Вихревое движение — движение жидкости или газа , при котором мгновенная угловая скорость вращения элементарных объёмов среды не равна нулю. Количественной мерой зави́хренности служит псевдовектор ${\displaystyle {\omega =\operatorname {rot} ~v}}$ , где ${\displaystyle \ v}$ — вектор скорости жидкости; ${\displaystyle \omega }$ называют псевдовектором вихря или просто завихренностью .

Движение называется безвихревым или потенциальным , если ${\displaystyle \omega =0}$ , в противном случае имеет место вихревое движение.

Векторное поле вихря удобно характеризовать некоторыми геометрическими образами. Вихревой линией называется линия, касательная к которой в каждой точке направлена по вектору вихря; совокупность вихревых линий, проходящих через замкнутую кривую, образует . Поток вектора вихря через любое сечение вихревой трубки одинаков. Он называется интенсивностью вихревой трубки и равен циркуляции скорости ${\displaystyle \Gamma =\int _{C}v\,dl}$ по произвольному контуру ${\displaystyle C}$ , однократно охватывающему вихревую трубку .

За редким исключением, движение жидкости или газа почти всегда бывает вихревым. Так, вихревым является ламинарное течение в круглой трубе, когда скорость распределяется по параболическому закону , течение в пограничном слое при плавном обтекании тела и в следе за плохо обтекаемым телом. Вихревой характер носит любое турбулентное течение . В этих условиях выделение класса «вихревое движение» оказывается осмысленным, благодаря тому, что при преобладании инерционных сил над вязкими (при очень больших числах Рейнольдса ) типична локализация завихренности в обособленных массах жидкости — вихрях или вихревых зонах.

Согласно классическим теоремам Гельмгольца , в предельном случае движения невязкой жидкости, плотность которой постоянна или зависит только от давления, в потенциальном силовом поле вихревые линии вморожены в среду, то есть в процессе движения они состоят из одних и тех же частиц жидкости — являются материальными линиями. Вихревые трубки при этом оказываются вмороженными в среду, а их интенсивность сохраняется в процессе движения. Сохраняется также циркуляция скорости по любому контуру, состоящему из одних и тех же частиц жидкости ( теорема Кельвина ). В частности, если при движении область, охватываемая данным контуром, сужается, то интенсивность вращательного движения внутри него возрастает. Это важный механизм концентрации завихренности, реализующийся при вытекании жидкости из отверстия в дне сосуда (ванны), при образовании водоворотов вблизи нисходящих потоков в реках и определяющий образование циклонов и тайфунов в зонах пониженного атмосферного давления в которые происходит подтекание ( конвергенция ) воздушных масс.

В жидкости, находящейся в состоянии покоя или потенциального движения, вихри возникают либо из-за нарушения баротропности , например образование кольцевых вихрей при подъёме нагретых масс воздуха — термиков , либо из-за взаимодействия с твердыми телами.

Если обтекание тела происходит при больших числах R e {\displaystyle Re} , завихренность порождается в узких зонах — в пограничном слое — проявлением вязких эффектов, а затем сносится в основной поток, где формируются отчетливо видимые вихри, некоторое время эволюционирующие и сохраняющие свою индивидуальность. Особенно эффектно это проявляется в образовании за плохообтекаемым телом регулярной вихревой дорожки Кармана. Вихреобразование в следе за плохообтекаемым телом определяет основную часть лобового сопротивления тела, а образование вихрей у концов крыльев летательных аппаратов вызывает дополнительное индуктивное сопротивление .

При анализе динамических вихрей и их взаимодействия с внешним безвихревым потоком часто используется модель сосредоточенных вихрей — вихревых нитей , представляющих собой вихревые трубки крошечной интенсивности, но бесконечно малого диаметра. Вблизи вихревой нити жидкость движется относительно неё по окружностям, причём скорость обратно пропорциональна расстоянию от нити, ${\displaystyle v={\frac {\Gamma }{2\pi r}}}$ . Если ось нити прямолинейна, это выражение верно для любых расстояний от нити (потенциальный вихрь). В сечении нормальной плоскости это течение соответствует точечному вихрю. Система точечных вихрей представляет собой консервативную динамическую систему с конечным числом степеней свободы, во многом аналогичную системе взаимодействующих частиц. Сколь угодно малое возмущение первоначально прямолинейных вихревых нитей приводит к их искривлению с бесконечными скоростями. Поэтому в расчетах их заменяют вихревыми трубками конечной завихренности. Узкая область завихренности, разделяющая две протяженные области безвихревого движения, моделируется пеленой — поверхностью, выстланной вихревыми нитями бесконечно малой интенсивности, так, что суммарная их интенсивность на единицу длины по нормали к ним вдоль поверхности постоянна. Вихревая поверхность представляет собой поверхность разрыва касательных компонент скорости. Она неустойчива к малым возмущениям.

В вязкой жидкости происходит выравнивание — диффузия локализированных завихренностей, причем роль коэффициента диффузии играет кинематическая вязкость жидкости ${\displaystyle \nu \ }$ . При этом эволюция завихренности определяется уравнением

${\displaystyle {\frac {\partial \omega }{\partial t}}=\operatorname {rot} (v\,\omega)+\nu \triangledown ^{2}\omega ,}$

или

${\displaystyle {\frac {d\omega }{dt}}=(\omega \nabla)v+\nu \triangledown ^{2}\omega ,}$

то есть быстрота изменения вектора ${\displaystyle \omega }$ определяется производной вектора ${\displaystyle v\ }$ по направлению ${\displaystyle \omega }$ .

При больших числах ${\displaystyle Re}$ движение турбулизируется , и диффузия завихренности определяется много большим коэффициентом эффективной турбулентной вязкости , не являющимся константой для жидкости и сложным образом зависящим от характера движения.

См. также

• Ламинарное течение
• Турбулентность
• Уравнение вихря
• Вихревой эффект

Примечания

Литература

• Кочин Н. Е., Кибель И. А., Розе Н. В. Теоретическая гидромеханика. 6 изд., ч.1. — М., 1963 г.;
• Седов Л. И. Механика сплошной среды, т.1-2, 4 изд. — М., 1983-84;
• Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Проблемы гидродинамики и их математические модели, 2 изд. — М., 1977;
• Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости, пер. с англ. — М., 1973