Ри́манова геоме́трия — это раздел дифференциальной геометрии , главным объектом изучения которого являются римановы многообразия , то есть гладкие многообразия с дополнительной структурой, римановой метрикой , иначе говоря — с выбором евклидовой метрики на каждом касательном пространстве , причём эта метрика гладко меняется от точки к точке. Иногда, особенно часто в математической физике, под римановой геометрией подразумевают также и псевдориманову геометрию многообразий с псевдоримановой метрикой , например, геометрию пространства-времени специальной и общей теории относительности .

Основным подразделом римановой геометрии в математике является геометрия в целом — раздел, который выявляет связь глобальных свойств риманова многообразия, таких как: топология, диаметр, объём — и его локальных свойств, к примеру, ограничений на кривизну .

История

Родоначальником римановой геометрии является немецкий математик Бернхард Риман , который изложил её основные понятия в 1854 году .

После опубликования работ Римана его идеи привлекли внимание ряда математиков, которые развивали дальше аналитический аппарат римановой геометрии и устанавливали в ней новые геометрические теоремы. Важным вкладом в развитие римановой геометрии было создание итальянскими геометрами Риччи-Курбастро и его учеником Леви-Чивита на рубеже XX века тензорного исчисления , которое оказалось наиболее подходящим аналитическим аппаратом. Решающее значение имело применение римановой геометрии в создании общей теории относительности . Это привело к бурному развитию римановой геометрии и её разнообразных обобщений. В настоящее время риманова геометрия вместе с её обобщениями представляет собой обширную область геометрии, которая продолжает успешно развиваться.

Основные теоремы

Основная теорема римановой геометрии утверждает, что на любом римановом многообразии имеется единственная связность без кручения , сохраняющая метрический тензор , так называемая связность Леви-Чивиты данной метрики.

Теорема Гаусса — Бонне утверждает, что интеграл от гауссовой кривизны на компактном 2-мерном римановом многообразии равен 2πχ(М), где χ(M) обозначает эйлерову характеристику многообразия. Эта теорема допускает также обобщение на компактное риманово многообразие четной размерности.

См. также

• Риманово многообразие
• Метрический тензор
• Кривизна
• Тензор кривизны
• Связность Леви-Чивиты
• Риманова информационная метрика

Литература

• Бураго Ю. Д., Залгаллер В. А. Введение в риманову геометрию. — Санкт-Петербург: Наука, 1994. — ISBN 5-02-024606-9 .
• Рашевский П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ. — М.: Наука, 1967.
• Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. Методы и приложения. — М.: Наука, 1979.
• Постников М. М. Риманова геометрия (Лекции по геометрии. семестр V) — М.: Факториал Пресс, 1998. 496 с.
• Громол Д., Клингенберг В., Мейер В. Риманова геометрия в целом. — М.: Мир, 1971