокупность различных обобщений определений и результатов классической тригонометрии .

Обычная тригонометрия изучает треугольники в евклидовой плоскости ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ . Существует несколько способов определения обычных тригонометрических функций евклидовой геометрии в вещественных числах : через прямоугольный треугольник , единичную окружность , ряды , дифференциальные и функциональные уравнения . Разработка обобщений тригонометрических функций часто заключается в адаптации одного из вышеперечисленных методов к ситуации, в которой не используются вещественные числа евклидовой геометрии. В общем случае тригонометрию можно рассматривать как изучение троек точек в любой геометрии и любом пространстве . Треугольник — это многоугольник с наименьшим числом вершин, поэтому одним из направлений для обобщения является изучение многомерных аналогов углов и многоугольников: телесный угол и многогранники , такие как тетраэдры и n {\displaystyle n} -симплексы .

Тригонометрия

• В сферической тригонометрии изучаются треугольники на поверхности сферы . Тождества для сферических треугольников записываются в терминах обычных тригонометрических функций, но отличаются от тождеств для плоских треугольников.
• Гиперболическая тригонометрия:
  1. Исследование гиперболических треугольников в гиперболической геометрии с помощью гиперболических функций .
  2. Использование гиперболических функций в евклидовой геометрии — единичный круг параметризуется точкой ${\displaystyle (\cos t,\sin t)}$ , тогда как равносторонняя гипербола параметризуется точкой ${\displaystyle ({\mbox{ch}}\,t,{\mbox{sh}}\,t)}$ .
  3. Гиротригонометрия — форма тригонометрии, используемая в (англ.) (подходе к гиперболической геометрии, имеющая приложения в специальной теории относительности и квантовых вычислениях .
• (англ.) (— теория канадского математика Н. Дж. Уайлдбергера, основной идеей которой является замена понятия длины на «квадрант» (квадрат евклидова расстояния ) и понятия угла на «разброс» (квадрат синуса соответствующего угла).
• Тригонометрия для геометрии городских кварталов .
• Тригонометрия пространства-времени .
• Нечёткая качественная тригонометрия .
• Операторная тригонометрия .
• Решёточная тригонометрия .
• Тригонометрия на симметричных пространствах .

Более высокие размерности

• .
• :
  • Теорема синусов для тетраэдров .
• Симплексы с «ортогональным углом» — теоремы Пифагора для n {\displaystyle n} -симплексов :
  • Теорема де Гуа — теорема Пифагора для тетраэдра с кубическим углом .

Тригонометрические функции

• Тригонометрические функции могут быть определены для .
• В дифференциальные и разностные уравнения объединены в динамические уравнения на шкале времени, которые также включают . Тригонометрические функции могут быть определены в произвольной шкале времени (подмножество вещественных чисел).
• Определения синуса и косинуса через ряды позволяют определить эти функции на любой алгебре , где эти ряды сходятся, например над комплексными числами , p-адическими числами , матрицами и различными банаховыми алгебрами .

Другое

• Полярные/Тригонометрические формы гиперкомплексных чисел .
• Полигонометрия — тригонометрические тождества для нескольких различных углов .

См. также

• Теорема Пифагора в неевклидовой геометрии

Примечания