Икосаэдра́льное число́ — разновидность многогранных фигурных чисел , связанная с икосаэдром . Общая формула для ${\displaystyle n}$ -го по порядку икосаэдрального числа ${\displaystyle I_{n}}$ :

${\displaystyle I_{n}={\frac {n(5n^{2}-5n+2)}{2}}}$

Первые из икосаэдральных чисел (последовательность в OEIS ):

${\displaystyle 1,12,48,124,255,456,742,1128,1629,2260\dots }$

Рекуррентная формула :

${\displaystyle I_{n}=I_{n-1}+{\frac {15n^{2}-25n+12}{2}};\quad I_{1}=1}$

Производящая функция последовательности :

${\displaystyle {\frac {x(1+8x+6x^{2})}{(1-x)^{4}}}=\sum _{n=1}^{\infty }I_{n}x^{n};\quad |x|<1}$

Связь с тетраэдральными числами ${\displaystyle \mathbb {T} _{n}}$ :

${\displaystyle I_{n}=\mathbb {T} _{n}+8\mathbb {T} _{n-1}+6\mathbb {T} _{n-2}}$

Из общей формулы видно, что икосаэдральное число всегда составное (делится на ${\displaystyle n}$ ).

Примечания

Литература

• Деза Е., Деза М. Фигурные числа. — М. : МЦНМО, 2016. — 349 с. — ISBN 978-5-4439-2400-7 .