Кеплеровы элементы — шесть элементов орбиты , определяющих положение небесного тела в пространстве в задаче двух тел :

• большая полуось ( ${\displaystyle a}$ ),
• эксцентриситет ( ${\displaystyle e}$ ),
• наклонение ( ${\displaystyle i}$ ),
• долгота восходящего узла ( ${\displaystyle \Omega }$ ),
• аргумент перицентра ( ${\displaystyle \omega }$ ),
• средняя аномалия ( ${\displaystyle M_{o}}$ ).

Первые два определяют форму орбиты, третий, четвёртый и пятый — ориентацию плоскости орбиты по отношению к базовой плоскости, шестой — положение тела на орбите.

Большая полуось

В случае если орбита является эллипсом , его большая полуось ${\displaystyle a}$ положительна и равна половине длины большой оси эллипса, то есть половине длины линии апсид, соединяющей апоцентр и перицентр эллипса .

Определяется знаком и величиной полной энергии тела: ${\displaystyle a=-{\frac {GMm}{2E}}}$ . Связана с положением и скоростью тела соотношением ${\displaystyle {\frac {1}{a}}={\frac {2}{r_{0}}}-{\frac {v_{0}^{2}}{\mu }}}$ , где μ — гравитационный параметр , равный произведению гравитационной постоянной на массу небесного тела .

Эксцентриситет

Эксцентрисите́т (обозначается « ${\displaystyle e}$ » или «ε») — числовая характеристика конического сечения . Эксцентриситет инвариантен относительно движений плоскости и преобразований подобия . Эксцентриситет характеризует «сжатость» орбиты. Он выражается по формуле:

${\displaystyle \varepsilon ={\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}}$ , где ${\displaystyle b}$ — малая полуось (см. рис.2)

В зависимости от величины ${\displaystyle \varepsilon }$ орбита представляет собой :

• ${\displaystyle \varepsilon =0}$ — окружность
• ${\displaystyle 0<\varepsilon <1}$ — эллипс
• ${\displaystyle \varepsilon =1}$ — параболу
• ${\displaystyle 1<\varepsilon <\infty }$ — гиперболу , ${\displaystyle b}$ — мнимое число
• ${\displaystyle \varepsilon =\infty }$ — прямую (вырожденный случай)

Наклонение

Наклоне́ние < орбиты > ( накло́н < орбиты >, накло́нность < орбиты >) небесного тела — это угол между плоскостью его орбиты и плоскостью отсчёта (базовой плоскостью).

Обычно обозначается буквой i (от англ. inclination). Наклонение измеряется в угловых градусах, минутах и секундах .

Если ${\displaystyle 0^{\circ }<i<90^{\circ }}$ , то движение небесного тела называется прямым .

Если ${\displaystyle 90^{\circ }<i<180^{\circ }}$ , то движение небесного тела называется обратным (ретроградным) .

• В применении к Солнечной системе , за плоскость отсчёта обычно выбирают плоскость орбиты Земли ( плоскость эклиптики ). Плоскости орбит других планет Солнечной системы и Луны отклоняются от плоскости эклиптики лишь на несколько градусов.
• Для искусственных спутников Земли за плоскость отсчёта обычно выбирают плоскость экватора Земли.
• Для спутников других планет Солнечной системы за плоскость отсчёта обычно выбирают плоскость экватора соответствующей планеты.
• Для экзопланет и двойных звёзд за плоскость отсчёта принимают картинную плоскость .

Зная наклонение двух орбит к одной плоскости отсчёта и долготы их восходящих узлов, можно вычислить угол между плоскостями этих двух орбит — их взаимное наклонение , по формуле косинуса угла .

Долгота восходящего узла

Долгота́ восходя́щего узла́ — один из основных элементов орбиты , используемый для математического описания ориентации плоскости орбиты относительно базовой плоскости. Определяет угол в базовой плоскости, образуемый между базовым направлением на нулевую точку и направлением на точку восходящего узла орбиты, в которой орбита пересекает базовую плоскость в направлении с юга на север . Для определения восходящего и нисходящего узла выбирают некоторую (так называемую базовую) плоскость , содержащую притягивающий центр. В качестве базовой обычно используют плоскость эклиптики (движение планет , комет , астероидов вокруг Солнца ), плоскость экватора планеты (движение спутников вокруг планеты) и т. д. Нулевая точка — Первая точка Овна ( точка весеннего равноденствия ). Угол измеряется от направления на нулевую точку против часовой стрелки.

Восходящий узел обозначается ☊ или Ω.

Формула нахождения долготы восх. узла:

${\displaystyle \mathbf {n} =\mathbf {k} \times \mathbf {h} =(-h_{y},h_{x},0)}$

${\displaystyle \Omega =\arccos {{n_{x}} \over {\mathbf {\left|n\right|} }}\ \ (n_{y}\geq 0);}$

${\displaystyle \Omega =2\pi -\arccos {{n_{x}} \over {\mathbf {\left|n\right|} }}\ \ (n_{y}<0).}$

Здесь n — вектор, определяющий восходящий узел.

У орбит с наклоном, равным нулю Ω не определяется (она, как и наклон, равна нулю).

Аргумент перицентра

Аргуме́нт перице́нтра — определяется как угол между направлениями из притягивающего центра на восходящий узел орбиты и на перицентр (ближайшую к притягивающему центру точку орбиты небесного тела), или угол между линией узлов и линией апсид . Отсчитывается из притягивающего центра в направлении движения небесного тела, обычно выбирается в пределах 0 ° -360°.

При исследовании экзопланет и двойных звёзд в качестве базовой используют картинную плоскость — плоскость, проходящую через звезду и перпендикулярную лучу наблюдения звезды с Земли . Орбита экзопланеты, в общем случае случайным образом ориентированная относительно наблюдателя, пересекает эту плоскость в двух точках. Точка, где планета пересекает картинную плоскость , приближаясь к наблюдателю, считается восходящим узлом орбиты, а точка, где планета пересекает картинную плоскость, удаляясь от наблюдателя, считается нисходящим узлом. В этом случае аргумент перицентра отсчитывается из притягивающего центра против часовой стрелки .

Обозначается ( ${\displaystyle \omega }$ ).

Вместо аргумента перицентра часто используется другой угол — долгота перицентра, обозначаемый как ${\displaystyle {\bar {\omega }}}$ . Он определяется как сумма долготы восходящего узла и аргумента перицентра. Это несколько необычный угол, так как он измеряется частично вдоль эклиптики, а частично — вдоль орбитальной плоскости. Однако часто он более практичен, чем аргумент перицентра, так как хорошо определен даже когда наклонение орбиты близко к нулю, когда направление на восходящий узел становится неопределенным .

Средняя аномалия

Средняя аномалия для тела, движущегося по орбите — произведение его среднего движения и интервала времени после прохождения перицентра . Таким образом, средняя аномалия есть угловое расстояние от перицентра гипотетического тела, движущегося с постоянной угловой скоростью, равной среднему движению.

Обозначается буквой ${\displaystyle M}$ (от англ. mean anomaly)

В звёздной динамике средняя аномалия ${\displaystyle M}$ вычисляется по следующим формулам:

${\displaystyle M=M_{0}+n(t-t_{0})}$

где:

• ${\displaystyle M_{0}}$ — средняя аномалия на эпоху ${\displaystyle t_{0}}$ ,
• ${\displaystyle t_{0}}$ — начальная эпоха,
• ${\displaystyle t}$ — эпоха, на которую производятся вычисления, и
• ${\displaystyle n}$ — среднее движение .

Либо через уравнение Кеплера :

${\displaystyle M=E-e\cdot \sin E}$

где:

• ${\displaystyle E}$ — эксцентрическая аномалия ( ${\displaystyle E}$ на рис.3),
• ${\displaystyle e}$ — эксцентриситет .

Примечания

Ссылки

• Gurfil, Pini (2005). "Euler parameters as nonsingular orbital elements in Near-Equatorial Orbits". J. Guid. Contrl. Dynamics . 28 (5): 1079—1084. Bibcode : . doi : .
• (неопр.) . . Архивировано из 14 октября 2002 года.
• (неопр.) . marine.rutgers.edu . Дата обращения: 30 июля 2019. Архивировано из 19 апреля 2021 года.