Множественный коэффициент корреляции - Характеризует тесноту линейной корреляционной связи между одной случайной величиной и некоторым множеством случайных величин. Более точно, если (ξ ₁ ,ξ ₂ ,...,ξ _k ) - случайный вектор из R ^k , тогда коэффициент множественной корреляции ${\displaystyle \rho _{\xi _{1}\bullet \xi _{2},\ldots ,\xi _{k}}}$ между ξ ₁ и ξ ₂ ,...,ξ _k численно равен коэффициенту парной линейной корреляции между величиной ξ ₁ и её наилучшей линейной аппроксимацией ${\displaystyle M(\xi _{1}|\xi _{2},\ldots ,\xi _{k})}$ по переменным ξ ₂ ...,ξ _k , которая представляет собой линейную регрессию ξ ₁ на ξ ₂ ,...,ξ _k .

Свойства

Множественный коэффициент корреляции обладает тем свойством, что при условии

${\displaystyle M\xi _{1}=M\xi _{2}=\ldots =M\xi _{k}=0}$ когда ${\displaystyle \xi _{1}^{*}=\beta _{2}\xi _{2}+\beta _{3}\xi _{3}+\cdots +\beta _{k}\xi _{k}}$ - это регрессия ξ ₁ на ξ ₂ ,...,ξ _k ,

среди всех линейных комбинаций переменных ξ ₂ ,...,ξ _k переменная ξ ₁ будет иметь максимальный коэффициент корреляции с ξ ₁ ^* , совпадающий с ${\displaystyle \rho _{\xi _{1}\bullet \xi _{2},\ldots ,\xi _{k}}}$ . В этом смысле множественный коэффициент корреляции является частным случаем . При k = 2 множественный коэффициент корреляции по абсолютной величине совпадает с коэффициентом парной линейной корреляции ρ ₁₂ между ξ ₁ и ξ ₂ .

Вычисление

Множественный коэффициент корреляции вычисляется с помощью корреляционной матрицы ${\displaystyle \mathbf {R} =\left\{\rho _{i,j}\right\},i,j=1,\ldots ,k}$ по формуле

${\displaystyle \rho _{\xi _{1}\bullet \xi _{2},\ldots ,\xi _{k}}^{2}=1-{\frac {\left\vert R\right\vert }{R_{11}}}}$ ,

где ${\displaystyle \left\vert R\right\vert }$ - это определитель корреляционной матрицы, а ${\displaystyle R_{11}}$ - это алгебраическое дополнение элемента ρ ₁₁ = 1 ; здесь ${\displaystyle 0\leqslant \rho _{\xi _{1}\bullet \xi _{2},\ldots ,\xi _{k}}\leqslant 1}$ . Если ${\displaystyle \rho _{\xi _{1}\bullet \xi _{2},\ldots ,\xi _{k}}=1}$ , тогда с вероятностью 1 значения ξ ₁ совпадают с линейной комбинацией ξ ₂ ,...,ξ _k , следовательно, совместное распределение ξ ₁ ,ξ ₂ ,...,ξ _k лежит на гиперплоскости в пространстве R ^k . С другой стороны, при ${\displaystyle \rho _{\xi _{1}\bullet \xi _{2},\ldots ,\xi _{k}}=0}$ все парные коэффициенты корреляции ρ ₁₂ = ρ ₁₃ = ... = ρ _1k = 0 равны нулю, следовательно, значения ξ ₁ не коррелируют с величинами ξ ₂ ,...,ξ _k . Верно и обратное утверждение. Множественный коэффициент корреляции можно также вычислить по формуле

${\displaystyle \rho _{\xi _{1}\bullet \xi _{2},\ldots ,\xi _{k}}^{2}=1-{\frac {\sigma _{\xi _{1}\bullet \xi _{2},\ldots ,\xi _{k}}^{2}}{\sigma _{1}^{2}}}}$ ,

где ${\displaystyle \sigma _{1}^{2}}$ - это дисперсия ξ ₁ , а ${\displaystyle \sigma _{\xi _{1}\bullet \xi _{2},\ldots ,\xi _{k}}^{2}=M(\xi _{1}-(\beta _{2}\xi _{2}+\beta _{3}\xi _{3}+\cdots +\beta _{k}\xi _{k}))^{2}}$ - дисперсия ξ ₁ относительно регрессии.

Выборочный множественный коэффициент корреляции

Выборочным аналогом множественного коэффициента корреляции служит величина ${\displaystyle r_{1\bullet 2,\ldots ,k}={\sqrt {1-{\frac {s_{1\bullet 2,\ldots ,k}^{2}}{s_{1}^{2}}}}}}$ , где ${\displaystyle s_{1\bullet 2,\ldots ,k}^{2}}$ и ${\displaystyle s_{1}^{2}}$ - это оценки для ${\displaystyle \sigma _{\xi _{1}\bullet \xi _{2},\ldots ,\xi _{k}}^{2}}$ и ${\displaystyle \sigma _{1}^{2}}$ , полученные по выборке объема n . Для проверки нуль-гипотезы об отсутствии взаимосвязи используется распределение статистики ${\displaystyle r_{1\bullet 2,\ldots ,k}}$ . При условии, что выборка взята из многомерного нормального распределения , величина ${\displaystyle r_{1\bullet 2,\ldots ,k}^{2}}$ будет обладать бета-распределением с параметрами ${\displaystyle {\frac {k-1}{2}},{\frac {n-k}{2}}}$ , если ${\displaystyle \rho _{\xi _{1}\bullet \xi _{2},\ldots ,\xi _{k}}=0}$ . Для случая ${\displaystyle \rho _{\xi _{1}\bullet \xi _{2},\ldots ,\xi _{k}}\neq 0}$ тип распределения ${\displaystyle r_{1\bullet 2,\ldots ,k}^{2}}$ известен, но практически не используется ввиду его громоздкости.

См. также

• Коэффициент детерминации

Литература

• Крамер Г. Математические методы статистики, пер. с англ., 2 изд., М., 1975;
• Кендалл М., Стьюард А. , Статистические выводы и связи, пер. с англ., М., 1973.