Теорема Хеллингера — Тёплица — результат функционального анализа , устанавливающий ограниченность симметрического оператора в гильбертовом пространстве .

Формулировка

Пусть ${\displaystyle H}$ — гильбертово пространство . Если для линейного оператора ${\displaystyle A:\,H\to H}$ существует линейный оператор ${\displaystyle B:\,H\to H}$ , удовлетворяющий условию ${\displaystyle (Ax,y)=(x,By)\;\forall x,y\in H}$ , то оператор ${\displaystyle A}$ является ограниченным .

В частности, ограниченным является любой симметрический оператор, заданный на всем пространстве, то есть линейный оператор, удовлетворяющий условию ${\displaystyle (Ax,y)=(x,Ay)\;\forall x,y\in H}$ .

Замечания

Существенным условием теоремы является условие определённости оператора на всём гильбертовом пространстве .

Следствия

• Всякий симметрический оператор , определённый на всём гильбертовом пространстве , является самосопряжённым .
• Самосопряжённый неограниченный оператор не может быть определён на всём гильбертовом пространстве .