Теоре́ма Леви́ в теории вероятностей — результат, увязывающий поточечную сходимость характеристических функций случайных величин со сходимостью этих случайных величин по распределению .

Формулировка

Пусть ${\displaystyle \{X_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$ последовательность случайных величин, не обязательно определённых на одном вероятностном пространстве . Обозначим характеристическую функцию случайной величины ${\displaystyle X_{n}}$ , где ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ , символом ${\displaystyle \varphi _{n}(t)}$ . Тогда если ${\displaystyle X_{n}\to X}$ по распределению при ${\displaystyle n\to \infty }$ , и ${\displaystyle \varphi (t)}$ — характеристическая функция ${\displaystyle X}$ , то

${\displaystyle \varphi _{n}(t)\to \varphi (t)\quad \forall t\in \mathbb {R} }$ .

Обратно, если ${\displaystyle \varphi _{n}(t)\to \varphi (t)\;\forall t\in \mathbb {R} }$ , где ${\displaystyle \varphi \in C(0)}$ — функция действительного аргумента, непрерывная в нуле, то ${\displaystyle \varphi (t)}$ является характеристической функцией некоторой случайной величины ${\displaystyle X}$ , и

${\displaystyle X_{n}\to X}$ по распределению при ${\displaystyle n\to \infty }$ .

Замечание

Так как характеристическая функция любой случайной величины непрерывна в нуле, второе утверждение имеет следующее тривиальное следствие. Если ${\displaystyle \varphi _{n}(t)\to \varphi (t)\;\forall t\in \mathbb {R} }$ , где ${\displaystyle \varphi _{n}(t)}$ — характеристическая функция ${\displaystyle X_{n}}$ , и ${\displaystyle \varphi (t)}$ — характеристическая функция ${\displaystyle X}$ , то ${\displaystyle X_{n}\to X}$ по распределению при ${\displaystyle n\to \infty }$ . Использование этого факта при доказательстве сходимости по распределению иногда называют ме́тодом характеристи́ческих фу́нкций . Метод характеристических функций является стандартным способом доказательства классической Центральной предельной теоремы .

См. также

• Леви, Поль .
• Прямая и обратная предельная теорема .