Interested Article - Кеплеровы элементы орбиты

Кеплеровы элементы — шесть элементов орбиты , определяющих положение небесного тела в пространстве в задаче двух тел :

большая полуось ( $a$ $a$ ),
эксцентриситет ( $e$ $e$ ),
наклонение ( $i$ $i$ ),
долгота восходящего узла ( $\Omega$ $\Omega$ ),
аргумент перицентра ( $\omega$ $\omega$ ),
средняя аномалия ( $M_{o}$ $M_{o}$ ).

Первые два определяют форму орбиты, третий, четвёртый и пятый — ориентацию плоскости орбиты по отношению к базовой плоскости, шестой — положение тела на орбите.

Большая полуось

В случае если орбита является эллипсом , его большая полуось $a$ $a$ положительна и равна половине длины большой оси эллипса, то есть половине длины линии апсид, соединяющей апоцентр и перицентр эллипса .

Определяется знаком и величиной полной энергии тела: $a=-{\frac {GMm}{2E}}$ $a=-{\frac {GMm}{2E}}$ . Связана с положением и скоростью тела соотношением ${\frac {1}{a}}={\frac {2}{r_{0}}}-{\frac {v_{0}^{2}}{\mu }}$ ${\frac {1}{a}}={\frac {2}{r_{0}}}-{\frac {v_{0}^{2}}\mu }$ , где μ — гравитационный параметр , равный произведению гравитационной постоянной на массу небесного тела .

Эксцентриситет

Эксцентрисите́т (обозначается « $e$ $e$ » или «ε») — числовая характеристика конического сечения . Эксцентриситет инвариантен относительно движений плоскости и преобразований подобия . Эксцентриситет характеризует «сжатость» орбиты. Он выражается по формуле:

\varepsilon ={\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}

\varepsilon ={\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}

, где

b

b

— малая полуось (см. рис.2)

В зависимости от величины $\varepsilon$ $\varepsilon$ орбита представляет собой :

$\varepsilon =0$ $\varepsilon = 0$ — окружность
$0<\varepsilon <1$ $0<\varepsilon <1$ — эллипс
$\varepsilon =1$ $\varepsilon = 1$ — параболу
$1<\varepsilon <\infty$ $1<\varepsilon <\infty$ — гиперболу , $b$ $b$ — мнимое число
$\varepsilon =\infty$ $\varepsilon =\infty$ — прямую (вырожденный случай)

Наклонение

Наклоне́ние < орбиты > ( накло́н < орбиты >, накло́нность < орбиты >) небесного тела — это угол между плоскостью его орбиты и плоскостью отсчёта (базовой плоскостью).

Обычно обозначается буквой i (от англ. inclination). Наклонение измеряется в угловых градусах, минутах и секундах .

Если

0^{\circ }<i<90^{\circ }

0^{\circ }<i<90^{\circ }

, то движение небесного тела называется прямым .

Если

90^{\circ }<i<180^{\circ }

90^{\circ }<i<180^{\circ }

, то движение небесного тела называется обратным (ретроградным) .

В применении к Солнечной системе , за плоскость отсчёта обычно выбирают плоскость орбиты Земли ( плоскость эклиптики ). Плоскости орбит других планет Солнечной системы и Луны отклоняются от плоскости эклиптики лишь на несколько градусов.
Для искусственных спутников Земли за плоскость отсчёта обычно выбирают плоскость экватора Земли.
Для спутников других планет Солнечной системы за плоскость отсчёта обычно выбирают плоскость экватора соответствующей планеты.
Для экзопланет и двойных звёзд за плоскость отсчёта принимают картинную плоскость .

Зная наклонение двух орбит к одной плоскости отсчёта и долготы их восходящих узлов, можно вычислить угол между плоскостями этих двух орбит — их взаимное наклонение , по формуле косинуса угла .

Долгота восходящего узла

Долгота́ восходя́щего узла́ — один из основных элементов орбиты , используемый для математического описания ориентации плоскости орбиты относительно базовой плоскости. Определяет угол в базовой плоскости, образуемый между базовым направлением на нулевую точку и направлением на точку восходящего узла орбиты, в которой орбита пересекает базовую плоскость в направлении с юга на север . Для определения восходящего и нисходящего узла выбирают некоторую (так называемую базовую) плоскость , содержащую притягивающий центр. В качестве базовой обычно используют плоскость эклиптики (движение планет , комет , астероидов вокруг Солнца ), плоскость экватора планеты (движение спутников вокруг планеты) и т. д. Нулевая точка — Первая точка Овна ( точка весеннего равноденствия ). Угол измеряется от направления на нулевую точку против часовой стрелки.

Восходящий узел обозначается ☊ или Ω.

Формула нахождения долготы восх. узла:

\mathbf {n} =\mathbf {k} \times \mathbf {h} =(-h_{y},h_{x},0)

\mathbf {n} =\mathbf {k} \times \mathbf {h} =(-h_{y},h_{x},0)

\Omega =\arccos {{n_{x}} \over {\mathbf {\left|n\right|} }}\ \ (n_{y}\geq 0);

\Omega =\arccos {{n_{x}} \over {\mathbf {\left|n\right|} }}\ \ (n_{y}\geq 0);

\Omega =2\pi -\arccos {{n_{x}} \over {\mathbf {\left|n\right|} }}\ \ (n_{y}<0).

\Omega =2\pi -\arccos {{n_{x}} \over {\mathbf {\left|n\right|} }}\ \ (n_{y}<0).

Здесь n — вектор, определяющий восходящий узел.

У орбит с наклоном, равным нулю Ω не определяется (она, как и наклон, равна нулю).

Аргумент перицентра

Аргуме́нт перице́нтра — определяется как угол между направлениями из притягивающего центра на восходящий узел орбиты и на перицентр (ближайшую к притягивающему центру точку орбиты небесного тела), или угол между линией узлов и линией апсид . Отсчитывается из притягивающего центра в направлении движения небесного тела, обычно выбирается в пределах 0 ° -360°.

При исследовании экзопланет и двойных звёзд в качестве базовой используют картинную плоскость — плоскость, проходящую через звезду и перпендикулярную лучу наблюдения звезды с Земли . Орбита экзопланеты, в общем случае случайным образом ориентированная относительно наблюдателя, пересекает эту плоскость в двух точках. Точка, где планета пересекает картинную плоскость , приближаясь к наблюдателю, считается восходящим узлом орбиты, а точка, где планета пересекает картинную плоскость, удаляясь от наблюдателя, считается нисходящим узлом. В этом случае аргумент перицентра отсчитывается из притягивающего центра против часовой стрелки .

Обозначается ( $\omega$ $\omega$ ).

Вместо аргумента перицентра часто используется другой угол — долгота перицентра, обозначаемый как ${\bar {\omega }}$ ${\bar {\omega }}$ . Он определяется как сумма долготы восходящего узла и аргумента перицентра. Это несколько необычный угол, так как он измеряется частично вдоль эклиптики, а частично — вдоль орбитальной плоскости. Однако часто он более практичен, чем аргумент перицентра, так как хорошо определен даже когда наклонение орбиты близко к нулю, когда направление на восходящий узел становится неопределенным .

Средняя аномалия

Анимация, иллюстрирующая истинную аномалию, эксцентрическую аномалию, среднюю аномалию и решение уравнения Кеплера.

Аномалии (рис.3)

Средняя аномалия для тела, движущегося по орбите — произведение его среднего движения и интервала времени после прохождения перицентра . Таким образом, средняя аномалия есть угловое расстояние от перицентра гипотетического тела, движущегося с постоянной угловой скоростью, равной среднему движению.

Обозначается буквой $M$ $M$ (от англ. mean anomaly)

В звёздной динамике средняя аномалия $M$ $M$ вычисляется по следующим формулам:

M=M_{0}+n(t-t_{0})

M=M_{0}+n(t-t_{0})

где:

$M_{0}$ $M_{0}$ — средняя аномалия на эпоху $t_{0}$ $t_0$ ,
$t_{0}$ $t_0$ — начальная эпоха,
$t$ $t$ — эпоха, на которую производятся вычисления, и
$n$ $n$ — среднее движение .

Либо через уравнение Кеплера :

M=E-e\cdot \sin E

M=E-e\cdot \sin E

где:

$E$ $E$ — эксцентрическая аномалия ( $E$ $E$ на рис.3),
$e$ $e$ — эксцентриситет .

Примечания

↑ Ишмухаметова М. Г., Кондратьева Е. Д. : Учебно-методическое пособие для практических занятий по дисциплине «Небесная механика» : [ 7 июня 2020 ]. — Казань : Физический факультет Казанского государственного университета, 2009. — 37 с.
↑ С. А. Мирер. (неопр.) (2013). Дата обращения: 7 июня 2020. 23 ноября 2018 года.
↑ Е. И. Бутиков. : Учебное пособие : [ 31 января 2016 ]. — Санкт-Петербург : Санкт-Петербургский государственный университет, 2006. — 61 с.
А. В. Акопян, А. А. Заславский от 8 июля 2020 на Wayback Machine — М.: МЦНМО , 2007. — 136 с.
(англ.) . The Radio Amateur Satellite Corporation. Дата обращения: 7 июня 2020. Архивировано из 14 октября 2002 года.
То есть объект движется вокруг Солнца в том же направлении, что и Земля
Hannu Karttunen, Pekka Kröger, Heikki Oja, Markku Poutanen, Karl Johan Donner. 6. Celestial Mechanics // . — 5-е изд. — Springer Science & Business Media, 2007. — С. 117—118.

Ссылки

Gurfil, Pini (2005). “Euler parameters as nonsingular orbital elements in Near-Equatorial Orbits”. J. Guid. Contrl. Dynamics . 28 (5): 1079—1084. Bibcode : . DOI : .
(неопр.) . . Архивировано из 14 октября 2002 года.
(неопр.) . marine.rutgers.edu . Дата обращения: 30 июля 2019. Архивировано из 19 апреля 2021 года.