Interested Article - Принцип максимума модуля

Принцип максимума модуля выражается следующей теоремой:

Если $f$ $f$ голоморфна в некоторой области $G\subset \mathbb {C} ^{n}$ $G\subset {\mathbb C}^{n}$ и существует точка $z_{0}\in G$ $z_{0}\in G$ такая, что во всей области $G$ $G$ выполняется неравенство $|f(z_{0})|\geqslant |f(z)|$ $|f(z_{0})|\geqslant |f(z)|$ , то $f(z)\equiv \mathrm {const}$ $f(z)\equiv {\mathrm {const}}$ .

Другими словами, модуль аналитической функции, отличной от константы, не может иметь локальных максимумов внутри области $G$ $G$ .

Следствия

Принцип минимума модуля. Если $f$ $f$ аналитична в некоторой области $G\subset \mathbb {C} ^{n}$ $G\subset \mathbb {C} ^{n}$ , не обращается там в нуль, и существует точка $z_{0}\in G$ $z_{0}\in G$ такая, что во всей области $G$ $G$ выполняется неравенство $|f(z_{0})|\leqslant |f(z)|$ $|f(z_{0})|\leqslant |f(z)|$ , то $f(z)\equiv \mathrm {const}$ $f(z)\equiv {\mathrm {const}}$ . (То есть локальные минимумы модуля аналитической функции, отличной от константы, могут достигаться только в тех точках, где она обращается в ноль.)
Принцип максимума вещественной и мнимой части. Если для аналитической функции $f(z)$ $f(z)$ в точке $z_{0}\in G$ $z_{0}\in G$ достигается локальный максимум (минимум) у её вещественной (или мнимой) части, тогда функция $f(z)$ $f(z)$ есть константа.

(Здесь используется обычный принцип максимума модуля для функций $e^{f(z)}$ $e^{{f(z)}}$ и $e^{if(z)}$ $e^{{if(z)}}$ , а также равенство $\left|e^{f(z)}\right|=e^{\mathrm {Re} \,f(z)}$ $\left|e^{{f(z)}}\right|=e^{{{\mathrm {Re}}\,f(z)}}$ .)

Пусть $K\subset \mathbb {C} ^{n}$ $K\subset {\mathbb C}^{n}$ — компактное подмножество . Для всякой функции $f$ $f$ , непрерывной на $K$ $K$ и аналитичной внутри $K$ $K$ , выполнено равенство: