Interested Article - Простое число Фибоначчи — Вифериха

Нерешённые проблемы математики : Существуют ли простые числа Фибоначчи — Вифериха? Если да, конечно ли их количество?

Простое число Фибоначчи — Вифериха (также простое число Уолла — Суня — Суня , англ. Wall – Sun – Sun) — одно из предположительно существующих простых чисел определённого вида, связанных с числами Фибоначчи . По состоянию на 2023 год ни одного такого числа не найдено.

Определение

Простое $p>5$ $p>5$ называется простым числом Фибоначчи — Вифериха, если $p^{2}$ $p^{2}$ делит число Фибоначчи $F_{p-\left({\frac {p}{5}}\right)}$ $F_{p-\left({\frac {p}{5}}\right)}$ , где символ Лежандра $\left({\tfrac {p}{5}}\right)$ $\left({\tfrac {p}{5}}\right)$ определяется как:

\left({\frac {p}{5}}\right)={\begin{cases}1,&{\text{if}}\ p\equiv \pm 1{\pmod {5}}\\-1,&{\text{if}}\ p\equiv \pm 2{\pmod {5}}\end{cases}}

\left({\frac {p}{5}}\right)={\begin{cases}1,&{\text{if}}\ p\equiv \pm 1{\pmod {5}}\\-1,&{\text{if}}\ p\equiv \pm 2{\pmod {5}}\end{cases}}

Эквивалентное определение: простое $p$ $p$ называется простым числом Фибоначи — Вифериха, если $L_{p}\equiv 1{\pmod {p^{2}}}$ $L_{p}\equiv 1{\pmod {p^{2}}}$ , где $L_{p}$ $L_{p}$ — $p$ $p$ -ое число Люка . ^:42

Существование

Существует гипотеза, что простых чисел Фибоначчи — Вифериха бесконечно много , однако по состоянию на 2013 год ни одно такое простое число не обнаружено.

В 2007 году Ричард Макинтош ( Richard J. McIntosh ) и Эрик Рётгер ( Eric L. Roettger ) показали, что если они существуют, то должны быть больше 2⋅10 ¹⁴ , в 2010 году Франсуа Дорэ ( François G. Dorais ) и Доминик Клайв ( Dominic Klyve ) довели границу до 9,7⋅10 ¹⁴ . В декабре 2011 года был начат поиск в проекте PrimeGrid , в декабре 2012 года PrimeGrid дошёл до границы 1,5⋅10 ¹⁶ . По состоянию на апрель 2014 года PrimeGrid дошёл до границы 2.8⋅10 ¹⁶ и продолжает поиск .

История

Простые числа Уолла — Суня — Суня названы в честь ( Donald Dines Wall ) , Сунь Чжихуна ( Sūn Zhìhóng ) и ( Sūn Zhìwěi ), которые в 1992 году показали, что если первый случай великой теоремы Ферма неверен для некоторого простого $p,$ $p,$ то $p$ $p$ должно быть простым числом Фибоначи — Вифериха . Таким образом, до доказательства великой теоремы Ферма Эндрю Уайлсом , поиск простых Фибоначчи — Вифериха преследовал цель найти потенциальный контрпример .

Обобщения

Простое (число) трибоначчи — Вифериха ( англ. Tribonacci-Wieferich prime) — простое число , удовлетворяющее условию

h(p)=h(p^{2}),

h(p)=h(p^{2}),

где $h(m)$ $h(m)$ — наименьшее положительное целое, для которого выполняется условие

\left[T_{h},T_{h+1},T_{h+2}\right]\equiv \left[T_{0},T_{1},T_{2}\right]{\pmod {m}},

\left[T_{h},T_{h+1},T_{h+2}\right]\equiv \left[T_{0},T_{1},T_{2}\right]{\pmod {m}},

$T_{n}$ $T_{n}$ — число трибоначчи с номером n , определённое как

T_{n+3}=T_{n+2}+T_{n+1}+T_{n},

T_{n+3}=T_{n+2}+T_{n+1}+T_{n},

T_{0}=0,T_{1}=0,T_{2}=1.

T_{0}=0,T_{1}=0,T_{2}=1.

Простых трибоначчи — Вифериха, меньших 10 ¹¹ , не существует .

См. также

Примечания

Vladica, A. (неопр.) // Univ. Beograd Publ. Elektrotehn. Fak. Ser. Mat.. — 2006. — Т. 17 . — С. 38—44 . — doi : . 2 декабря 2013 года.
Klaška, Jiří (2007), , Acta Mathematica Universitatis Ostraviensis Т. 15 (1): 21–25 , < > от 18 июля 2011 на Wayback Machine
McIntosh, R. J.; Roettger, E. L. (англ.) // (англ.) (: journal. — 2007. — Vol. 76 , no. 260 . — P. 2087—2094 . — doi : . 12 ноября 2012 года.
Dorais, F. G.; Klyve, D. W. (англ.) : journal. — 2010. 6 августа 2011 года.
PrimeGrid от 14 марта 2013 на Wayback Machine
↑ от 26 сентября 2011 на Wayback Machine at PrimeGrid
Wall, D. D. (1960), , American Mathematical Monthly Т. 67 (6): 525–532 , DOI 10.2307/2309169
Sun, Zhi-Hong & Sun, Zhi-Wei (1992), , Т. 60 (4): 371–388 , < > от 30 сентября 2020 на Wayback Machine
↑ Klaška, Jiří. (неопр.) // Acta Mathematica Universitatis Ostraviensis. — 2008. — Т. 16 , № 1 . — С. 15—20 . 7 марта 2016 года.