Interested Article - Теория Галуа

Тео́рия Галуа́ — раздел алгебры , позволяющий переформулировать определённые вопросы теории полей на языке теории групп , делая их в некотором смысле более простыми.

Эварист Галуа сформулировал основные утверждения этой теории в терминах перестановок корней заданного многочлена (с рациональными коэффициентами); он был первым, кто использовал термин « группа » для описания множества перестановок, замкнутого относительно композиции и содержащего тождественную перестановку.

Более современный подход к теории Галуа заключается в изучении автоморфизмов расширения произвольного поля при помощи группы Галуа , соответствующей данному расширению.

Приложения

Теория Галуа даёт единый элегантный подход к решению таких классических задач как

Какие фигуры можно построить циркулем и линейкой ?
Какие алгебраические уравнения разрешимы с помощью стандартных алгебраических операций ( сложение , вычитание , умножение , деление и извлечение корня )?

Симметрии корней

Симметрии корней — такие перестановки на множестве корней многочлена, для которых любому алгебраическому уравнению с рациональными коэффициентами (с несколькими переменными), которому удовлетворяют корни, удовлетворяют и переставленные корни.

Пример: квадратное уравнение

У многочлена второй степени $ax^{2}+bx+c$ $ax^{2}+bx+c$ имеются два корня $x_{1}$ $x_{1}$ и $x_{2}$ $x_{2}$ , симметричных относительно точки $x=-b/(2a)$ $x=-b/(2a)$ . Возможны два варианта:

Если эти корни рациональны, то уравнению $x-x_{1}=0$ $x-x_{1}=0$ удовлетворяет только один корень, и группа уравнения тривиальна.
Если корни иррациональны, то группа содержит один нетривиальный элемент $x_{1}\Leftrightarrow x_{2}$ $x_{1}\Leftrightarrow x_{2}$ и изоморфна $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ ${\mathbb {Z}}/2{\mathbb {Z}}$ .

Более сложный пример

Рассмотрим теперь многочлен $(x^{2}-5)^{2}-24$ $(x^{2}-5)^{2}-24$ .

Его корни: $a={\sqrt {2}}+{\sqrt {3}},\ b={\sqrt {2}}-{\sqrt {3}},\ c=-{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}},\ d=-{\sqrt {2}}-{\sqrt {3}}$ $a={\sqrt {2}}+{\sqrt {3}},\ b={\sqrt {2}}-{\sqrt {3}},\ c=-{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}},\ d=-{\sqrt {2}}-{\sqrt {3}}$ .

Существует $4!=24$ $4!=24$ различных перестановки корней этого уравнения, но не все они являются симметриями. Элементы группы Галуа должны сохранять любые алгебраические уравнения с рациональными коэффициентами.

Одно из таких уравнений — $a+d=0$ $a+d=0$ . Поскольку $a+c\neq 0$ $a+c\neq 0$ , перестановка $a\to a,\ b\to b,\ c\to d,\ d\to c$ $a\to a,\ b\to b,\ c\to d,\ d\to c$ не входит в группу Галуа.

Кроме того, можно заметить, что $(a+b)^{2}=8$ $(a+b)^{2}=8$ , но $(a+c)^{2}=12$ $(a+c)^{2}=12$ . Поэтому перестановка $a\to a,\ b\to c,\ c\to b,\ d\to d$ $a\to a,\ b\to c,\ c\to b,\ d\to d$ не входит в группу.

Окончательно можно получить, что группа Галуа многочлена состоит из четырёх перестановок:

(a,b,c,d)\to (a,b,c,d),

(a,b,c,d)\to (a,b,c,d),

(a,b,c,d)\to (c,d,a,b),

(a,b,c,d)\to (c,d,a,b),

(a,b,c,d)\to (b,a,d,c),

(a,b,c,d)\to (b,a,d,c),

(a,b,c,d)\to (d,c,b,a)

(a,b,c,d)\to (d,c,b,a)

и является четверной группой Клейна , изоморфной $(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z})\times (\mathbb {Z} /2\mathbb {Z})$ $(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z})\times (\mathbb {Z} /2\mathbb {Z})$ .

Формулировка в терминах теории полей

Теория полей даёт более общее определение группы Галуа как группы автоморфизмов произвольного расширения Галуа .

На этом языке можно сформулировать все утверждения, касающиеся «симметрий» корней многочлена. А именно, пусть коэффициенты данного многочлена принадлежат полю K . Рассмотрим алгебраическое расширение L поля K корнями многочлена. Тогда группа Галуа многочлена — это группа автоморфизмов поля L , оставляющих элементы поля K на месте, то есть группа Галуа расширения $L\supset K$ $L\supset K$ . Например, в предыдущем примере была рассмотрена группа Галуа расширения $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})\supset \mathbb {Q}$ ${\mathbb Q}({\sqrt 2},{\sqrt 3})\supset {\mathbb Q}$ .

Разрешимые группы и решение уравнений в радикалах

Решения полиномиального уравнения $P(x)=0$ $P(x)=0$ выражаются в радикалах тогда и только тогда, когда группа Галуа данного уравнения в общем виде разрешима .

Для любого $n$ $n$ существует уравнение $n$ $n$ -й степени, группа Галуа которого изоморфна симметрической группе $S_{n}$ $S_{n}$ , то есть состоит из всех возможных перестановок . Поскольку группы $S_{n}$ $S_{n}$ при $n>4$ $n>4$ не являются разрешимыми, существуют многочлены степени $n$ $n$ , корни которых не представимы при помощи радикалов , что является утверждением теоремы Абеля — Руффини .

Вариации и обобщения

Более абстрактный подход к теории Галуа был разработан Александром Гротендиком в 1960 году. Этот подход позволяет применить основные результаты теории Галуа к любой категории , обладающей заданными свойствами (например, существованием копроизведений и декартовых квадратов ).
- В частности, это позволяет перенести результаты теории Галуа в теорию накрытий . Для того, чтобы применить эту теорию к категории расширений полей, требуется изучение свойств .

Литература

Колмогоров А. Н. , Юшкевич А. П. (ред.) Математика XIX века. — М.: Наука.

Том 1 (недоступная ссылка)

Постников М. М. от 2 апреля 2014 на Wayback Machine — М.: Физматгиз , 1963.
Grothendieck, Alexander; Raynaud, Michèle (2003) [1971], Revêtements étales et groupe fondamental (SGA 1), Documents Mathématiques (Paris) [Mathematical Documents (Paris)] 3, Paris: Société mathématique de France , — ISBN 978-2-85629-141-2
Скопенков А. Б.
Lerner L.
Эмиль Артин . Теория Галуа. / Пер. с англ. А. В. Самохина. — 2-е изд. стереотипное. — М.: МЦНМО, 2008. — 66 с. — (Классические монографии: математика). — ISBN 978-5-94057-062-2 .