Interested Article - Функция Дирихле

Графическое представление функции Дирихле: две параллельные и, казалось бы, сплошные линии. Синяя (или красная) линия представляет собой рациональные (или иррациональные) числа, плотно расположенные в вещественных числах

Функция Дирихле́ — функция , принимающая единицу на рациональных значениях и ноль — на иррациональных , стандартный пример всюду разрывной функции . Введена в 1829 году немецким математиком Дирихле .

Определение

Символически, функция Дирихле $D:\mathbb {R} \rightarrow \{0,1\}$ $D:\mathbb {R} \rightarrow \{0,1\}$ определяется следующим образом:

D(x)={\begin{cases}1,&x\in \mathbb {Q} ;\\0,&x\in \mathbb {R} \backslash \mathbb {Q} .\end{cases}}

D(x)={\begin{cases}1,&x\in \mathbb {Q} ;\\0,&x\in \mathbb {R} \backslash \mathbb {Q} .\end{cases}}

Свойства

Принадлежит второму классу Бэра , то есть её нельзя представить как (поточечный) предел последовательности непрерывных функций, но можно представить как повторный предел последовательности непрерывных функций :

D(x)=\lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }\cos ^{2n}(m!\pi x)

D(x)=\lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }\cos ^{2n}(m!\pi x)

.

Каждая точка в области определения является точкой разрыва второго рода (причём существенного).

Является периодической функцией , её периодом является любое рациональное число, не равное нулю; основного периода функция не имеет.

Не является интегрируемой в смысле Римана . Простая функция ; измерима по отношению к мере Лебега ; интеграл Лебега от функции Дирихле на любом числовом промежутке равен нулю, это следует из того, что мера Лебега множества рациональных чисел равна нулю.

Вариации и обобщения

Вариацией функции Дирихле является функция Римана , называемая также «функцией Тома» ( Thomae ).

Примечания

, с. 150.
, с. 115.
, с. 197.
, с. 162 Пример 7.5.
, с. 145.
, comment.
, с. 357.

Литература

Jose Ferreiros. Labyrinth of Thought: A History of Set Theory and Its Role in Modern Mathematics. — 2013. — 440 с.
Г.М. Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — 8-е изд.. — Физматлит, 2003. — Т. 1.
С.М. Никольский. Курс математического анализа. — Москва: «Наука», Главная редакция физико-математической литературы, 1983. — Т. 1.
(неопр.) . Encyclopedia of Mathematics .
В. Немыцкий, М. Слудская, А. Черкасов. Курс математического анализа. — Москва, Ленинград: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1940. — Т. 1.
William Dunham. The Calculus Gallery. — Princeton University Press, 2005. — ISBN 0-691-09565-5 .
У. Рудин. Основы математического анализа. — Москва: «Мир», 1976.
В. А. Зорич. Математический анализ. Часть 1. — 10-е изд., исправленное. — Москва: МЦНМО, 2019.