Interested Article - Калибровочная инвариантность

Калибро́вочная инвариа́нтность — инвариантность прогнозов физической полевой теории относительно (локальных) калибровочных преобразований — координатно-зависимых преобразований поля, описывающих переход между базисами в пространстве внутренних симметрий этого поля.

Впервые калибровочная инвариантность была установлена в классической электродинамике . Глобальная (не зависящая от координаты) калибровочная инвариантность поля в силу теоремы Нётер приводит к закону сохранения заряда этого поля (в частности, для электродинамики — к закону сохранения электрического заряда ). Локальная (координатно-зависимая) калибровочная инвариантность заряженных полей для сохранения динамических уравнений теории требует введения новых, так называемых калибровочных полей.

Требование калибровочной инвариантности — одно из ключевых положений физики элементарных частиц . Именно через калибровочную инвариантность удаётся самосогласованным образом описать в Стандартной модели электромагнитное , слабое и сильное взаимодействия . В частности, электромагнитное поле «появляется» в некоторой квантово-полевой теории при дополнительном требовании локальной калибровочной инвариантности лагранжиана теории. По такому принципу можно «вывести» лагранжиан квантовой электродинамики (КЭД) из лагранжиана поля Дирака (электронного поля или электрон-позитронного поля).

Симметрия в физике
Преобразование	Соответствующая инвариантность	Соответствующий закон сохранения
↕ Трансляции времени	Однородность времени	…энергии
⊠ C , P , CP и T -симметрии	Изотропность времени	…чётности
↔ Трансляции пространства	Однородность пространства	…импульса
↺ Вращения пространства	Изотропность пространства	…момента импульса
⇆ Группа Лоренца (бусты)	Относительность лоренц-ковариантность	…движения центра масс
~ Калибровочное преобразование		…заряда

В классической электродинамике

Пусть $f=f(x,y,z,t)$ $f=f(x,y,z,t)$ — произвольная скалярная функция координат и времени. Тогда
если изменить потенциалы следующим образом:

\varphi '=\varphi -{\frac {1}{c}}{\frac {\partial f}{\partial t}},\qquad \mathbf {A} '=\mathbf {A} +\nabla f,

\varphi '=\varphi -{\frac {1}{c}}{\frac {\partial f}{\partial t}},\qquad \mathbf {A} '=\mathbf {A} +\nabla f,

где φ и A — скалярный и векторный потенциалы,

то реально наблюдаемое поведение системы не изменится.

Это очевидно из того, что значения электрического и магнитного полей $\mathbf {E}$ $\mathbf {E}$ и $\mathbf {B}$ $\mathbf {B}$ при таком преобразовании останутся теми же.

Независимость от фазы комплексного числа

Упрощённо основную идею калибровочной инвариантности можно пояснить следующим образом. Основная характеристика, описывающая физическую систему в квантовой механике , — волновая функция — есть величина комплексная . Однако все наблюдаемые величины, которые строятся как билинейные комбинации волновых функций, оказываются вещественными (как и должно быть — ведь в нашем осязаемом мире все величины вещественны). В результате получается, что ничего в предсказаниях теории не изменится, если волновые функции умножаются на комплексное число, равное по модулю единице — $e^{i\alpha }$ $e^{{i\alpha }}$ . (Сопряжённая функция умножается, соответственно, на сопряжённое комплексное число). Это вполне естественно: абсолютное значение фазы комплексного числа — вещь произвольная и не должно влиять на предсказания теории.

Таким образом, квантовая механика инвариантна относительно глобальных фазовых вращений , иначе называемых глобальными калибровочными преобразованиями .

Идея калибровочной инвариантности

А инвариантна ли квантовая механика относительно локальных фазовых вращений $e^{i\alpha (\mathbf {x})}$ $e^{i\alpha (\mathbf {x})}$ ( локальных калибровочных преобразований )? Иными словами, изменится ли что-либо, если волновую функцию в одной точке мы провернём на одну фазу, а в другой точке — на другую? Да, изменится. В частности, очевидно, изменится, причём почти произвольным образом, правая часть уравнения Шрёдингера , а значит — и эволюция системы во времени. То есть квантовая механика свободной частицы оказывается неинвариантной относительно локальных фазовых вращений.

Можно ли восстановить инвариантность? Да, можно. Однако для этого надо ввести новое физическое поле , которое «чувствует» то внутреннее пространство, в котором мы производим фазовые вращения. В результате при локальных фазовых вращениях у нас преобразуются как волновые функции, так и новое поле, причём таким образом, что изменения в уравнениях за счёт этих фазовых вращений компенсируют, «калибруют» друг друга. То есть квантовая механика с дополнительным новым полем стала калибровочно инвариантна.

Если теперь изучить свойства нового поля, то оно будет напоминать электромагнитное поле , которое мы наблюдаем в нашем мире. В частности, взаимодействие этого поля с веществом как раз совпадает с взаимодействием электромагнитного поля. Поэтому вполне естественно при построении теории отождествить эти два поля.

Итак, требование калибровочной инвариантности оказалось неожиданно удобным способом ввести в теорию и электромагнитное поле. Его не пришлось рассматривать отдельно, оно появилось в теории почти «само».

Калибровочные поля как основа Стандартной модели

Первую единую теорию гравитационного и электромагнитного поля на основе идей калибровочной инвариантности предложил Г. Вейль . Современная теория калибровочных полей развивает и обобщает его идеи с опорой на калибровочные преобразования более сложного вида, отвечающие за инвариантность в некотором более сложном пространстве внутренних степеней свободы.

Так, например, инвариантность относительно вращений кварков в цветовом пространстве приводит к тому, что сильные взаимодействия тоже можно описать как калибровочные поля. Слабые взаимодействия отдельно описать как калибровочные не получается, однако существует неожиданно изящный метод описания электромагнитного и слабого взаимодействий одновременно как двух разных проявлений некоторого калибровочного электрослабого поля.

Тем самым все фундаментальные взаимодействия выводятся на основании калибровочной инвариантности. С точки зрения построения физической теории это крайне экономная и удачная схема.

Особняком стоит гравитационное взаимодействие. Оно также оказывается калибровочным полем, причём общая теория относительности как раз и является калибровочной теорией гравитационного взаимодействия. Однако она формулируется, во-первых, не на квантовом уровне, и до сих пор непонятно, как именно её проквантовать, а во-вторых, пространством, в котором осуществляются вращения, является наше четырёхмерное пространство-время , а не внутреннее пространство симметрии взаимодействия.

История

Самой ранней , обладающей калибровочной симметрией, была формулировка классической электродинамики Максвеллом в 1864—1865 гг., в которой утверждалось, что любое векторное поле, ротор которого обращается в нуль, не меняется при добавлении градиента функции, то есть при такой добавке к векторному потенциалу не изменяется магнитное поле . Важность этой симметрии оставалась незамеченной в самых ранних формулировках. Точно так же незаметно Гильберт вывел уравнения поля Эйнштейна , постулировав инвариантность действия относительно общего преобразования координат. Позже Герман Вейль , пытаясь объединить общую теорию относительности и электромагнетизм , предположил, что инвариантность относительно изменения масштаба (или «калибровки») также является локальной симметрией общей теории относительности . После развития квантовой механики Вейль, Владимир Фок и Фриц Лондон модифицировали калибровку, заменив масштабный множитель комплексной величиной, и превратили масштабное преобразование в изменение фазы — это калибровочная симметрия U(1). Это объясняло влияние электромагнитного поля на волновую функцию заряженной фундаментальной частицы . Это была первая широко признанная калибровочная теория, популяризированная Паули в 1941 году .

В 1954 году, пытаясь разрешить большую путаницу в физике элементарных частиц , Чжэньнин Янг и Роберт Миллс представили неабелевую калибровочную теорию в качестве модели для понимания сильного взаимодействия , скрепляющего нуклоны в атомных ядрах . (Рональд Шоу, работавший под руководством Абдуса Салама , независимо ввёл это понятие в свою докторскую диссертацию.) Обобщая калибровочную инвариантность электромагнетизма, они попытались построить теорию, основанную на действии (неабелевой) группы симметрии SU(2) на изоспиновый дублет протонов и нейтронов . Это похоже на действие группы U(1) на спинорные поля в квантовой электродинамике . В физике элементарных частиц упор делался на использование квантованных калибровочных теорий.

Позднее эта идея нашла применение в квантовой теории поля слабого взаимодействия , а её объединение с электромагнетизмом в электрослабой теории. Калибровочные теории стали ещё более привлекательными, когда выяснилось, что неабелевы калибровочные теории воспроизводят особенность, называемую асимптотической свободой , которая считалась важной характеристикой сильных взаимодействий. Это побудило к поиску калибровочной теории сильного взаимодействия. Эта теория, теперь известная как квантовая хромодинамика — калибровочная теория с действием группы SU(3) на цветовом триплете кварков . Стандартная модель объединяет описание электромагнетизма, слабых взаимодействий и сильных взаимодействий на языке калибровочной теории.

В 1970-х Майкл Атья начал изучать математику решений классических уравнений Янга — Миллса . В 1983 году ученик Атьи Саймон Дональдсон , опираясь на эту работу, показал, что дифференцируемая классификация 4- многообразий сильно отличается от их классификации гомеоморфизма . Майкл Фридман использовал работу Дональдсона, чтобы показать экзотические структуры в R 4 , то есть экзотические в евклидовом четырёхмерном пространстве. Это привело к росту интереса к калибровочной теории как таковой, независимо от её успехов в фундаментальной физике. В 1994 году Эдвард Виттен и Натан Зайберг изобрели калибровочно-теоретические методы, основанные на суперсимметрии , которые позволили вычислить некоторые топологические инварианты (). Этот вклад калибровочной теории в математику привёл к возобновлению интереса к этой области.

Важность калибровочных теорий в физике подтверждается огромным успехом математического формализма в создании единой основы для описания квантовых теорий поля : электромагнетизма , слабого взаимодействия и сильного взаимодействия . Эта теория, известная как Стандартная модель , точно описывает экспериментальные предсказания относительно трёх из четырёх фундаментальных сил природы и является калибровочной теорией с калибровочной группой . Современные теории, такие как теория струн , а также общая теория относительности , так или иначе являются калибровочными теориями.

См. Пикеринг для получения дополнительной информации об истории калибровочной и квантовой теорий поля.

Глобальная калибровочная симметрия U(1)

Согласно теореме Нётер инвариантность действия относительно некоторой непрерывной операции (группы) симметрии приводит к соответствующему закону сохранения . Обратное утверждение, что каждой сохраняющейся величине соответствует своя симметрия, также справедливо, что можно наблюдать на примере сохранения электрического заряда . Пусть лагранжиан системы двух вещественных свободных скалярных полей $\phi _{1}$ $\phi _{1}$ и $\phi _{2}$ $\phi _{2}$ задан в виде

{\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}(\partial _{\mu }\phi _{1})(\partial ^{\mu }\phi _{1})-{\frac {1}{2}}m^{2}\phi _{1}^{2}+{\frac {1}{2}}(\partial _{\mu }\phi _{2})(\partial ^{\mu }\phi _{2})-{\frac {1}{2}}m^{2}\phi _{2}^{2}\,,

{\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}(\partial _{\mu }\phi _{1})(\partial ^{\mu }\phi _{1})-{\frac {1}{2}}m^{2}\phi _{1}^{2}+{\frac {1}{2}}(\partial _{\mu }\phi _{2})(\partial ^{\mu }\phi _{2})-{\frac {1}{2}}m^{2}\phi _{2}^{2}\,,

(1.1)

тогда можно формально рассмотреть эти два поля в двумерном с ортами $({\vec {i}},{\vec {j}})$ $({\vec {i}},{\vec {j}})$ в виде

{\vec {\phi }}=\phi _{1}{\vec {i}}+\phi _{2}{\vec {j}}\,.

{\vec {\phi }}=\phi _{1}{\vec {i}}+\phi _{2}{\vec {j}}\,.

(1.2)

Это представление позволяет раскрыть геометрический смысл калибровочного преобразования. При этом лагранжиан примет простой вид

{\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}(\partial _{\mu }{\vec {\phi }})(\partial ^{\mu }{\vec {\phi }})-{\frac {1}{2}}m^{2}{\vec {\phi }}\cdot {\vec {\phi }}\,,

{\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}(\partial _{\mu }{\vec {\phi }})(\partial ^{\mu }{\vec {\phi }})-{\frac {1}{2}}m^{2}{\vec {\phi }}\cdot {\vec {\phi }}\,,

(1.3)

который не меняется при калибровочных преобразованиях

{\begin{aligned}\phi _{1}^{'}&=\phi _{1}\cos \alpha +\phi _{2}\sin \alpha \,,\\\phi _{2}^{'}&=-\phi _{1}\sin \alpha +\phi _{2}\cos \alpha \,.\end{aligned}}

{\begin{aligned}\phi _{1}^{'}&=\phi _{1}\cos \alpha +\phi _{2}\sin \alpha \,,\\\phi _{2}^{'}&=-\phi _{1}\sin \alpha +\phi _{2}\cos \alpha \,.\end{aligned}}

(1.4)

Такой поворот на угол $\alpha$ $\alpha$ в изотопическом пространстве — это элемент ортогональной группы двумерных вращений O(2) или изоморфной ей группы U(1) не меняет лагранжиан системы . Если рассматривать эти поля как пару комплексных полей $\phi =(\phi _{1}+i\phi _{2})/{\sqrt {2}},\,\phi ^{*}=(\phi _{1}-i\phi _{2})/{\sqrt {2}}\,,$ $\phi =(\phi _{1}+i\phi _{2})/{\sqrt {2}},\,\phi ^{*}=(\phi _{1}-i\phi _{2})/{\sqrt {2}}\,,$ то лагранжиан запишется в виде

{\mathcal {L}}=(\partial _{\mu }\phi)(\partial ^{\mu }\phi ^{*})-m^{2}\phi ^{*}\phi \,,

{\mathcal {L}}=(\partial _{\mu }\phi)(\partial ^{\mu }\phi ^{*})-m^{2}\phi ^{*}\phi \,,

(1.5)

а калибровочное преобразование для комплексных полей станет

\phi _{1}^{'}+i\phi _{2}^{'}=e^{-i\alpha }(\phi _{1}+i\phi _{2}),\,\phi _{1}^{'}-i\phi _{2}^{'}=e^{i\alpha }(\phi _{1}-i\phi _{2})\,.

\phi _{1}^{'}+i\phi _{2}^{'}=e^{-i\alpha }(\phi _{1}+i\phi _{2}),\,\phi _{1}^{'}-i\phi _{2}^{'}=e^{i\alpha }(\phi _{1}-i\phi _{2})\,.

(1.6)

Эта симметрия имеет глобальный характер, так как не зависит от координат пространства-времени .

Локальная калибровочная симметрия

Возникает вопрос о возможности заменить глобальную симметрию локальной, то есть зависящей от точки пространства-времени $\phi (x)\rightarrow e^{-i\alpha (x)}\phi (x),\,\phi ^{*}(x)\rightarrow e^{i\alpha (x)}\phi ^{*}(x)$ $\phi (x)\rightarrow e^{-i\alpha (x)}\phi (x),\,\phi ^{*}(x)\rightarrow e^{i\alpha (x)}\phi ^{*}(x)$ , но при сохранении свойств лагранжиана. Оказывается, что лагранжиан меняет свой вид из-за наличия дополнительных производных от функции $\alpha (x)$ $\alpha(x)$ . Тем не менее можно изменить лагранжиан таким образом, чтобы он сохранялся под действием локальных калибровочных преобразований. Для этого вводят новое векторное поле $A_{\mu }$ $A_{{\mu }}$ , которое взаимодействует с нётеровским током. Добавка к лагранжиану имеет вид

{\mathcal {L_{1}}}=-ie(\phi ^{*}\partial ^{\mu }\phi -\phi \partial ^{\mu }\phi ^{*})A_{\mu }\,,

{\mathcal {L_{1}}}=-ie(\phi ^{*}\partial ^{\mu }\phi -\phi \partial ^{\mu }\phi ^{*})A_{\mu }\,,

(1.7)

где $e$ $e$ — безразмерная константа связи . Это приводит к возникновению вклада в вариацию лагранжиана от произведения всех полей, и чтобы избавиться от неё вводят ещё одно слагаемое

{\mathcal {L_{2}}}=e^{2}A_{\mu }A^{\mu }\phi ^{*}\phi \,,

{\mathcal {L_{2}}}=e^{2}A_{\mu }A^{\mu }\phi ^{*}\phi \,,

(1.8)

которое полностью восстанавливает калибровочную инвариантность нового лагранжиана ${\mathcal {L}}+{\mathcal {L_{1}}}+{\mathcal {L_{2}}}\,$ ${\mathcal {L}}+{\mathcal {L_{1}}}+{\mathcal {L_{2}}}\,$ . Так как введённое векторное поле тоже должно давать свободный вклад в лагранжиан, то для него вводят 4-мерный ротор поля $A_{\mu }$ $A_{{\mu }}$ по стандартной формуле $F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }$ $F_{{\mu \nu }}=\partial _{{\mu }}A_{{\nu }}-\partial _{{\nu }}A_{{\mu }}$ — это тензор напряжённостей электромагнитного поля. Добавляя к лагранжиану свободного векторного поля вклады , и , в итоге получаем лагранжиан электродинамики комплексного скалярного поля $\phi$ $\phi$ :

{\mathcal {L}}_{tot}=(\partial _{\mu }\phi)(\partial ^{\mu }\phi ^{*})-m^{2}\phi ^{*}\phi -ie(\phi ^{*}\partial ^{\mu }\phi -\phi \partial ^{\mu }\phi ^{*})A_{\mu }+e^{2}A_{\mu }A^{\mu }\phi ^{*}\phi -{\frac {1}{16\pi }}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }\,,

{\mathcal {L}}_{tot}=(\partial _{\mu }\phi)(\partial ^{\mu }\phi ^{*})-m^{2}\phi ^{*}\phi -ie(\phi ^{*}\partial ^{\mu }\phi -\phi \partial ^{\mu }\phi ^{*})A_{\mu }+e^{2}A_{\mu }A^{\mu }\phi ^{*}\phi -{\frac {1}{16\pi }}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }\,,

(1.9)

где полю $\phi$ $\phi$ соответствует электрический заряд $e,$ $e,$ а комплексному полю $\phi ^{*}$ $\phi ^{*}$ — заряд с обратным знаком $-e.$ $-e.$ Такой подход введения электромагнитного взаимодействия был использован Вейлем в 20-х годах XX века .

Калибровочная симметрия оказалась связана с формой взаимодействия . Также симметрия однозначно определяет динамику взаимодействия частиц. Представления о локальной калибровочной симметрии можно применить к кваркам и помочь построить теорию сильных взаимодействий .

См. также

Примечания

, с. 174.
, с. 261.
, с. 265.
Pauli, Wolfgang (1941). "Relativistic Field Theories of Elementary Particles". Rev. Mod. Phys . 13 (3): 203—32. Bibcode : . doi : .
Yang C. N., Mills R. L. (1954). "Conservation of Isotopic Spin and Isotopic Gauge Invariance". Phys. Rev. 96 : 191—195. Bibcode : . doi : .
Donaldson, Simon K. (1983). "Self-dual connections and the topology of smooth 4-manifolds". 8 (1): 81—83. doi : .
↑ Seiberg, N. ; Witten, E. (1994a), "Electric-magnetic duality, monopole condensation, and confinement in N=2 supersymmetric Yang-Mills theory", Nuclear Physics B , 426 (1): 19—52, arXiv : , Bibcode : , doi : , MR , S2CID ; "Erratum", Nuclear Physics B , 430 (2): 485—486, 1994, Bibcode : , doi : , MR
Pickering, A. Constructing Quarks. — University of Chicago Press , 1984. — ISBN 0-226-66799-5 .
, с. 24.
↑ С. С. Герштейн. // Соровский образовательный журнал. — 2000. — № 6 . — С. 78—84 . 14 января 2017 года.
↑ , с. 27.
↑ , с. 26.
↑ , с. 29.
, с. 30.
↑ , с. 31.

Литература

Визгин В. П. Единые теории поля в первой трети XX века. — М. : Наука, 1985. — 304 с.
Садовский М. В. . — Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. — 480 с. — ISBN 5-93972-241-5 .
Jackson J. D. and Okun L. B. Historical roots of gauge invariance // Rev. Mod. Phys.. — 2001. — Т. 73 . — С. 663 . — doi : . — arXiv : .
Г. 'т Хоофт, , « Успехи физических наук », 1981, т. 135, вып. 3, с.379. (перевод статьи из « Scientific American », June 1980, Vol. 242, p.90.)
Коноплева Н. П., Попов В. Н. . Калибровочные поля. — М. : Атомиздат , 1972.
Славнов А. А., Фаддеев Л. Д. Введение в квантовую теорию калибровочных полей. — 2 изд., перераб. и доп. — М. : Наука , 1988.
Сарданашвили Г. А. Современные методы теории поля. 1. Геометрия и классические поля. — М. : УРСС , 1996. — ISBN 5-88417-087-4 .
Сарданашвили Г. А. Современные методы теории поля. 4. Геометрия и квантовые поля. — М. : УРСС , 2000. — ISBN 5-88417-221-4 .
Утияма Р. К чему пришла физика. От теории относительности к теории калибровочных полей. — М. : Знание, 1986. — 224 с.
Волошин М. Б. , Тер-Мартиросян К. А. Теория калибровочных взаимодействий элементарных частиц. — М. : Энергоатомиздат, 1984. — 288 с.
Иваненко Д. Д. (ред.). Элементарные частицы и компенсирующие поля. — М. : Мир, 1964. — 298 с.