Interested Article - Гипотеза Зейферта

Гипотеза Зейферта — Опровергнутая гипотеза о векторных полях на трёхмерной сфере.

Формулировка

Верно ли, что у любого векторного поля без особых точек на трёхмерной сфере найдётся периодическая траектория?

История

В своей работе 1950 года Герберт Зейферт доказал , что периодическими траекториями обладают $C^{1}$ $C^1$ -гладкие векторные поля , близкие к единичному касательному полю к расслоению Хопфа ; это утверждение получило название теоремы Зейферта . Там же он задал вопрос о том, у любого ли неособого поля на трёхмерной сфере (пусть даже далёкого от поля Хопфа) найдётся такая траектория. Долгое время считалось , что ответ на этот вопрос будет положительным (и эта формулировка получила имя «гипотезы Зейферта»), пока в 1974 году не был построен $C^{1}$ $C^1$ -гладкий контрпример (основанный на тех же идеях, что и пример Данжуа ).

В 1988 году улучшила пример Швейцера, добившись гладкости $C^{2+\delta }$ $C^{2+\delta }$ , однако её техника не позволяла достичь гладкости $C^{3}$ $C^{3}$ . Существование более гладких контрпримеров оставалось неизвестным до 1993 года, когда Кристина Куперберг , используя технику ловушек, не построила $C^{\infty }$ $C^{\infty }$ -гладкий контрпример ( пример Куперберг ) .

Примечания

H. Seifert, Closed integral curves in 3-space and isotopic two-dimensional deformations , Proc. Amer. Math. Soc. 1, (1950). 287--302.
↑ K. Kuperberg, от 5 июня 2011 на Wayback Machine . Notices Amer. Math. Soc. 46 (1999), no. 9, 1035--1040.
P. A. Schweitzer, Counterexamples to the Seifert conjecture and opening closed leaves of foliations , Ann. of Math. (2) 100 (1974), 386--400.
J. Harrison, $C^{2}$ $C^{2}$ counterexamples to the Seifert conjecture , Topology 27 (1988), no. 3, 249--278.
K. Kuperberg A smooth counterexample to the Seifert conjecture , Ann. of Math. (2) 140 (1994), no. 3, 723--732.

Внешние ссылки

Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .

Литература

V. Ginzburg and B. Gürel, (недоступная ссылка) , Ann. of Math. (2) 158 (2003), no. 3, 953--976
G. Kuperberg A volume-preserving counterexample to the Seifert conjecture , Comment. Math. Helv. 71 (1996), no. 1, 70--97.
G. Kuperberg and K. Kuperberg, , Ann. of Math. (2) 143 (1996), no. 3, 547--576.