Ве́кторное простра́нство ( лине́йное пространство ) — математическая структура , представляющая собой набор элементов, называемых векторами , для которых определены операции сложения друг с другом и умножения на число — скаляр . Эти операции подчинены восьми аксиомам . Скаляры могут быть элементами вещественного , комплексного или любого другого поля чисел . Частным случаем подобного пространства является обычное трёхмерное евклидово пространство , векторы которого используются, к примеру, для представления физических сил . При этом вектор как элемент векторного пространства не обязательно должен быть задан в виде направленного отрезка. Обобщение понятия «вектор» до элемента векторного пространства любой природы не только не вызывает смешения терминов, но и позволяет уяснить или даже предвидеть ряд результатов, справедливых для пространств произвольной природы .

Векторные пространства являются предметом изучения линейной алгебры . Одна из главных характеристик векторного пространства — его размерность. Размерность представляет собой максимальное число линейно независимых элементов пространства, то есть, прибегая к грубой геометрической интерпретации, число направлений, которые невозможно выразить друг через друга посредством только операций сложения и умножения на скаляр. Векторное пространство можно наделить дополнительными структурами, например, нормой или скалярным произведением . Подобные пространства естественным образом появляются в математическом анализе , преимущественно в виде бесконечномерных , где в качестве векторов выступают функции . Многие проблемы анализа требуют выяснить, сходится ли последовательность векторов к данному вектору. Рассмотрение таких вопросов возможно в векторных пространствах с дополнительной структурой, в большинстве случаев — подходящей топологией , что позволяет определить понятия близости и непрерывности . Такие топологические векторные пространства , в частности, банаховы и гильбертовы , допускают более глубокое изучение.

Первые труды, предвосхитившие введение понятия векторного пространства, относятся к XVII веку . Именно тогда своё развитие получили аналитическая геометрия , учения о матрицах , системах линейных уравнений , евклидовых векторах .

Определение

Линейное , или векторное , пространство ${\displaystyle V(F)}$ над полем ${\displaystyle F}$ — это упорядоченная четвёрка ${\displaystyle (V,F,+,\cdot)}$ , где

• ${\displaystyle V}$ — непустое множество элементов произвольной природы, которые называются векторами .
• ${\displaystyle F}$ — поле , элементы которого называются скалярами .
• Определена операция сложения векторов ${\displaystyle V\times V\to V}$ , сопоставляющая каждой паре элементов ${\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {y} }$ множества ${\displaystyle V}$ единственный элемент множества ${\displaystyle V}$ , называемый их суммой и обозначаемый ${\displaystyle \mathbf {x} +\mathbf {y} }$ .
• Определена операция умножения векторов на скаляры ${\displaystyle F\times V\to V}$ , сопоставляющая каждому элементу ${\displaystyle \lambda }$ поля ${\displaystyle F}$ и каждому элементу ${\displaystyle \mathbf {x} }$ множества ${\displaystyle V}$ единственный элемент множества ${\displaystyle V}$ , обозначаемый ${\displaystyle \lambda \cdot \mathbf {x} }$ или ${\displaystyle \lambda \mathbf {x} }$ .

Заданные операции должны удовлетворять следующим аксиомам — аксиомам линейного (векторного) пространства:

1. ${\displaystyle \mathbf {x} +\mathbf {y} =\mathbf {y} +\mathbf {x} }$ для любых ${\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in V}$ ( коммутативность сложения );
2. ${\displaystyle \mathbf {x} +(\mathbf {y} +\mathbf {z})=(\mathbf {x} +\mathbf {y})+\mathbf {z} }$ для любых ${\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {y} ,\mathbf {z} \in V}$ ( ассоциативность сложения );
3. существует такой элемент ${\displaystyle \mathbf {0} \in V}$ , что ${\displaystyle \mathbf {x} +\mathbf {0} =\mathbf {0} +\mathbf {x} =\mathbf {x} }$ для любого ${\displaystyle \mathbf {x} \in V}$ ( существование нейтрального элемента относительно сложения ), называемый нулевым вектором , или просто нулём , пространства ${\displaystyle V}$ ;
4. для любого ${\displaystyle \mathbf {x} \in V}$ существует такой элемент ${\displaystyle -\mathbf {x} \in V}$ , что ${\displaystyle \mathbf {x} +(-\mathbf {x})=\mathbf {0} }$ , называемый вектором, противоположным вектору ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ;
5. ${\displaystyle \alpha (\beta \mathbf {x})=(\alpha \beta)\mathbf {x} }$ ( ассоциативность умножения на скаляр );
6. ${\displaystyle 1\cdot \mathbf {x} =\mathbf {x} }$ ( унитарность: умножение на нейтральный (по умножению) элемент поля ${\displaystyle F}$ сохраняет вектор ).
7. ${\displaystyle (\alpha +\beta)\mathbf {x} =\alpha \mathbf {x} +\beta \mathbf {x} }$ ( дистрибутивность умножения вектора на скаляр относительно сложения скаляров );
8. ${\displaystyle \alpha (\mathbf {x} +\mathbf {y})=\alpha \mathbf {x} +\alpha \mathbf {y} }$ ( дистрибутивность умножения вектора на скаляр относительно сложения векторов ).

Таким образом, операция сложения задаёт на множестве ${\displaystyle V}$ структуру (аддитивной) абелевой группы .

Векторные пространства, заданные на одном и том же множестве элементов, но над различными полями, будут различными векторными пространствами (например, множество пар действительных чисел ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ может быть двумерным векторным пространством над полем действительных чисел либо одномерным — над полем комплексных чисел ).

Простейшие свойства

1. Векторное пространство является абелевой группой по сложению.
2. Нейтральный элемент ${\displaystyle \mathbf {0} \in V}$ является единственным, что вытекает из групповых свойств.
3. ${\displaystyle 0\cdot \mathbf {x} =\mathbf {0} }$ для любого ${\displaystyle \mathbf {x} \in V}$ .
4. Для любого ${\displaystyle \mathbf {x} \in V}$ противоположный элемент ${\displaystyle -\mathbf {x} \in V}$ является единственным, что вытекает из групповых свойств.
5. ${\displaystyle 1\cdot \mathbf {x} =\mathbf {x} }$ для любого ${\displaystyle \mathbf {x} \in V}$ .
6. ${\displaystyle (-\alpha)\cdot \mathbf {x} =\alpha \cdot (-\mathbf {x})=-(\alpha \mathbf {x})}$ для любых ${\displaystyle \alpha \in F}$ и ${\displaystyle \mathbf {x} \in V}$ .
7. ${\displaystyle \alpha \cdot \mathbf {0} =\mathbf {0} }$ для любого ${\displaystyle \alpha \in F}$ .

Связанные определения и свойства

Подпространство

Алгебраическое определение: Линейное подпространство , или векторное подпространство , ― непустое подмножество ${\displaystyle K}$ линейного пространства ${\displaystyle V}$ такое, что ${\displaystyle K}$ само является линейным пространством по отношению к определённым в ${\displaystyle V}$ действиям сложения и умножения на скаляр. Множество всех подпространств обычно обозначают как ${\displaystyle \mathrm {Lat} (V)}$ . Чтобы подмножество было подпространством, необходимо и достаточно, чтобы

1. для всякого вектора ${\displaystyle \mathbf {x} \in K}$ вектор ${\displaystyle \alpha \mathbf {x} }$ также принадлежал ${\displaystyle K}$ при любом ${\displaystyle \alpha \in F}$ ;
2. для всяких векторов ${\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in K}$ вектор ${\displaystyle \mathbf {x} +\mathbf {y} }$ также принадлежал ${\displaystyle K}$ .

Последние два утверждения эквивалентны следующему:

для всяких векторов ${\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in K}$ вектор ${\displaystyle \alpha \mathbf {x} +\beta \mathbf {y} }$ также принадлежал ${\displaystyle K}$ для любых ${\displaystyle \alpha ,\beta \in F}$ .

В частности, векторное пространство, состоящее из одного лишь нулевого вектора, является подпространством любого пространства; любое пространство является подпространством самого себя. Подпространства, не совпадающие с этими двумя, называют собственными , или нетривиальными .

Свойства подпространств

• Пересечение любого семейства подпространств — снова подпространство;
• Сумма подпространств ${\displaystyle \{K_{i}\mid i\in 1\ldots N\}}$ определяется как множество, содержащее всевозможные суммы элементов ${\displaystyle K_{i}}$ :

  ${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}{K_{i}}:=\{\mathbf {x} _{1}+\mathbf {x} _{2}+\ldots +\mathbf {x} _{N}\mid \mathbf {x} _{i}\in K_{i}\quad (i\in 1\ldots N)\}}$ .

  • Сумма конечного семейства подпространств — снова подпространство.

Линейные комбинации

Формальное выражение вида

${\displaystyle \alpha _{1}\mathbf {x} _{1}+\alpha _{2}\mathbf {x} _{2}+\ldots +\alpha _{n}\mathbf {x} _{n}}$

называется линейной комбинацией элементов ${\displaystyle \mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2},\ldots ,\mathbf {x} _{n}\in V}$ с коэффициентами ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}\in F}$ .

В действительности данное определение (и приводимые ниже) приложимо не только к комбинациям векторов, но и к комбинациям любых других объектов, для которых подобные суммы вообще имеют смысл (например, к комбинациям точек аффинного пространства ).

Линейная комбинация называется:

• нетривиальной , если хотя бы один из её коэффициентов отличен от нуля.
• барицентрической , если сумма её коэффициентов равна 1 ,
• выпуклой , если сумма её коэффициентов равна 1 и все коэффициенты неотрицательны,
• сбалансированной , если сумма её коэффициентов равна 0.

Базис и размерность

Векторы ${\displaystyle \mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2},\ldots ,\mathbf {x} _{n}}$ называются линейно зависимыми , если существует их нетривиальная линейная комбинация, значение которой равно нулю; то есть

${\displaystyle \alpha _{1}\mathbf {x} _{1}+\alpha _{2}\mathbf {x} _{2}+\ldots +\alpha _{n}\mathbf {x} _{n}=\mathbf {0} }$

при некоторых ненулевых коэффициентах ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}\in F}$ (то есть если хотя бы один из ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}}$ не равен нулю).

В противном случае эти векторы называются линейно независимыми .

Данное определение допускает следующее обобщение: бесконечное множество векторов из ${\displaystyle V}$ называется линейно зависимым , если линейно зависимо некоторое конечное его подмножество, и линейно независимым , если любое его конечное подмножество линейно независимо.

Можно показать , что число элементов ( мощность ) максимального линейно независимого множества элементов векторного пространства не зависит от выбора этого множества. Данное число называется рангом , или размерностью , пространства, а само это множество — базисом ( базисом Га́меля , или линейным базисом ). Элементы базиса именуют базисными векторами . Размерность пространства чаще всего обозначается символом ${\displaystyle {\rm {dim}}}$ .

Таким образом, размерность векторного пространства является либо неотрицательным целым числом (в частности, равным нулю, если пространство состоит из одного лишь нулевого вектора), либо бесконечностью (точнее, мощностью бесконечного множества). В первом случае векторное пространство называется конечномерным , а во втором — бесконечномерным (например, бесконечномерным является пространство непрерывных функций ). Традиционно изучение конечномерных векторных пространств и их отображений относится к линейной алгебре , а изучение бесконечномерных векторных пространств — к функциональному анализу . Во втором случае существенную роль играет вопрос о разложимости данного элемента по заданной бесконечной системе функций, то есть о сходимости соответствующих бесконечных сумм, для чего бесконечномерное векторное пространство рассматривается вместе с дополнительной структурой, позволяющей определять сходимость, например, с метрикой или топологией .

Свойства базиса:

• Любые ${\displaystyle n}$ линейно независимых элементов ${\displaystyle n}$ -мерного пространства образуют базис этого пространства.

• Любой вектор ${\displaystyle \mathbf {x} \in V}$ можно представить (единственным образом) в виде конечной линейной комбинации базисных элементов:

  ${\displaystyle \mathbf {x} =\alpha _{1}\mathbf {x} _{1}+\alpha _{2}\mathbf {x} _{2}+\ldots +\alpha _{n}\mathbf {x} _{n}}$ .

Линейная оболочка

Линейная оболочка ${\displaystyle {\mathcal {V}}(X)}$ подмножества ${\displaystyle X}$ линейного пространства ${\displaystyle V}$ — пересечение всех подпространств ${\displaystyle V}$ , содержащих ${\displaystyle X}$ .

Линейная оболочка является подпространством ${\displaystyle V}$ .

Линейная оболочка также называется подпространством, порожденным ${\displaystyle X}$ . Говорят также, что линейная оболочка ${\displaystyle {\mathcal {V}}(X)}$ — пространство, натянутое на множество ${\displaystyle X}$ .

Линейная оболочка ${\displaystyle {\mathcal {V}}(X)}$ состоит из всевозможных линейных комбинаций различных конечных подсистем элементов из ${\displaystyle X}$ . В частности, если ${\displaystyle X}$ — конечное множество, то ${\displaystyle {\mathcal {V}}(X)}$ состоит из всех линейных комбинаций элементов ${\displaystyle X}$ . Таким образом, нулевой вектор всегда принадлежит линейной оболочке.

Если ${\displaystyle X}$ — линейно независимое множество, то оно является базисом ${\displaystyle {\mathcal {V}}(X)}$ и тем самым определяет его размерность.

Изоморфизм

Два линейных пространства ${\displaystyle V'(F)}$ и ${\displaystyle V''(F)}$ называются изоморфными , если между векторами ${\displaystyle x'\in V'}$ и ${\displaystyle x''\in V''}$ можно установить взаимно однозначное соответствие таким образом, что выполняются условия:

1. если вектору ${\displaystyle \mathbf {x} '\in V'}$ соответствует вектор ${\displaystyle \mathbf {x} ''\in V''}$ , а вектору ${\displaystyle \mathbf {y} '\in V'}$ соответствует вектор ${\displaystyle \mathbf {y} ''\in V''}$ , то вектору ${\displaystyle \mathbf {x} '+\mathbf {y} '\in V'}$ соответствует вектор ${\displaystyle \mathbf {x} ''+\mathbf {y} ''\in V''}$
2. если вектору ${\displaystyle \mathbf {x} '\in V'}$ соответствует вектор ${\displaystyle \mathbf {x} ''\in V''}$ , и ${\displaystyle \lambda }$ - элемент поля ${\displaystyle F}$ , то вектору ${\displaystyle \lambda \mathbf {x} '\in V'}$ соответствует вектор ${\displaystyle \lambda \mathbf {x} ''\in V''}$

Примеры

• Нулевое пространство, единственным элементом которого является ноль.
• Пространство всех функций ${\displaystyle X\to F}$ с конечным носителем образует векторное пространство размерности, равной мощности ${\displaystyle X}$ .
• Поле действительных чисел может быть рассмотрено как континуально -мерное векторное пространство над полем рациональных чисел .
• Любое поле является одномерным пространством над собой.
• Пространства матриц и тензоров образуют линейное пространство.

Дополнительные структуры

• Нормированное векторное пространство
• Метрическое векторное пространство
• Топологическое векторное пространство
• Евклидово пространство
• Пространство Минковского
• Гильбертово пространство

См. также

• Аффинное пространство
• Выпуклый функционал
• Конечномерное пространство
• Линейная независимость
• Линейное отображение
• Модуль над кольцом
• Прямая сумма
• Сопряжённое пространство
• Флаг

Примечания

Литература

• Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. — 5-е. — М. : Добросвет, МЦНМО , 1998. — 319 с. — ISBN 5-7913-0015-8 .
• Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. 5-е изд. — М. : Добросвет, МЦНМО, 1998. — 320 с. — ISBN 5-7913-0016-6 .
• Кострикин А. И. , Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия. 2-е изд. — М. : Наука , 1986. — 304 с.
• Кострикин А. И. Введение в алгебру. Ч. 2: Линейная алгебра. — 3-е. — М. : Наука ., 2004. — 368 с. — (Университетский учебник).
• Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. — 3-е. — М. : Наука , 1970. — 400 с.

• Постников М. М. Линейная алгебра (Лекции по геометрии. Семестр II). — 2-е. — М. : Наука , 1986. — 400 с.
• Стренг Г. Линейная алгебра и её применения = Linear Algebra and Its Applications. — М. : Мир , 1980. — 454 с.
• Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра. 6-е изд. — М. : Физматлит, 2010. — 280 с. — ISBN 978-5-9221-0481-4 .
• Халмош П. Конечномерные векторные пространства = Finite-Dimensional Vector Spaces. — М. : Физматгиз , 1963. — 263 с.
• Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре. — 5-е. — СПб. : , 2007. — 416 с.
• Шафаревич И. Р. , Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия. — 1-е. — М. : Физматлит , 2009. — 511 с.
• Шрейер О., Шпернер Г. Введение в линейную алгебру в геометрическом изложении = Einfuhrung in die analytische Geometrie und Algebra / Ольшанский Г. (перевод с немецкого). — М. — Л. : ОНТИ , 1934. — 210 с.