Характеристический многочлен матрицы — многочлен , определяющий её собственные значения .

Определение

Для данной матрицы ${\displaystyle A}$ , ${\displaystyle \chi (\lambda)=\det(A-\lambda E)}$ , где ${\displaystyle E}$ — единичная матрица , является многочленом от ${\displaystyle \lambda }$ , который называется характеристическим многочленом матрицы ${\displaystyle A}$ (иногда также «вековым уравнением» ( англ. secular equation)).

Ценность характеристического многочлена в том, что собственные значения матрицы являются его корнями. Действительно, если уравнение ${\displaystyle Av=\lambda v}$ имеет ненулевое решение, то ${\displaystyle (A-\lambda E)v=0}$ , значит матрица ${\displaystyle A-\lambda E}$ вырождена и её определитель ${\displaystyle \det(A-\lambda E)=\chi (\lambda)}$ равен нулю.

Связанные определения

• Матрицу ${\displaystyle A-\lambda E}$ называют характеристической матрицей матрицы ${\displaystyle A}$ .
• Уравнение ${\displaystyle \chi (\lambda)=0}$ называют характеристическим уравнением матрицы ${\displaystyle A}$ .
• Характеристический многочлен графа — это характеристический многочлен его матрицы смежности .

Свойства

• Для матрицы ${\displaystyle n\times n}$ характеристический многочлен имеет степень ${\displaystyle n}$ .
• Все корни характеристического многочлена матрицы являются её собственными значениями .
• Теорема Гамильтона — Кэли : если ${\displaystyle \chi (\lambda)}$ — характеристический многочлен матрицы ${\displaystyle A}$ , то ${\displaystyle \chi (A)=0}$ .
• Характеристические многочлены подобных матриц совпадают: ${\displaystyle \chi _{ABA^{-1}}=\chi _{B}}$ .
• Характеристический многочлен обратной матрицы: ${\displaystyle \chi _{A^{-1}}(\lambda)={\frac {(-\lambda)^{n}}{\det A}}\chi _{A}(1/\lambda)}$ .

Доказательство:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\det A}\cdot \chi _{A^{-1}}(\lambda)&={\det A}\cdot \det(A^{-1}-\lambda E)=\det(A(A^{-1}-\lambda E))\\&=\det(E-\lambda A)=(-1)^{n}\det(\lambda A-E)\\&=(-\lambda)^{n}\det(A-(1/\lambda)E)=(-\lambda)^{n}\chi _{A}(1/\lambda)\end{aligned}}}$

• Если ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ — две матрицы ${\displaystyle n\times n}$ , то ${\displaystyle \chi _{AB}\,=\,\chi _{BA}}$ . В частности, отсюда вытекает, что след их произведения ${\displaystyle \mathrm {tr} \,(AB)=\mathrm {tr} \,(BA)}$ и ${\displaystyle \det(AB)=\det(BA)}$ .
• В более общем виде, если ${\displaystyle A}$ — матрица ${\displaystyle m\times n}$ , а ${\displaystyle B}$ — матрица ${\displaystyle n\times m}$ , причем ${\displaystyle m<n}$ , так, что ${\displaystyle AB}$ и ${\displaystyle BA}$ — квадратные матрицы размеров ${\displaystyle m}$ и ${\displaystyle n}$ соответственно, то:

${\displaystyle \chi _{BA}(\lambda)\,=\,\lambda ^{n-m}\,\chi _{AB}(\lambda)}$ .

Ссылки

• В. Ю. Киселёв, А. С. Пяртли, Т. Ф. Калугина. . — Ивановский государственный энергетический университет. от 23 декабря 2008 на Wayback Machine