Interested Article - Гипотеза Малера

Гипотеза Малера — гипотеза метрической теории классификации чисел о величине «меры трансцендентности» почти всех чисел. Была сформулирована К. Малером в 1932 г. Доказана В. Г. Спринджуком в 1965 г.

Формулировка

Рассмотрим приближения нуля значениями целочисленных полиномов $P(x)=a_{0}+a_{1}x+\ldots +a_{n}x^{n}$ $P(x)=a_{0}+a_{1}x+\ldots +a_{n}x^{n}$ при значениях аргумента $\omega$ $\omega$ , являющимися действительными или комплексными числами и при фиксированных $n=1,\;2,\;\ldots$ $n=1,\;2,\;\ldots$ . Назовем высотой полинома величину $h(P)=\max(|a_{0}|,\;|a_{1}|,\;\ldots ,\;|a_{n}|)$ $h(P)=\max(|a_{0}|,\;|a_{1}|,\;\ldots ,\;|a_{n}|)$ и предположим, что она возрастает. Обозначим $w_{n}(\omega ,H)=\min |P(\omega)|$ $w_{n}(\omega ,H)=\min |P(\omega)|$ . Здесь минимум берется по всем целочисленным полиномам $P$ $P$ степени не более $n$ $n$ , высоты не более $H$ $H$ и с условием $P(\omega)\neq 0$ $P(\omega)\neq 0$ . Обозначим $w_{n}(\omega)={\overline {\lim _{H\to \infty }}}{\dfrac {\ln {\dfrac {1}{w_{n}(\omega ,H)}}}{\ln H}}$ $w_{n}(\omega)={\overline {\lim _{H\to \infty }}}{\dfrac {\ln {\dfrac {1}{w_{n}(\omega ,H)}}}{\ln H}}$ $w(\omega)={\overline {\lim _{H\to \infty }}}{\frac {1}{n}}w_{n}(\omega)$ $w(\omega)={\overline {\lim _{H\to \infty }}}{\frac {1}{n}}w_{n}(\omega)$ . Пусть $\omega$ $\omega$ — трансцендентное число. Введем обозначения: $\Theta _{n}(\omega)={\frac {1}{n}}w_{n}(\omega)$ $\Theta _{n}(\omega)={\frac {1}{n}}w_{n}(\omega)$ — для вещественных чисел, $\eta _{n}(\omega)={\frac {1}{n}}w_{n}(\omega)$ $\eta _{n}(\omega)={\frac {1}{n}}w_{n}(\omega)$ — для комплексных чисел, $\Theta (\omega)=\sup _{(n)}\Theta _{n}(\omega)$ $\Theta (\omega)=\sup _{(n)}\Theta _{n}(\omega)$ , где $n=1,\;2,\;\ldots$ $n=1,\;2,\;\ldots$ , $\eta (\omega)=\sup _{(n)}\eta _{n}(\omega)$ $\eta (\omega)=\sup _{(n)}\eta _{n}(\omega)$ , где $n=2,\;3,\;\ldots$ $n=2,\;3,\;\ldots$ .

Гипотеза Малера утверждает, что $\Theta (\omega)=1$ $\Theta (\omega)=1$ , $\eta (\omega)={\frac {1}{2}}$ $\eta (\omega)={\frac {1}{2}}$ .

Доказательство

Доказательство есть в статье .

Примечания

Mahler K. Zur Approximation der Exponentialfunction und des Logarithmus // I, II J. reine und angew. Math. — 1932. — v. 166. — С. 118—136, 137—150.
Спринджук В. Г. Доказательство гипотезы К. Малера о мере множества комплексных S -чисел // УМН . — 1964. — Т. 19, № 2. — С. 191—194.
↑ Спринджук В. Г. Доказательство гипотезы Малера о мере множества S -чисел // Изв. АН СССР, сер. мат. — 1965. — Т. 29, № 2. — С. 379—436.— URL:
, с. 11.