Элемента́рные фу́нкции — функции , которые можно получить с помощью конечного числа арифметических действий и композиций из следующих основных элементарных функций :

• степенная функция с любым действительным показателем;
• показательная и логарифмическая функции;
• тригонометрические и обратные тригонометрические функции.

Каждую элементарную функцию можно задать формулой, то есть набором конечного числа символов, соответствующих используемым операциям. Все элементарные функции непрерывны на своей области определения.

Иногда к основным элементарным функциям относят также гиперболические и обратные гиперболические функции , хотя они могут быть выражены через перечисленные выше основные элементарные функции.

Элементарные функции по Лиувиллю

Рассматривая функции комплексного переменного, Лиувилль определил элементарные функции несколько шире. Элементарная функция ${\displaystyle y(x)}$ переменной ${\displaystyle x}$ — аналитическая функция , которая может быть представлена как алгебраическая функция ${\displaystyle y(x)=\phi (x,z_{1},...,z_{r}),}$ причём:

• ${\displaystyle z_{1}}$ является логарифмом или экспонентой от некоторой алгебраической функции ${\displaystyle g_{1}(x),}$
• ${\displaystyle z_{2}}$ является логарифмом или экспонентой от некоторой алгебраической функции ${\displaystyle g_{2}(x,z_{1}),}$

...

• ${\displaystyle z_{r}}$ является логарифмом или экспонентой от некоторой алгебраической функции ${\displaystyle g_{r}(x,z_{1},...,z_{r-1}).}$

Например, ${\displaystyle y(x)=\sin(x)}$ — элементарная функция в этом смысле, поскольку она является алгебраической функцией от показательной функции ${\displaystyle e^{ix}:}$

${\displaystyle \sin(x)={\frac {(e^{ix})^{2}-1}{2ie^{ix}}}.}$

Вообще, с помощью указанного тождества все тригонометрические и обратные тригонометрические функции можно выразить через логарифмы, экспоненты, арифметические действия, а также операцию взятия квадратного корня. Разумеется, при этом будет использована мнимая единица ${\displaystyle i={\sqrt {-1}}.}$

Функция ${\displaystyle y(x)=e^{e^{x}}}$ тоже является элементарной, поскольку её можно представить в виде:

${\displaystyle y(x)=\phi (x,z_{1},z_{2}),}$ где ${\displaystyle z_{1}=e^{x},\ z_{2}=e^{z_{1}},\ \phi (x,z_{1},z_{2})=z_{2}.}$

Не ограничивая общности рассмотрения, можно считать функции ${\displaystyle z_{1},\dots ,z_{r}}$ алгебраически независимыми. Это означает, что алгебраическое соотношение ${\displaystyle \psi (x,z_{1},...,z_{r})=0}$ может выполняться для всех ${\displaystyle x}$ , только если коэффициенты полинома ${\displaystyle \psi (x,z_{1},...,z_{r})}$ равны нулю.

Дифференцирование элементарных функций

Производная элементарной функции всегда является элементарной функцией и может быть найдена за конечное число действий. Именно, по правилу дифференцирования сложной функции

${\displaystyle y'(x)={\frac {d}{dx}}\phi (x,z_{1},\dots ,z_{r})={\frac {\partial \phi }{\partial x}}+\sum \limits _{i=1}^{r}{\frac {\partial \phi }{\partial z_{i}}}{\frac {dz_{i}}{dx}},}$

где ${\displaystyle z_{1}'(z)}$ равно или ${\displaystyle g_{1}'/g_{1}}$ или ${\displaystyle z_{1}g_{1}'}$ в зависимости от того, логарифм ли ${\displaystyle z_{1}}$ или экспонента и т. д. На практике удобно использовать таблицу производных .

Интегрирование элементарных функций

Интеграл элементарной функции не всегда сам является элементарной функцией. Наиболее распространённые функции, интегралы которых найдены, собраны в таблице интегралов . В общем случае проблема интегрирования элементарных функций решается алгоритмом Риша , основанном на теореме Лиувилля:

Теорема Лиувилля . Если интеграл от элементарной функции ${\displaystyle y=\phi (x,z_{1},\dots z_{r})}$ сам является элементарной функцией, то он представим в виде

${\displaystyle \int \phi (x,z_{1}(x),\dots ,z_{r}(x))\,dx=\sum \limits _{i}A_{i}\ln(\psi _{i}(x,z_{1},\dots z_{r}))+\psi _{0}(x,z_{1},\dots ,z_{r})+C,}$

где ${\displaystyle A_{i}}$ — некоторые комплексные числа, а ${\displaystyle \psi _{i}}$ — алгебраические функции своих аргументов.

Доказательство этой теоремы Лиувилль основал на следующем принципе. Если интеграл от ${\displaystyle y}$ берётся в элементарных функциях, то верно

${\displaystyle \int \phi (x,z_{1}(x),\dots z_{r}(x))\,dx=\psi (x,z_{1}(x),\dots z_{s}(x))+\operatorname {const} }$

где ${\displaystyle \psi }$ — алгебраическая функция, ${\displaystyle z_{r+1}}$ — логарифм или экспонента алгебраической функции ${\displaystyle x,z_{1},\dots z_{r}}$ и т. д. Функции ${\displaystyle z_{1},\dots z_{s}}$ являются алгебраически независимыми и удовлетворяют некоторой системе дифференциальных уравнений вида

${\displaystyle z_{1}'=\rho _{1}(x,z_{1},\dots ,z_{s}),\dots }$

где ${\displaystyle \rho _{i}}$ — алгебраические функции своих аргументов. Если ${\displaystyle z_{1}=z_{1}(x,C),\dots }$ — семейство решений этой системы, то

${\displaystyle \int \phi (x,z_{1}(x,C),\dots)\,dx=\psi (x,z_{1}(x,C),\dots z_{s}(x,C))+\operatorname {const} }$

откуда

${\displaystyle \psi (x,z_{1}(x),\dots)=\psi (x,z_{1}(x,C),\dots z_{s}(x,C))+f(C)}$

Для некоторых классов интегралов эта теорема позволяет весьма просто исследовать разрешимость в элементарных функциях задачи об интегрировании.

Интегрирование функций вида ${\displaystyle p(x)e^{q(x)}}$

Следствие теоремы Лиувилля (См. Ритт, с. 47 и сл.). Если интеграл

${\displaystyle \int p(x)e^{q(x)}\,dx,}$

где ${\displaystyle p,q}$ — полиномы, берётся в элементарных функциях, то

${\displaystyle \int p(x)e^{q(x)}\,dx=r(x)e^{q(x)}}$ ,

где ${\displaystyle r(x)}$ — тоже некоторый полином, удовлетворяющий дифференциальному уравнению

${\displaystyle r'+q'(x)r=p(x)}$

Пример . В частности, интеграл

${\displaystyle \int e^{x^{2}}\,dx}$

не берётся, поскольку подстановка

${\displaystyle r=Ax^{n}+\dots \quad (A\not =0)}$

в уравнение

${\displaystyle r'+2xr=1}$

даёт ${\displaystyle A=0}$ . Интеграл же

${\displaystyle \int xe^{x^{2}}\,dx}$

берётся, поскольку

${\displaystyle r'+2xr=x}$

имеет решение ${\displaystyle r=1/2}$ . При этом, конечно,

${\displaystyle \int xe^{x^{2}}\,dx={\frac {e^{x^{2}}}{2}}+\operatorname {const} }$

Доказательство следствия . В силу теоремы Лиувилля

${\displaystyle \int p(x)e^{q(x)}\,dx=\psi _{0}(x,e^{q(x)})+\sum A_{i}\ln \psi _{i}(x,e^{q(x)})+\operatorname {const} }$

Тогда в силу принципа Лиувилля при произвольной константе ${\displaystyle C}$ верно

${\displaystyle \int p(x)Ce^{q(x)}\,dx=\psi _{0}(x,Ce^{q(x)})+\sum A_{i}\ln \psi _{i}(x,Ce^{q(x)})+f(C)}$

Дифференцируя по ${\displaystyle C}$ и полагая ${\displaystyle C=1}$ , видим, что интеграл выражается алгебраически через ${\displaystyle x,e^{q(x)}}$ , то есть

${\displaystyle \int p(x)e^{q(x)}\,dx=\psi (x,e^{q(x)}).}$

Опять применяя принцип Лиувилля, имеем

${\displaystyle C\psi (x,e^{q(x)})=\psi (x,Ce^{q(x)})+f(C).}$

Дифференцируя по ${\displaystyle C}$ и полагая ${\displaystyle C=1}$ , имеем

${\displaystyle \psi (x,z)=z{\frac {\partial \psi (x,z)}{\partial z}}+B\quad (B=\operatorname {const})}$

при ${\displaystyle z=e^{q(x)}}$ , а следовательно, в силу алгебраической независимости ${\displaystyle x,e^{q(x)}}$ , при всех ${\displaystyle x,z}$ . Поэтому

${\displaystyle \psi (x,z)=-B+zr(x),}$

где ${\displaystyle r}$ — некоторая алгебраическая функция ${\displaystyle x}$ . Таким образом,

${\displaystyle \int p(x)e^{q(x)}\,dx=r(x)e^{q(x)}+\operatorname {const} ,}$

Коль скоро сам интеграл заведомо является целой функцией ${\displaystyle x}$ , то ${\displaystyle r}$ — полином. Следствие доказано.

Интегрирование алгебраических функций

Наиболее сложным оказался вопрос об интегрировании в элементарных функциях функций алгебраических, то есть о взятии абелевых интегралов , которому посвящены обширные исследования Вейерштрасса , Пташицкого и Риша .

Теорема Лиувилля является основой для создания алгоритмов символьного интегрирования элементарных функций, реализуемых, напр., в Maple .

См. также: Список интегралов элементарных функций

Вычисление пределов

Теория Лиувилля не распространяется на вычисление пределов . Неизвестно, существует ли алгоритм, который по заданной элементарной формулой последовательности даёт ответ, имеет ли она предел или нет. Например, открыт вопрос о том, сходится ли последовательность ${\displaystyle {\frac {1}{n^{3}\sin n}}}$ .

См. также

• Дифференциальная теория Галуа

Примечания

Литература

• Зайцев В. В., Рыжков В. В., Сканави М. И. Элементарная математика. Повторительный курс. — Издание третье, стереотипное. — М. : Наука, 1976. — 591 с.
• Хованский А. Г. . Гл. 1. M, 2007
• Liouville J. (недоступная ссылка) // J. Reine Angew. Math. Bd. 13, p. 93-118. (1835)