Гиперболическая группа — конечно-порождённая группа , граф Кэли которой, как метрическое пространство, является гиперболическим по Громову .

Определение

На конечно-порождённой группе с выбранными образующими есть естественная метрика — словарная . Группа называется гиперболической, если, снабжённая этой метрикой, она оказывается гиперболической как метрическое пространство. Поскольку при замене выбранной системы образующих метрика меняется квазиизометрично , а гиперболичность метрического пространства при этом сохраняется — понятие оказывается не зависящим от выбора системы образующих.

Примеры

• Поскольку гиперболичность это, в определённом смысле, «сходство» свойств метрического пространства с деревом — свободная группа ( граф Кэли которой является деревом) с любым конечным числом образующих гиперболична.
• Группа PSL(2,Z) гиперболична.
• Конечная группа гиперболична.

Не примеры

• Свободная абелева группа с двумя образующими ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$ не является гиперболической.
  • Более того, любая группа содержащая подгруппу изоморфную ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$ не гиперболична.
• Группа Баумслага — Солитера B ( m , n ), а также любая группа содержащая B ( m , n ) как подгруппу, не гиперболична.

Свойства

• Гиперболичность сохраняется при переходе к подгруппе конечного индекса.
• Любая гиперболическая группа является конечно-представленной : задаётся конечным числом образующих и конечным числом соотношений. (Как следствие, гиперболических групп — в отличие от всех групп вообще — лишь счётное число.)
• Гиперболичность равносильна линейному изопериметрическому неравенству : тривиальное слово, записанное как произведение N образующих, представляется как произведение CN сопряжённых к базисным соотношениям (с определённым контролем на длину сопрягающих произведений).

Примечания

Литература

• П. де ля Арп, Э. Гис,
• Metric spaces of non-positive curvature / Martin R. Bridson, . — Berlin : Springer-Verlag, 1999. — Vol. 319. — ISBN 3-540-64324-9 . — doi : .
• Mikhail Gromov, Hyperbolic groups. Essays in group theory, 75—263, Math. Sci. Res. Inst. Publ., 8, Springer, New York, 1987.
• Rips, E. Sela, Z. Canonical representatives and equations in hyperbolic groups. Invent. Math. 120 (1995), no. 3, 489—512.
• Sur les groupes hyperboliques d'après Mikhael Gromov : [ фр. ] . — Boston, MA : Birkhäuser Boston, Inc., 1990. — Vol. 83. — ISBN 0-8176-3508-4 . — doi : .