Interested Article - Электрическая ёмкость

Электри́ческая ёмкость — характеристика проводника , мера его способности аккумулировать электрический заряд . В теории электрических цепей ёмкостью называют взаимную ёмкость между двумя проводниками; параметр ёмкостного элемента электрической схемы ( конденсатора ), представленного в виде двухполюсника.

В Международной системе единиц (СИ) ёмкость измеряется в фарадах , общепринятое обозначение ёмкости: $C$ $C$ .

Ёмкость рассчитывается как отношение величины электрического заряда к разности потенциалов между проводником и бесконечностью или между проводниками

C={\frac {Q}{\varphi -\varphi _{ref}}}

C={\frac {Q}{\varphi -\varphi _{ref}}}

,

где $Q$ $Q$ — заряд , $\varphi$ $\varphi$ — потенциал проводника, $\varphi _{ref}$ $\varphi _{ref}$ — потенциал другого проводника или потенциал на бесконечности (как правило, принимаемый за нуль).

Ёмкость зависит от геометрии и формы проводников и электрических свойств окружающей среды (её диэлектрической проницаемости ).

Определение. Некоторые формулы

Для одиночного проводника ёмкость равна отношению заряда проводника к его потенциалу в предположении, что все другие проводники бесконечно удалены и что потенциал бесконечно удалённой точки принят равным нулю. В математической форме данное определение имеет вид

C={\frac {Q}{\varphi }}

C={\frac {Q}{\varphi }}

,

где $Q$ $Q$ — заряд , $\varphi$ $\varphi$ — потенциал проводника. К примеру, ёмкость проводящего шара (или сферы) радиуса $R$ $R$ равна (в системе СИ):

C=4\pi \varepsilon _{0}\varepsilon _{r}R,

C=4\pi \varepsilon _{0}\varepsilon _{r}R,

где $\varepsilon _{0}$ $\varepsilon _{0}$ — электрическая постоянная (8,854⋅10 ⁻¹² Ф / м ), $\varepsilon _{r}$ $\varepsilon _{r}$ — относительная диэлектрическая проницаемость .

Вывод формулы

Известно, что $\varphi _{1}-\varphi _{2}=\int _{1}^{2}E\,dl\Rightarrow \varphi =\int _{R}^{\mathcal {\infty }}E\,dl={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{r}\varepsilon _{0}}}\int _{R}^{\mathcal {\infty }}{\frac {q}{r^{2}}}\,dr={\frac {1}{4\pi \varepsilon \varepsilon _{0}}}{\frac {q}{R}}.$ $\varphi _{1}-\varphi _{2}=\int _{1}^{2}E\,dl\Rightarrow \varphi =\int _{R}^{\mathcal {\infty }}E\,dl={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{r}\varepsilon _{0}}}\int _{R}^{\mathcal {\infty }}{\frac {q}{r^{2}}}\,dr={\frac {1}{4\pi \varepsilon \varepsilon _{0}}}{\frac {q}{R}}.$

Так как $C={\frac {q}{\varphi }}$ $C={\frac {q}{\varphi }}$ , то подставив сюда найденный $\varphi$ $\varphi$ , получим, что $C=4\pi \varepsilon _{0}\varepsilon _{r}R$ $C=4\pi \varepsilon _{0}\varepsilon _{r}R$ .

Для системы из двух проводников, разделённых диэлектриком или вакуумом и обладающих равными по числу, но противоположными по знаку зарядами $\pm Q$ $\pm Q$ , ёмкость (взаимная ёмкость) определяется как отношение величины заряда к разности потенциалов проводников. Если принять потенциал одного из проводников за нуль, формула $C=Q/\varphi$ $C=Q/\varphi$ останется в силе и для этого случая.

Дискретный элемент электрической цепи на базе вышеописанной системы, обладающий значительной ёмкостью, называется конденсатором . Два проводника при этом именуются обкладками. Для плоского конденсатора ёмкость равна:

C=\varepsilon _{0}\varepsilon _{r}{\frac {S}{d}}

C=\varepsilon _{0}\varepsilon _{r}{\frac {S}{d}}

,

где $S$ $S$ — площадь обкладки (подразумевается, что обкладки одинаковы), $d$ $d$ — расстояние между обкладками.

Электрическая энергия, запасённая конденсатором, составляет

W={\frac {CU^{2}}{2}}

W={\frac {CU^{2}}{2}}

,

где $U$ $U$ — напряжение между обкладками.

Обозначение и единицы измерения

Ёмкость принято обозначать большой латинской буквой $C$ $C$ (от лат. capacitas — ёмкость, вместимость).

В системе единиц СИ ёмкость выражается в фарадах , сокращённо «Ф». Проводник обладает ёмкостью в один фарад, если при величине потенциала его поверхности один вольт этот проводник несёт заряд в один кулон . Один фарад — очень большая ёмкость, реальные проводники обладают ёмкостью порядка нано- или микрофарад. «Фарад» назван в честь английского физика М. Фарадея .

Единицей измерения ёмкости в системе СГС является сантиметр. Соотношение: 1 см ёмкости ≈ 1,1126 пФ; 1 Ф = 8,988×10 ¹¹ см ёмкости.

Свойства ёмкости

Ёмкость всегда положительна , за исключением случаев некоторых структур с сегнетоэлектриками .
Ёмкость зависит только от геометрических размеров проводника и диэлектрических свойств среды (для конденсатора — заполняющего его материала изолятора).
Ёмкость опосредованно зависит от температуры и частоты сигнала (через зависимость проницаемости среды $\varepsilon _{r}$ $\varepsilon _{r}$ от соответствующих величин).
В случае среды с постоянными значениями $\varepsilon _{r}$ $\varepsilon _{r}$ ёмкость является константой, но в случае нелинейной среды, когда $\varepsilon _{r}$ $\varepsilon _{r}$ зависит от напряжённости электрического поля , ёмкость будет изменяться с напряжением.
Применительно к цепи синусоидального тока с частотой $\omega$ $\omega$ , элементу «ёмкость» может быть приписано реактивное сопротивление $X_{C}=\omega ^{-1}C^{-1}$ $X_{C}=\omega ^{-1}C^{-1}$ .
Напряжение на ёмкости не может изменяться скачком .

Дифференциальная ёмкость

Дифференциальной (малосигнальной) ёмкостью называется производная от заряда проводника по потенциалу

C_{diff}={\frac {dQ}{d\varphi }}\approx {\frac {\Delta Q}{\Delta \varphi }}

C_{diff}={\frac {dQ}{d\varphi }}\approx {\frac {\Delta Q}{\Delta \varphi }}

,

которая определяется для выбранных условий $\varphi =\varphi _{0}$ $\varphi =\varphi _{0}$ . Эта величина характеризует реакцию проводника на малое изменение потенциала. Если зависимость заряда от потенциала линейна, то $C_{diff}=C$ $C_{diff}=C$ , но на практике встречаются и более сложные случаи.

Широкое распространение получили измерения так называемых вольт-фарадных характеристик структур металл-диэлектрик-полупроводник — зависимостей $C_{diff}(\varphi)$ $C_{diff}(\varphi)$ при разных частотах $\omega$ $\omega$ изменения потенциала со временем $t$ $t$ по закону $\varphi =\varphi _{0}+\Delta \varphi \,\sin(\omega t)$ $\varphi =\varphi _{0}+\Delta \varphi \,\sin(\omega t)$ . Такие измерения дают ценную информацию о качестве диэлектрика.

Электрическая ёмкость некоторых систем

Вычисление электрической ёмкости системы требует решение Уравнения Лапласа ∇ ² φ = 0 с постоянным потенциалом φ на поверхности проводников . Это тривиально в случаях с высокой симметрией. Нет никакого решения в терминах элементарных функций в более сложных случаях.

В квазидвумерных случаях аналитические функции отображают одну ситуацию на другую, электрическая ёмкость не изменяется при таких отображениях. См. также Отображение Шварца — Кристоффеля .

Электрическая ёмкость простых систем (СГС)
Вид	Ёмкость	Комментарий
Плоский конденсатор	${\frac {\varepsilon S}{4\pi d}}$ ${\frac {\varepsilon S}{4\pi d}}$	S : Площадь d : Расстояние
Два коаксиальных цилиндра	${\frac {\varepsilon l}{\log \left(R_{2}/R_{1}\right)}}$ ${\frac {\varepsilon l}{\log \left(R_{2}/R_{1}\right)}}$	l : Длина R ₁ : Радиус R $_{2}$ $_2$ : Радиус
Две параллельные проволоки	${\frac {\varepsilon l}{4\operatorname {arcosh} \left({\frac {d}{2a}}\right)}}={\frac {\varepsilon l}{2\log \left({\frac {d}{2a}}+{\sqrt {{\frac {d^{2}}{4a^{2}}}-1}}\right)}}$ ${\frac {\varepsilon l}{4\operatorname {arcosh} \left({\frac {d}{2a}}\right)}}={\frac {\varepsilon l}{2\log \left({\frac {d}{2a}}+{\sqrt {{\frac {d^{2}}{4a^{2}}}-1}}\right)}}$	a : Радиус d : Расстояние, d > 2a
Проволока параллельна стене	${\frac {\varepsilon l}{2\operatorname {arcosh} \left({\frac {d}{a}}\right)}}={\frac {\varepsilon l}{4\log \left({\frac {d}{a}}+{\sqrt {{\frac {d^{2}}{a^{2}}}-1}}\right)}}$ ${\frac {\varepsilon l}{2\operatorname {arcosh} \left({\frac {d}{a}}\right)}}={\frac {\varepsilon l}{4\log \left({\frac {d}{a}}+{\sqrt {{\frac {d^{2}}{a^{2}}}-1}}\right)}}$	a : Радиус d : Расстояние, d > a l : Длина
Две параллельные копланарные полосы	$\varepsilon l{\frac {K\left({\sqrt {1-k^{2}}}\right)}{4\pi K\left(k\right)}}$ $\varepsilon l{\frac {K\left({\sqrt {1-k^{2}}}\right)}{4\pi K\left(k\right)}}$	d : Расстояние w ₁ , w $_{2}$ $_2$ : Ширина полос k _m : d/(2w _m +d) k ² : k ₁ k ₂ K: Эллиптический интеграл l : Длина
Два концентрических шара	${\frac {\varepsilon }{{\frac {1}{R_{1}}}-{\frac {1}{R_{2}}}}}$ ${\frac {\varepsilon }{{\frac {1}{R_{1}}}-{\frac {1}{R_{2}}}}}$	R ₁ : Радиус R ₂ : Радиус
Два шара одинакового радиуса	${\frac {\varepsilon a}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sinh \left(\log \left(D+{\sqrt {D^{2}-1}}\right)\right)}{\sinh \left(n\log \left(D+{\sqrt {D^{2}-1}}\right)\right)}}$ ${\frac {\varepsilon a}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sinh \left(\log \left(D+{\sqrt {D^{2}-1}}\right)\right)}{\sinh \left(n\log \left(D+{\sqrt {D^{2}-1}}\right)\right)}}$ ${\frac {\varepsilon a}{2}}\left\{1+{\frac {1}{2D}}+{\frac {1}{4D^{2}}}+{\frac {1}{8D^{3}}}+{\frac {1}{8D^{4}}}+{\frac {3}{32D^{5}}}+O\left({\frac {1}{D^{6}}}\right)\right\}$ ${\frac {\varepsilon a}{2}}\left\{1+{\frac {1}{2D}}+{\frac {1}{4D^{2}}}+{\frac {1}{8D^{3}}}+{\frac {1}{8D^{4}}}+{\frac {3}{32D^{5}}}+O\left({\frac {1}{D^{6}}}\right)\right\}$ $={\frac {\varepsilon a}{2}}\left\{\log 2+\gamma -{\frac {1}{2}}\log \left({\frac {d}{a}}-2\right)+O\left({\frac {d}{a}}-2\right)\right\}$ $={\frac {\varepsilon a}{2}}\left\{\log 2+\gamma -{\frac {1}{2}}\log \left({\frac {d}{a}}-2\right)+O\left({\frac {d}{a}}-2\right)\right\}$	a : Радиус d : Расстояние, d > 2 a D = d /2 a γ : Постоянная Эйлера
Шар вблизи стены	$\varepsilon a\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sinh \left(\ln \left(2D+{\sqrt {D^{2}-1}}\right)\right)}{\sinh \left(n\ln \left(2D+{\sqrt {D^{2}-1}}\right)\right)}}$ $\varepsilon a\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sinh \left(\ln \left(2D+{\sqrt {D^{2}-1}}\right)\right)}{\sinh \left(n\ln \left(2D+{\sqrt {D^{2}-1}}\right)\right)}}$	a : Радиус d : Расстояние, d > a D = d/a
Шар	$\varepsilon a$ $\varepsilon a$	a : Радиус
Круглый диск	${\frac {2\varepsilon a}{\pi }}$ ${\frac {2\varepsilon a}{\pi }}$	a : Радиус
Тонкая прямая проволока, ограниченная длина	${\frac {\varepsilon l}{2\Lambda }}\left\{1+{\frac {1}{\Lambda }}\left(1-\ln 2\right)+{\frac {1}{\Lambda ^{2}}}\left[1+\left(1-\ln 2\right)^{2}-{\frac {\pi ^{2}}{12}}\right]+O\left({\frac {1}{\Lambda ^{3}}}\right)\right\}$ ${\frac {\varepsilon l}{2\Lambda }}\left\{1+{\frac {1}{\Lambda }}\left(1-\ln 2\right)+{\frac {1}{\Lambda ^{2}}}\left[1+\left(1-\ln 2\right)^{2}-{\frac {\pi ^{2}}{12}}\right]+O\left({\frac {1}{\Lambda ^{3}}}\right)\right\}$	a : Радиус проволоки l : Длина Λ : ln(l/a)

Эластанс

Величина обратная ёмкости называется эластанс (эластичность). Единицей эластичности является дараф (daraf), но он не определён в системе физических единиц измерений СИ .

См. также

Квантовая ёмкость

Примечания

Шакирзянов Н. // Физическая энциклопедия / Гл. ред. А. М. Прохоров . — М. : Советская энциклопедия , 1990. — Т. 2. — С. 28—29. — 704 с. — 100 000 экз. — ISBN 5-85270-061-4 .
Здесь имеется в виду настоящая ёмкость; в электронике можно создать искусственно элементы, зависимость $Q(\varphi)$ $Q(\varphi)$ в которых будет убывающей — такие элементы можно условно назвать (по их поведению в электрической цепи) элементами с отрицательной ёмкостью, однако они не имеют отношения к предмету данной статьи.
См., напр. в книге: О. И. Клюшников , А. В. Степанов . , РГППУ, Екатеринбург, 2010 — стр. 9.
↑ Jackson, J. D. (неопр.) . — Wiley, 1975. — С. .
Binns; Lawrenson. (англ.) . — (англ.) (, 1973. — ISBN 978-0-08-016638-4 .
↑ Maxwell, J. C. (неопр.) . — Dover, 1873. — С. ff. — ISBN 0-486-60637-6 .
Rawlins, A. D. Note on the Capacitance of Two Closely Separated Spheres (англ.) // (англ.) (: journal. — 1985. — Vol. 34 , no. 1 . — P. 119—120 . — doi : .
Jackson, J. D. (неопр.) . — Wiley, 1975. — С. , problem 3.3.
Maxwell, J. C. On the electrical capacity of a long narrow cylinder and of a disk of sensible thickness (англ.) // Proc. London Math. Soc. : journal. — 1878. — Vol. IX . — P. 94—101 . — doi : .
Vainshtein, L. A. Static boundary problems for a hollow cylinder of finite length. III Approximate formulas (англ.) // Zh. Tekh. Fiz. : journal. — 1962. — Vol. 32 . — P. 1165—1173 .
Jackson, J. D. Charge density on thin straight wire, revisited (неопр.) // Am. J. Phys. — 2000. — Т. 68 , № 9 . — С. 789—799 . — doi : . — Bibcode : .
, с. 509.

Литература

Боргман И. И. ,. // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб. , 1890—1907.
Савельев И.В. Глава X. Движение заряженных частиц. // Курс общей физики. — 3. — М. : Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. — Т. 2. — С. 87—88. — 496 с. — 220 000 экз.
Г. Крон. Тензорный анализ сетей. — Москва: Сов. радио, 1978. — 720 с.