Топология Гротендика — структура на категории , которая делает её объекты похожими на открытые множества топологического пространства . Категория вместе с топологией Гротендика называется ситусом или сайтом .

Топологии Гротендика аксиоматизируют определение открытого покрытия , благодаря чему становится возможным определение пучков на категории и их когомологий , что впервые осуществлено Александром Гротендиком для схем .

Существует естественный способ сопоставить топологическому пространству топологию Гротендика, в этом смысле она может быть рассмотрена как обобщение обычных топологий . При этом для большого класса топологических пространств возможно восстановить топологию по её топологии Гротендика, однако уже для антидискретного пространства это не так.

Определение

Мотивировка

Классическое определение пучка начинается с некоторого топологического пространства ${\displaystyle X}$ . Ему сопоставляется категория ${\displaystyle O(X)}$ , объекты которой — открытые множества топологии, а множество морфизмов между двумя объектами состоит из одного элемента, если первое множество вложено во второе (эти отображения называют открытыми вложениями), и пусто иначе. После этого предпучок определяется как контравариантный функтор в категорию множеств , а пучок — как предпучок, удовлетворяющий . Аксиома склейки формулируется в терминах поточечного покрытия, то есть ${\displaystyle \{U_{i}\}}$ покрывает ${\displaystyle U}$ тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \bigcup {_{i}}U_{i}=U}$ . Топологии Гротендика заменяют каждое ${\displaystyle U_{i}}$ целым семейством открытых множеств; более точно, ${\displaystyle U_{i}}$ заменяется семейством открытых вложений ${\displaystyle V_{ij}\to U_{i}}$ . Такое семейство называется решетом .

Решёта

Если ${\displaystyle c}$ — произвольный объект категории ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ , то решето на ${\displaystyle c}$ — это подфунктор функтора ${\displaystyle \mathrm {Hom} (-,c)}$ . В случае категории ${\displaystyle O(X)}$ , решето ${\displaystyle S}$ на открытом множестве ${\displaystyle U}$ — это некоторое семейство открытых подмножеств ${\displaystyle U}$ , замкнутое относительно операции взятия открытого подмножества. Произвольное открытое множество ${\displaystyle V}$ , тогда ${\displaystyle S(V)}$ — это подмножество ${\displaystyle \mathrm {Hom} (V,U)}$ , соответственно, оно пусто, если ${\displaystyle V}$ — не подмножество ${\displaystyle U}$ , и может состоять из одного элемента иначе; если оно непусто, можно считать, что ${\displaystyle V}$ выбрано решетом. Если ${\displaystyle W}$ — подмножество ${\displaystyle V}$ , существует морфизм ${\displaystyle S(V)\to S(W)}$ , поэтому если ${\displaystyle S(V)}$ не пусто, то и ${\displaystyle S(W)}$ не пусто.

Аксиомы

Топология Гротендика ${\displaystyle J}$ на категории ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ — это выбор для каждого объекта ${\displaystyle c}$ категории ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ набора решёт на ${\displaystyle c}$ , обозначаемого ${\displaystyle J(c)}$ . Элементы ${\displaystyle J(c)}$ называются покрывающими решётами на ${\displaystyle c}$ . В частности, решето ${\displaystyle S}$ на открытом множестве ${\displaystyle U}$ является покрывающим тогда и только тогда, когда объединение всех ${\displaystyle V}$ , таких что ${\displaystyle S(V)}$ непусто, есть всё ${\displaystyle U}$ . Этот выбор должен удовлетворять следующим аксиомам:

• замена базы: если ${\displaystyle S}$ — покрывающее решето на ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle f:Y\to X}$ — морфизм, то прообраз решета под действием ${\displaystyle f}$ ( ${\displaystyle f\ast S}$ ) является покрывающим решетом на ${\displaystyle Y}$ .
• локальный характер: если ${\displaystyle S}$ — покрывающее решето на ${\displaystyle X}$ , ${\displaystyle T}$ — произвольное решето на ${\displaystyle X}$ , и для каждого объекта ${\displaystyle Y\in \mathrm {Ob} {\mathcal {C}}}$ и каждого морфизма ${\displaystyle f:Y\to X}$ , принадлежащего ${\displaystyle S(Y)}$ , прообраз решета ${\displaystyle f\ast T}$ является покрывающим решетом на ${\displaystyle Y}$ , то ${\displaystyle T}$ — покрывающее решето на ${\displaystyle X}$ .
• единица: ${\displaystyle \mathrm {Hom} (-,X)}$ — покрывающее решето на ${\displaystyle X}$ для любого объекта ${\displaystyle X}$ категории ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ .

Замена базы соответствует идее о том, что если ${\displaystyle \{U_{i}\}}$ покрывает ${\displaystyle U}$ , то ${\displaystyle \{U_{i}\cap V\}}$ покрывает ${\displaystyle U\cap V}$ . Локальный характер соответствует тому, что если ${\displaystyle \{U_{i}\}}$ покрывает ${\displaystyle U}$ и ${\displaystyle \{V_{ij}\}}$ покрывает ${\displaystyle U_{i}}$ для каждого ${\displaystyle i}$ , то все ${\displaystyle \{V_{ij}\}}$ покрывают ${\displaystyle U}$ . Наконец, единица соответствует тому, что каждое множество можно покрыть объединением всех его подмножеств.

Ситусы и пучки

В категории ${\displaystyle O(X)}$ можно определить пучок при помощи аксиомы склейки. Оказывается, что пучок можно определить в любой категории с топологией Гротендика: пучок на ситусе ${\displaystyle ({\mathcal {C}},J)}$ — это пучок ${\displaystyle F}$ такой, что для любого объекта ${\displaystyle X}$ и покрывающего решета ${\displaystyle S}$ на ${\displaystyle X}$ естественное отображение ${\displaystyle \mathrm {Hom} (\mathrm {Hom} (-,X),F)\to \mathrm {Hom} (S,F)}$ , индуцированное вложением ${\displaystyle S}$ в Hom(−, X ), является биекцией. Морфизм между пучками, так же как и морфизм между предпучками — естественное преобразование функторов. Категория всех пучков на ситусе называется . Аналогично определяются пучки, абелевых групп, колец, модулей и других стркутур.

Используя лемму Йонеды можно доказать, что пучок в категории ${\displaystyle O(X)}$ , определённый указанным способом, совпадает с пучком в топологическом смысле.

Примеры ситусов

Дискретная и антидискретная топология

Дискретная топология на произвольной категории ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ задаётся объявлением всех решет открытыми. Чтобы задать антидискретную топологию, нужно считать открытыми только решёта вида ${\displaystyle \mathrm {Hom} (-,X)}$ . В антидискретной топологии любой предпучок является пучком.

Каноническая топология

Каноническая топология на произвольной катеории ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ — это наиболее тонкая топология , такая что все представимые предпучки (функторы вида ${\displaystyle \mathrm {Hom} (-,X))}$ являются пучками. Топология, являющаяся менее тонкой (то есть топология, такая что любой представимый предпучок является пучком) называется подканоничной , большинство встречающихся на практике топологий подканоничные.

Малый и большой ситус, ассоциированные с топологическим пространством

Для сопоставления топологическому пространству малого ситуса, в категории ${\displaystyle O(X)}$ покрывающими объявляются такие решёта ${\displaystyle S}$ , что объединение всех ${\displaystyle V}$ , таких что ${\displaystyle S(V)}$ непусто, совпадает со всем ${\displaystyle U}$ .

Решето ${\displaystyle S}$ на категории топологических пространств ${\displaystyle \mathbf {Top} }$ называется покрывающим решетом, если выполняются следующие условия:

• для всех ${\displaystyle Y}$ и морфизмов ${\displaystyle f:Y\to X}$ , принадлежащих ${\displaystyle S(Y)}$ , существует объект ${\displaystyle V}$ и стрелка ${\displaystyle g:V\to X}$ такие, что ${\displaystyle g}$ — открытое вложение, ${\displaystyle g}$ принадлежит ${\displaystyle S(V)}$ и ${\displaystyle f}$ проносится через ${\displaystyle g}$ ;
• если ${\displaystyle W}$ — объединение ${\displaystyle f(Y)}$ , где ${\displaystyle f:Y\to X}$ пробегает ${\displaystyle S(Y)}$ , то ${\displaystyle W=X}$ .

Для категории запятой топологических пространств над зафиксированным топологическим пространством ${\displaystyle X}$ , топология индуцируется категорией ${\displaystyle \mathbf {Top} }$ . Получившаяся категория называется большим ситусом , ассоциированным с топологическим пространством ${\displaystyle X}$ .

Топологии на категории схем

Функторы между ситусами

Этот раздел статьи ещё не написан . Здесь может располагаться отдельный раздел. Помогите Википедии, написав его. ( 30 июня 2014 )

Примечания

Литература

• Artin, Michael. Grothendieck topologies — Harvard University, Dept. of Mathematics, 1962.
• Demazure Michel, Alexandre Grothendieck. Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie — 1962-64 — Schémas en groupes — (SGA 3) — vol. 1 (Lecture notes in mathematics 151). — Berlin; New York: Springer-Verlag, 1970. — P. xv+564.
• Michael Artin, Alexandre Grothendieck, Jean-Louis Verdier. Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie — 1963-64 — Théorie des topos et cohomologie étale des schémas — (SGA 4) — vol. 1 (Lecture notes in mathematics 269). — Berlin; New York: Springer-Verlag, 1972. — P. xix+525.