Interested Article - Кеплеровы элементы орбиты

Кеплеровы элементы орбиты (рис.1)

Кеплеровы элементы — шесть элементов орбиты , определяющих положение небесного тела в пространстве в задаче двух тел :

  • большая полуось ( a {\displaystyle a} ),
  • эксцентриситет ( e {\displaystyle e} ),
  • наклонение ( i {\displaystyle i} ),
  • долгота восходящего узла ( Ω {\displaystyle \Omega } ),
  • аргумент перицентра ( ω {\displaystyle \omega } ),
  • средняя аномалия ( M o {\displaystyle M_{o}} ).

Первые два определяют форму орбиты, третий, четвёртый и пятый — ориентацию плоскости орбиты по отношению к базовой плоскости, шестой — положение тела на орбите.

Большая полуось

В случае если орбита является эллипсом , его большая полуось a {\displaystyle a} положительна и равна половине длины большой оси эллипса, то есть половине длины линии апсид, соединяющей апоцентр и перицентр эллипса .

Определяется знаком и величиной полной энергии тела: a = G M m 2 E {\displaystyle a=-{\frac {GMm}{2E}}} . Связана с положением и скоростью тела соотношением 1 a = 2 r 0 v 0 2 μ {\displaystyle {\frac {1}{a}}={\frac {2}{r_{0}}}-{\frac {v_{0}^{2}}{\mu }}} , где μ гравитационный параметр , равный произведению гравитационной постоянной на массу небесного тела .

Эксцентриситет

Части эллипса (рис.2)

Эксцентрисите́т (обозначается « e {\displaystyle e} » или «ε») — числовая характеристика конического сечения . Эксцентриситет инвариантен относительно движений плоскости и преобразований подобия . Эксцентриситет характеризует «сжатость» орбиты. Он выражается по формуле:

ε = 1 b 2 a 2 {\displaystyle \varepsilon ={\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}} , где b {\displaystyle b} — малая полуось (см. рис.2)

В зависимости от величины ε {\displaystyle \varepsilon } орбита представляет собой :

Наклонение

A {\displaystyle A} – объект
B {\displaystyle B} – центральный объект
C {\displaystyle C} – плоскость отсчёта
D {\displaystyle D} – плоскость орбиты
i {\displaystyle i} наклонение

Наклоне́ние < орбиты > ( накло́н < орбиты >, накло́нность < орбиты >) небесного тела — это угол между плоскостью его орбиты и плоскостью отсчёта (базовой плоскостью).

Обычно обозначается буквой i (от англ. inclination). Наклонение измеряется в угловых градусах, минутах и секундах .

Если 0 < i < 90 {\displaystyle 0^{\circ }<i<90^{\circ }} , то движение небесного тела называется прямым .
Если 90 < i < 180 {\displaystyle 90^{\circ }<i<180^{\circ }} , то движение небесного тела называется обратным (ретроградным) .

Зная наклонение двух орбит к одной плоскости отсчёта и долготы их восходящих узлов, можно вычислить угол между плоскостями этих двух орбит — их взаимное наклонение , по формуле косинуса угла .

Долгота восходящего узла

Долгота́ восходя́щего узла́ — один из основных элементов орбиты , используемый для математического описания ориентации плоскости орбиты относительно базовой плоскости. Определяет угол в базовой плоскости, образуемый между базовым направлением на нулевую точку и направлением на точку восходящего узла орбиты, в которой орбита пересекает базовую плоскость в направлении с юга на север . Для определения восходящего и нисходящего узла выбирают некоторую (так называемую базовую) плоскость , содержащую притягивающий центр. В качестве базовой обычно используют плоскость эклиптики (движение планет , комет , астероидов вокруг Солнца ), плоскость экватора планеты (движение спутников вокруг планеты) и т. д. Нулевая точка — Первая точка Овна ( точка весеннего равноденствия ). Угол измеряется от направления на нулевую точку против часовой стрелки.

Восходящий узел обозначается ☊ или Ω.

Формула нахождения долготы восх. узла:

n = k × h = ( h y , h x , 0 ) {\displaystyle \mathbf {n} =\mathbf {k} \times \mathbf {h} =(-h_{y},h_{x},0)}
Ω = arccos n x | n | ( n y 0 ) ; {\displaystyle \Omega =\arccos {{n_{x}} \over {\mathbf {\left|n\right|} }}\ \ (n_{y}\geq 0);}
Ω = 2 π arccos n x | n | ( n y < 0 ) . {\displaystyle \Omega =2\pi -\arccos {{n_{x}} \over {\mathbf {\left|n\right|} }}\ \ (n_{y}<0).}

Здесь n — вектор, определяющий восходящий узел.

У орбит с наклоном, равным нулю Ω не определяется (она, как и наклон, равна нулю).

Аргумент перицентра

Аргуме́нт перице́нтра — определяется как угол между направлениями из притягивающего центра на восходящий узел орбиты и на перицентр (ближайшую к притягивающему центру точку орбиты небесного тела), или угол между линией узлов и линией апсид . Отсчитывается из притягивающего центра в направлении движения небесного тела, обычно выбирается в пределах 0 ° -360°.

При исследовании экзопланет и двойных звёзд в качестве базовой используют картинную плоскость — плоскость, проходящую через звезду и перпендикулярную лучу наблюдения звезды с Земли . Орбита экзопланеты, в общем случае случайным образом ориентированная относительно наблюдателя, пересекает эту плоскость в двух точках. Точка, где планета пересекает картинную плоскость , приближаясь к наблюдателю, считается восходящим узлом орбиты, а точка, где планета пересекает картинную плоскость, удаляясь от наблюдателя, считается нисходящим узлом. В этом случае аргумент перицентра отсчитывается из притягивающего центра против часовой стрелки .

Обозначается ( ω {\displaystyle \omega } ).

Вместо аргумента перицентра часто используется другой угол — долгота перицентра, обозначаемый как ω ¯ {\displaystyle {\bar {\omega }}} . Он определяется как сумма долготы восходящего узла и аргумента перицентра. Это несколько необычный угол, так как он измеряется частично вдоль эклиптики, а частично — вдоль орбитальной плоскости. Однако часто он более практичен, чем аргумент перицентра, так как хорошо определен даже когда наклонение орбиты близко к нулю, когда направление на восходящий узел становится неопределенным .

Средняя аномалия

Анимация, иллюстрирующая истинную аномалию, эксцентрическую аномалию, среднюю аномалию и решение уравнения Кеплера.
Аномалии (рис.3)

Средняя аномалия для тела, движущегося по орбите — произведение его среднего движения и интервала времени после прохождения перицентра . Таким образом, средняя аномалия есть угловое расстояние от перицентра гипотетического тела, движущегося с постоянной угловой скоростью, равной среднему движению.

Обозначается буквой M {\displaystyle M} (от англ. mean anomaly)

В звёздной динамике средняя аномалия M {\displaystyle M} вычисляется по следующим формулам:

M = M 0 + n ( t t 0 ) {\displaystyle M=M_{0}+n(t-t_{0})}

где:

  • M 0 {\displaystyle M_{0}} — средняя аномалия на эпоху t 0 {\displaystyle t_{0}} ,
  • t 0 {\displaystyle t_{0}} — начальная эпоха,
  • t {\displaystyle t} — эпоха, на которую производятся вычисления, и
  • n {\displaystyle n} среднее движение .

Либо через уравнение Кеплера :

M = E e sin E {\displaystyle M=E-e\cdot \sin E}

где:

Примечания

  1. Ишмухаметова М. Г., Кондратьева Е. Д. : Учебно-методическое пособие для практических занятий по дисциплине «Небесная механика» : [ 7 июня 2020 ]. — Казань : Физический факультет Казанского государственного университета, 2009. — 37 с.
  2. С. А. Мирер. (неопр.) (2013). Дата обращения: 7 июня 2020. 23 ноября 2018 года.
  3. Е. И. Бутиков. : Учебное пособие : [ 31 января 2016 ]. — Санкт-Петербург : Санкт-Петербургский государственный университет, 2006. — 61 с.
  4. А. В. Акопян, А. А. Заславский от 8 июля 2020 на Wayback Machine — М.: МЦНМО , 2007. — 136 с.
  5. (англ.) . The Radio Amateur Satellite Corporation. Дата обращения: 7 июня 2020. Архивировано из 14 октября 2002 года.
  6. То есть объект движется вокруг Солнца в том же направлении, что и Земля
  7. Hannu Karttunen, Pekka Kröger, Heikki Oja, Markku Poutanen, Karl Johan Donner. 6. Celestial Mechanics // . — 5-е изд. — Springer Science & Business Media, 2007. — С. 117—118.

Ссылки

  • Gurfil, Pini (2005). "Euler parameters as nonsingular orbital elements in Near-Equatorial Orbits". J. Guid. Contrl. Dynamics . 28 (5): 1079—1084. Bibcode : . doi : .
  • (неопр.) . . Архивировано из 14 октября 2002 года.
  • (неопр.) . marine.rutgers.edu . Дата обращения: 30 июля 2019. Архивировано из 19 апреля 2021 года.

Same as Кеплеровы элементы орбиты