Степень отображения — гомотопический инвариант непрерывного отображения между компактными многообразиями равной размерности.

В простейшем случае, для отображения из окружности в окружность ${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {S} ^{1}\to \mathbb {S} ^{1}}$ степень отображения можно определить как число оборотов точки ${\displaystyle \varphi (x)}$ когда ${\displaystyle x}$ пробегает окружность.

Определения

Гомологическое

Пусть X и Y замкнутые связные ориентируемые многообразия равной размерности. Тогда степень непрерывного отображения ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ определяется как целое число ${\displaystyle \deg(f)}$ такое, что

${\displaystyle f_{*}([X])=\deg(f)[Y].}$

где ${\displaystyle f_{*}}$ обозначает индуцированный гомоморфизм между кольцами гомологий и ${\displaystyle [X]}$ обозначает фундаментальный класс многообразия ${\displaystyle X}$ .

Через подсчёт ориентаций

Рассмотрим гладкое отображение ${\displaystyle n}$ -мерных компактных связных ориентированных гладких многообразий ${\displaystyle \varphi :M_{1}^{n}\to M_{2}^{n}}$ .

Точка из ${\displaystyle M_{2}^{n}}$ называется регулярной , если у неё конечное число прообразов и в каждом из её прообразов отображение ${\displaystyle \varphi }$ не вырождено (то есть невырожден дифференциал отображения в каждом из прообразов). Согласно лемме Сарда , почти все точки ${\displaystyle M_{2}^{n}}$ являются регулярными значениями ${\displaystyle \varphi }$ .

Припишем каждому прообразу регулярной точки число ${\displaystyle +1}$ , если отображение ${\displaystyle \varphi }$ в этой точке сохраняет ориентацию и ${\displaystyle -1}$ в противном случае. Тогда сумма чисел всех прообразов регулярной точки называется степенью отображения .

Применив лемму Сарда можно доказать, что степень отображения не зависит от выбора регулярной точки. Следовательно, данное определение корректно.

Свойства

• Степень отображения не изменяется при гомотопии (непрерывном изменении) отображения и, таким образом, является гомотопическим инвариантом отображения.