Interested Article - Неподвижная точка

Отображение с тремя неподвижными точками

Неподвижная точка в математике — точка, которую заданное отображение переводит в неё же, иными словами, решение уравнения $f(x)=x$ $f(x)=x$ . Иногда такую точку называют инвариантной [по названию соответствующего у неё свойства].

К примеру, отображение $f(x)=x^{2}-3x+3$ $f(x)=x^2-3x+3$ имеет неподвижные точки $x=1$ $x=1$ и $x=3$ $x=3$ , поскольку $f(1)=1$ $f(1)=1$ и $f(3)=3$ $f(3)=3$ .

Неподвижные точки есть не у всякого отображения — скажем, отображение $f(x)=x+1$ $f(x)=x+1$ вещественной прямой в себя неподвижных точек не имеет.

Точки, возвращающиеся в себя после определённого числа итераций, то есть, решения уравнения

f(f(\dots f(x)\dots))=x

f(f(\dots f(x)\dots))=x

,

называются периодическими (в частности, неподвижные точки — это периодические точки периода $1$ $1$ ).

Притягивающие неподвижные точки

Шаги метода простой итерации $x_{n+1}=\cos(x_{n})$ $x_{n+1}=\cos(x_{n})$ с начальным значением $x_{1}=-1$ $x_1 = -1$ . Пределом является число Дотти .

Неподвижная точка $x=f(x)$ $x=f(x)$ отображения $f$ $f$ — притягивающая , если результат последовательного применения $f$ $f$ к любой точке $y$ $y$ , достаточно близкой к $x$ $x$ , будет стремиться к $x$ $x$ :

\underbrace {f(f(\dots f(y)\dots))} _{n}\rightarrow x,\quad n\rightarrow \infty

\underbrace {f(f(\dots f(y)\dots))} _{n}\rightarrow x,\quad n\rightarrow \infty

.

При этом обычно требуют, чтобы результат каждой итерации не покидал некоторой большей окрестности точки $x$ $x$ — то есть, чтобы точка $x$ $x$ была асимптотически устойчива .

В частности, достаточным условием, чтобы точка была притягивающей, является условие $|f'(x)|<1$ $|f'(x)|<1$ .

Метод Ньютона

Одним из применений идеи притягивающей неподвижной точки является метод Ньютона : решение уравнения оказывается притягивающей неподвижной точкой некоторого отображения, и потому может быть найдено как предел очень быстро сходящейся последовательности чисел, полученных его повторным применением.

Наиболее известным примером применения этого метода является нахождение квадратного корня из числа $a\geqslant 0$ $a\geqslant 0$ как предела итераций отображения

f(x)={\cfrac {x+{\frac {a}{x}}}{2}}

f(x)=\cfrac{x+\frac{a}{x}}{2}

.

См. также

Литература

Колмогоров А. Н. , Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа . — М.: Наука, 1976. — Гл. 2, п. 4.
Красносельский М. А. , Забрейко П. П. Геометрические методы нелинейного анализа. — М.: Наука, 1975. — Гл. 5.
Agarwal R. P., Meehan M., O’Regan D. Fixed Point Theory and Applications. — Cambridge University Press , 2001. — ISBN 0-521-80250-4 .
Borisovich Yu. G. , Gel’man B. D., Myshkis A. D. , Obukhovskii V. V. Multivalued mappings // Journal of Soviet Mathematics, 1984. — Vol. 24, Issue 6, pp 719—791.
Fitzpatrick P. M., Petryshyn W. V. Fixed point theorems for multivalued noncompact acyclic mappings // Pacific Journal of Mathematics , 54:2, 1974.
Шашкин Юрий Алексеевич, Неподвизжные Точки. — М.: Наука, 1989.