Дифференциальными кольцами , полями и алгебрами называются кольца , поля и алгебры , снабжённые дифференцированием — унарной операцией, удовлетворяющей правилу произведения . Естественный пример дифференциального поля — поле рациональных функций одной комплексной переменной ${\displaystyle C(t)}$ , операции дифференцирования соответствует дифференцирование по ${\displaystyle t}$ . Теория создана Джозефом Риттом (1950) и его учеником .

Определения

Дифференциальные кольца

Дифференциальное кольцо — это кольцо R , снабжённое одним или несколькими эндоморфизмами ( дифференцированиями )

${\displaystyle \partial \colon R\to R}$

удовлетворяющими правилу произведения

${\displaystyle \partial (r_{1}r_{2})=(\partial r_{1})r_{2}+r_{1}(\partial r_{2})}$

для любых ${\displaystyle r_{1},r_{2}\in R}$ . Подчеркнем, что в некоммутативном кольце правило ${\displaystyle d(xy)=xdy+ydx}$ может не выполняться. В безындексной форме записи, если ${\displaystyle M\colon R\times R\to R}$ — умножение в кольце, то правило произведения примет вид

${\displaystyle \partial \circ M=M\circ (\partial \otimes \operatorname {id})+M\circ (\operatorname {id} \otimes \partial).}$

где ${\displaystyle f\otimes g}$ — отображение пары ${\displaystyle (x,y)}$ в пару ${\displaystyle (f(x),g(y))}$ .

Дифференциальные поля

Дифференциальное поле — это поле K , снабжённое дифференцированием. Дифференцирование должно подчиняться правилу Лейбница в форме

${\displaystyle \partial (uv)=u\,\partial v+v\,\partial u}$

так как умножение в поле коммутативно. Дифференцирование также должно быть дистрибутивно относительно сложения:

${\displaystyle \partial (u+v)=\partial u+\partial v}$

Полем констант дифференциального поля ${\displaystyle K}$ называется ${\displaystyle k=\{u\in K|\partial (u)=0\}}$ .

Дифференциальная алгебра

Дифференциальной алгеброй над полем K называется K -алгебра A , в которой дифференцирования коммутируют с полем. То есть для любых ${\displaystyle k\in K}$ и ${\displaystyle x\in A}$ :

${\displaystyle \ \partial (kx)=k\partial x}$

В безындексной форме записи, если ${\displaystyle \eta \colon K\to A}$ — морфизм колец, определяющий умножение на скаляры в алгебре, то

${\displaystyle \partial \circ M\circ (\eta \times \operatorname {Id})=M\circ (\eta \times \partial)}$

Как и в остальных случаях, дифференцирование должно удовлетворять правилу Лейбница относительно умножения в алгебре и быть линейным относительно сложения. То есть для любых ${\displaystyle a,b\in K}$ и ${\displaystyle x,y\in A}$ :

${\displaystyle \partial (xy)=(\partial x)y+x(\partial y)}$

и

${\displaystyle \partial (ax+by)=a\,\partial x+b\,\partial y}$

Дифференцирование в алгебре Ли

Дифференцирование алгебры Ли ${\displaystyle L}$ — это линейное отображение ${\displaystyle \delta \colon L\to L}$ , удовлетворяющее правилу Лейбница:

${\displaystyle \ \delta ([a,b])=[a,\delta (b)]+[\delta (a),b]}$

Для любого ${\displaystyle a\in L}$ оператор ${\displaystyle \operatorname {ad} (a)}$ — дифференцирование на ${\displaystyle L}$ , что следует из тождества Якоби . Любое такое дифференцирование называется внутренним .

Примеры

Если ${\displaystyle A}$ — алгебра с единицей , то ${\displaystyle \partial (1)=0}$ , так как ${\displaystyle \partial (1)=\partial (1\times 1)=\partial (1)+\partial (1)}$ . Например, в дифференциальных полях характеристики 0 рациональные элементы образуют подполе в поле констант.

Любое поле можно рассматривать как поле констант.

В поле ${\displaystyle \mathbb {Q} (t)}$ существует естественная структура дифференциального поля, определяемая равенством ${\displaystyle \partial (t)=1}$ : из аксиом поля и дифференцирования следует, что это будет дифференцирование по ${\displaystyle t}$ . Например, из коммутативности умножения и правила Лейбница следует, что

${\displaystyle \partial (u^{2})=u\partial (u)+\partial (u)u=2u\partial (u)}$

В дифференциальном поле ${\displaystyle \mathbb {Q} (t)}$ нет решения дифференциального уравнения ${\displaystyle \partial (u)=u}$ , но можно расширить его до поля, содержащего функцию ${\displaystyle e^{t}}$ , имеющего решение этого уравнения.

Дифференциальное поле, имеющее решение для любой системы дифференциальных уравнений, называется . Такие поля существуют, хотя они и не возникают естественным образом в алгебре или геометрии. Любое дифференциальное поле (ограниченной мощности ) вкладывается в большее дифференциально замкнутое поле. Дифференциальные поля изучаются в дифференциальной теории Галуа .

Естественные примеры дифференцирований — частные производные , производные Ли , и коммутатор относительно заданного элемента алгебры. Все эти примеры тесно связаны общей идеей дифференцирования.

Кольцо псевдодифференциальных операторов

Дифференциальные кольца и дифференциальные алгебры часто изучаются с помощью кольца над ними:

${\displaystyle R((\xi ^{-1}))=\left\{\sum _{n<\infty }r_{n}\xi ^{n}|r_{n}\in R\right\}.}$

Умножение в этом кольце определяется как

${\displaystyle (r\xi ^{m})(s\xi ^{n})=\sum _{k=0}^{m}r(\partial ^{k}s){m \choose k}\xi ^{m+n-k}.}$

Здесь ${\displaystyle {m \choose k}}$ — биномиальный коэффициент . Отметим тождество

${\displaystyle \xi ^{-1}r=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}(\partial ^{n}r)\xi ^{-1-n}}$

следующее из

${\displaystyle {-1 \choose n}=(-1)^{n}}$

и

${\displaystyle r\xi ^{-1}=\sum _{n=0}^{\infty }\xi ^{-1-n}(\partial ^{n}r).}$

Градуированное дифференцирование

Пусть ${\displaystyle A}$ — градуированная алгебра , ${\displaystyle D}$ — однородное линейное отображение, ${\displaystyle d=\left|D\right|}$ . ${\displaystyle D}$ называется однородной производной , если ${\displaystyle D(ab)=D(a)b+\epsilon ^{|a||D|}aD(b)}$ , ${\displaystyle \epsilon =\pm 1}$ при действии на однородные элементы ${\displaystyle A}$ . Градуированная производная — это сумма однородных производных с одинаковым ${\displaystyle \epsilon }$ .

Если ${\displaystyle \epsilon =1}$ , определение совпадает с обычным дифференцированием.

Если ${\displaystyle \epsilon =-1}$ , то ${\displaystyle D(ab)=D(a)b+(-1)^{|a|}aD(b)}$ , для нечётных ${\displaystyle \left|D\right|}$ . Такие эндоморфизмы называются антипроизводными .

Примеры антипроизводных — внешняя и внутренняя производная дифференциальных форм .

Градуированные производные (то есть ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ -градуированных алгебр) часто называются суперпроизводными .

Примечания

См. также

• Дифференциальная теория Галуа
• Кэлеров дифференциал
• — это алгебраическая структура с несколькими действующими на ней дифференциальными операторами.

Литература

• Buium Differential Algebra and Diophantine Geometry, — Hermann (1994).
• И. Капланский Дифференциальная алгебра, — Hermann (1957).
• Е. Колчин Дифференциальная алгебра и алгебраические группы, — 1973.
• Д. Маркер Теория моделей для дифференциальных полей, Теория моделей полей, Lecture notes in Logic 5, D. Marker, M. Messmer and A. Pillay, Springer Verlang (1996).
• А. Магид Лекции по дифференциальной теории Галуа, — Американское мат. общество, 1994.

• содержит несколько статей о дифференциальных полях.