Interested Article - Оптимальное управление

Оптимальное управление — это задача проектирования системы, обеспечивающей для заданного объекта управления или процесса закон управления или управляющую последовательность воздействий, обеспечивающих максимум или минимум заданной совокупности критериев качества системы .

Определение

Задача оптимального управления включает в себя расчет оптимальной программы управления и синтез системы оптимального управления. Оптимальные программы управления, как правило, рассчитываются численными методами нахождения экстремума функционала или решения краевой задачи для системы дифференциальных уравнений . Синтез систем оптимального управления с математической точки зрения представляет собой задачу нелинейного программирования в функциональных пространствах .

Для решения задачи определения программы оптимального управления строится математическая модель управляемого объекта или процесса, описывающая его поведение с течением времени под влиянием управляющих воздействий и собственного текущего состояния .

Если математическая модель управляемого объекта или процесса заранее неизвестна, то для её определения необходимо провести процедуру идентификации управляемого объекта или процесса

Математическая модель для задачи оптимального управления включает в себя: формулировку цели управления, выраженную через критерий качества управления; определение дифференциальных или разностных уравнений , описывающих возможные способы движения объекта управления; определение ограничений на используемые ресурсы в виде уравнений или неравенств .

Все задачи оптимального управления можно рассматривать как задачи математического программирования и в таком виде решать их численными методами.

При оптимальном управлении иерархическими многоуровневыми системами, например, крупными химическими производствами, металлургическими и энергетическими комплексами, применяются многоцелевые и многоуровневые иерархические системы оптимального управления. В математическую модель вводятся критерии качества управления для каждого уровня управления и для всей системы в целом, а также координация действий между уровнями управления .

Если управляемый объект или процесс является детерминированным, то для его описания используются дифференциальные уравнения. Наиболее часто используются обыкновенные дифференциальные уравнения вида ${\dot {x}}(t)=a[x(t),u(t),t]$ ${\dot {x}}(t)=a[x(t),u(t),t]$ . В более сложных математических моделях (для систем с распределёнными параметрами) для описания объекта используются дифференциальные уравнения в частных производных . Если управляемый объект является стохастическим, то для его описания используются стохастические дифференциальные уравнения .

Для решения задач оптимального управления в условиях конфликта или неопределенности используется теория дифференциальных игр .

Если решение поставленной задачи оптимального управления не является непрерывно зависящим от исходных данных ( некорректная задача ), то такая задача решается специальными численными методами.

Для решения задач оптимального управления с неполной исходной информацией и при наличии ошибок измерений используется метод максимального правдоподобия .

Система оптимального управления, способная накапливать опыт и улучшать на этой основе свою работу, называется обучающейся системой оптимального управления .

Реальное поведение объекта или системы всегда отличается от программного вследствие неточности в начальных условиях, неполной информации о внешних возмущениях, действующих на объект, неточности реализации программного управления и т. д. Поэтому для минимизации отклонения поведения объекта от оптимального обычно используется система автоматического регулирования .

Иногда (например, при управлении сложными объектами, такими как доменная печь в металлургии или при анализе экономической информации) в исходных данных и знаниях об управляемом объекте при постановке задачи оптимального управления содержится неопределённая или нечёткая информация, которая не может быть обработана традиционными количественными методами. В таких случаях можно использовать алгоритмы оптимального управления на основе математической теории нечётких множеств ( нечёткое управление ). Используемые понятия и знания преобразуются в нечёткую форму, определяются нечёткие правила вывода принимаемых решений, затем производится обратное преобразование нечётких принятых решений в физические управляющие переменные.

Для решения задач оптимального управления очень большой размерности, не позволяющей их решать методами классической математики, используются методы ситуационного управления .

Для оптимального управления экономическими процессами применяются методы экономической кибернетики , теории игр , теории графов

Оптимальное управление детерминированными системами

Системы с сосредоточенными параметрами

Наиболее широко при проектировании систем управления детерминированными объектами c сосредоточенными параметрами, описываемыми обыкновенными дифференциальными уравнениями, применяются следующие методы: вариационное исчисление , принцип максимума Понтрягина и динамическое программирование Беллмана .

Задача оптимального управления

Сформулируем задачу оптимального управления:

Уравнения состояния: ${\dot {x}}(t)=a[x(t),u(t),t]$ ${\dot {x}}(t)=a[x(t),u(t),t]$ (1).
Граничные условия $x(t_{0})=x_{0}^{*}$ $x(t_{0})=x_{{0}}^{{*}}$ , $x(t_{1})=x_{1}^{*}$ $x(t_{1})=x_{{1}}^{{*}}$ (2).
Минимизируемый функционал: $\eta =\int _{t_{0}}^{t_{1}}F[x(\tau),{\dot {x}}(\tau),\tau ]d\tau ,$ $\eta =\int _{{t_{0}}}^{{t_{1}}}F[x(\tau),{\dot {x}}(\tau),\tau ]d\tau ,$ .

здесь $x(t)$ $x(t)$ — вектор состояния $u(t)$ $u(t)$ — управление, $t_{0},t_{1}$ $t_{{0}},t_{{1}}$ — начальный и конечный моменты времени.

Задача оптимального управления заключается в нахождении функций состояния $x(t)$ $x(t)$ и управления $u(t)$ $u(t)$ для времени $({t_{0}}\leq {t}\leq {t_{1}})$ $({t_{0}}\leq {t}\leq {t_{1}})$ , которые минимизируют функционал.

Вариационное исчисление

Рассмотрим данную задачу оптимального управления как задачу Лагранжа вариационного исчисления . Для нахождения необходимых условий экстремума применим теорему Эйлера-Лагранжа . Функция Лагранжа $\Lambda$ $\Lambda$ имеет вид: $\Lambda =\int _{t_{0}}^{t_{1}}(F[x(t),{\dot {x}}(t),t]+\lambda _{1}^{T}(t)({\dot {x}}(t)-a[x(t),u(t),t]))dt+l$ $\Lambda =\int _{{t_{0}}}^{{t_{1}}}(F[x(t),{\dot {x}}(t),t]+\lambda _{1}^{T}(t)({\dot {x}}(t)-a[x(t),u(t),t]))dt+l$ , где $l=\lambda _{2}^{T}(x(t_{0})-x_{0}^{*})+\lambda _{3}^{T}(x(t_{1})-x_{1}^{*})$ $l=\lambda _{2}^{T}(x(t_{0})-x_{{0}}^{{*}})+\lambda _{3}^{T}(x(t_{1})-x_{{1}}^{{*}})$ — граничные условия. Лагранжиан $L$ $L$ имеет вид: $L[x(t),{\dot {x}}(t),u(t),\lambda (t),t]=F[x(t),{\dot {x}}(t),t]+\lambda _{1}^{T}(t)({\dot {x}}(t)-a[x(t),u(t),t])$ $L[x(t),{\dot {x}}(t),u(t),\lambda (t),t]=F[x(t),{\dot {x}}(t),t]+\lambda _{1}^{T}(t)({\dot {x}}(t)-a[x(t),u(t),t])$ , где $\lambda _{1}$ $\lambda _{1}$ , $\lambda _{2}$ $\lambda _{2}$ , $\lambda _{3}$ $\lambda _{3}$ — n-мерные вектора множителей Лагранжа .

Необходимые условия экстремума, согласно этой теореме, имеют вид:

стационарность по u: ${\hat {L}}_{u}=0$ ${\hat {L}}_{{u}}=0$ , (3)
стационарность по x, уравнение Эйлера: ${\hat {L}}_{x}-{\frac {d}{dt}}{\hat {L}}_{\dot {x}}=0$ ${\hat {L}}_{x}-{\frac {d}{dt}}{\hat {L}}_{\dot {x}}=0$ (4)
трансверсальность по x: ${\hat {L}}_{\dot {x}}(t_{0})={\hat {l}}_{x(t_{0})}$ ${\hat {L}}_{\dot {x}}(t_{0})={\hat {l}}_{x(t_{0})}$ , ${\hat {L}}_{\dot {x}}(t_{1})=-{\hat {l}}_{x(t_{1})}$ ${\hat {L}}_{\dot {x}}(t_{1})=-{\hat {l}}_{x(t_{1})}$ (5)

Необходимые условия (3-5) составляют основу для определения оптимальных траекторий. Написав эти уравнения, получаем двухточечную граничную задачу, где часть граничных условий задана в начальный момент времени, а остальная часть — в конечный момент. Методы решения подобных задач подробно разбираются в книге

Принцип максимума Понтрягина

Необходимость в принципе максимума Понтрягина возникает в случае, когда нигде в допустимом диапазоне управляющей переменной невозможно удовлетворить необходимому условию (3), а именно ${\hat {L}}_{u}=0$ ${\hat {L}}_{{u}}=0$ .

В этом случае условие (3) заменяется на условие (6):

{\begin{aligned}\min _{u\in U}L(t,x(t),{\dot {x}}(t),u)&=L(t,{\hat {x}}(t),{\dot {x}}(t),{\hat {u}})\Longleftrightarrow \\&\Longleftrightarrow \min _{u\in U}\left(F(t,x(t),u)-\lambda (t)a(t,x(t),u)\right)=f(t)-\lambda (t)a(t).\end{aligned}}

{\begin{aligned}\min _{{u\in U}}L(t,x(t),{\dot {x}}(t),u)&=L(t,{\hat {x}}(t),{\dot {x}}(t),{\hat {u}})\Longleftrightarrow \\&\Longleftrightarrow \min _{{u\in U}}\left(F(t,x(t),u)-\lambda (t)a(t,x(t),u)\right)=f(t)-\lambda (t)a(t).\end{aligned}}

(6)

В этом случае согласно принципу максимума Понтрягина величина оптимального управления равна величине управления на одном из концов допустимого диапазона. Уравнения Понтрягина записываются при помощи функции Гамильтона $H$ $H$ , определяемой соотношением $H=F(t,x(t),u)-\lambda (t)a(t,x(t),u)$ $H=F(t,x(t),u)-\lambda (t)a(t,x(t),u)$ . Из уравнений следует, что функция Гамильтона $H$ $H$ связана с функцией Лагранжа $L$ $L$ следующим образом: $L=H+\lambda (t){\dot {x}}(t)$ $L=H+\lambda (t){\dot {x}}(t)$ . Подставляя $L$ $L$ из последнего уравнения в уравнения (3—5), получаем необходимые условия, выраженные через функцию Гамильтона:

уравнение управления по u: ${\hat {H}}_{u}=0$ ${\hat {H}}_{{u}}=0$ , (7)
уравнение состояния: ${\dot {x}}=-{\hat {H}}_{\lambda }$ ${\dot {x}}=-{\hat {H}}_{{\lambda }}$ , (8)
сопряжённое уравнение: ${\dot {\lambda }}=-{\hat {H}}_{x}$ ${\dot {\lambda }}=-{\hat {H}}_{x}$ , (9)
трансверсальность по x: $\lambda (t_{0})={\hat {l}}_{x(t_{0})}$ $\lambda (t_{0})={\hat {l}}_{x(t_{0})}$ , $\lambda (t_{1})=-{\hat {l}}_{x(t_{1})}$ $\lambda (t_{1})=-{\hat {l}}_{x(t_{1})}$ (10)

Необходимые условия, записанные в такой форме, называются уравнениями Понтрягина. Более подробно принцип максимума Понтрягина разобран в книге .

Пример

Пусть требуется решить задачу минимизации функционала:

\int _{0}^{1}(u^{2}-4x)dt

\int _{0}^{1}(u^{2}-4x)dt

, где

{\frac {dx}{dt}}=u

{\frac {dx}{dt}}=u

,

0\leqslant u\leqslant 1

0\leqslant u\leqslant 1

,

x(0)=0

x(0)=0

.

Функция Гамильтона в данном случае имеет вид:

H=\lambda u-u^{2}+4x

H=\lambda u-u^{2}+4x

.

Из условий 9) и 10) находим, что:

\lambda =4-4t

\lambda =4-4t

,

t\in [0,1]

t\in [0,1]

.

Получаем:

H=(4-4t)u-u^{2}+4x

H=(4-4t)u-u^{2}+4x

.

Максимум этой функции по $u$ $u$ , $0<u<1$ $0<u<1$ , достигается при $u=u^{*}(t)$ $u=u^{*}(t)$ , где

u^{*}(t)={\begin{cases}1,&{\mbox{if }}0\leqslant t\leqslant {\frac {1}{2}}\\2-2t,&{\mbox{if }}{\frac {1}{2}}\leqslant t\leqslant 1\end{cases}}

u^{*}(t)={\begin{cases}1,&{\mbox{if }}0\leqslant t\leqslant {\frac {1}{2}}\\2-2t,&{\mbox{if }}{\frac {1}{2}}\leqslant t\leqslant 1\end{cases}}

По условию, ${\frac {dx^{*}(t)}{dt}}=u^{*}(t)$ ${\frac {dx^{*}(t)}{dt}}=u^{*}(t)$ . Значит:

x^{*}(t)={\begin{cases}t+c_{1},&{\mbox{if }}0\leqslant t\leqslant {\frac {1}{2}}\\2t-t^{2}-c_{2},&{\mbox{if }}{\frac {1}{2}}\leqslant t\leqslant 1\end{cases}}

x^{*}(t)={\begin{cases}t+c_{1},&{\mbox{if }}0\leqslant t\leqslant {\frac {1}{2}}\\2t-t^{2}-c_{2},&{\mbox{if }}{\frac {1}{2}}\leqslant t\leqslant 1\end{cases}}

Из $x^{*}(0)=0$ $x^{*}(0)=0$ , получаем $c_{1}=0$ $c_{1}=0$ . Из условия непрерывности $x^{*}(t)$ $x^{*}(t)$ в точке $t={\frac {1}{2}}$ $t={\frac {1}{2}}$ найдем постоянную $c_{2}=-{\frac {1}{4}}$ $c_{2}=-{\frac {1}{4}}$ .

Таким образом:

x^{*}(t)={\begin{cases}t,&{\mbox{if }}0\leqslant t\leqslant {\frac {1}{2}}\\2t-t^{2}-{\frac {1}{4}},&{\mbox{if }}{\frac {1}{2}}\leqslant t\leqslant 1\end{cases}}

x^{*}(t)={\begin{cases}t,&{\mbox{if }}0\leqslant t\leqslant {\frac {1}{2}}\\2t-t^{2}-{\frac {1}{4}},&{\mbox{if }}{\frac {1}{2}}\leqslant t\leqslant 1\end{cases}}

Можно проверить, что найденные $x^{*}(t)$ $x^{*}(t)$ и $u^{*}(t)$ $u^{*}(t)$ составляют оптимальное решение данной задачи

Где применяется

Принцип максимума особенно важен в системах управления с максимальным быстродействием и минимальным расходом энергии, где применяются управления релейного типа, принимающие крайние, а не промежуточные значения на допустимом интервале управления.

История

За разработку теории оптимального управления Л. С. Понтрягину и его сотрудникам В. Г. Болтянскому , Р. В. Гамкрелидзе , и Е. Ф. Мищенко в 1962 году была присуждена Ленинская премия .

Метод динамического программирования

Метод динамического программирования основан на принципе оптимальности Беллмана, который формулируется следующим образом: оптимальная стратегия управления обладает тем свойством, что каково бы ни было начальное состояние и управление в начале процесса, последующие управления должны составлять оптимальную стратегию управления относительно состояния, полученного после начальной стадии процесса . Более подробно метод динамического программирования изложен в книге

Достаточные условия оптимальности

Достаточные условия оптимальности управляемых процессов были получены в 1962 году В. Ф. Кротовым , на их основе были построены итерационные вычислительные методы последовательного улучшения, позволяющие находить глобальный оптимум в задачах управления .

Оптимальное управление системами с распределёнными параметрами

В задачах оптимального управления такими объектами, как проходная нагревательная печь, теплообменный аппарат , установка для нанесения покрытия, сушильный агрегат, химический реактор , установка для разделения смесей, доменная или мартеновская печь , коксовая батарея, прокатный стан , печь индукционного нагрева и т. д. управляемый процесс описывается дифференциальными уравнениями в частных производных, интегральными уравнениями и интегро-дифференциальными уравнениями.

Теория оптимального управления в этом случае разработана лишь для отдельных видов этих уравнений: эллиптического, параболического и гиперболического типа.

В некоторых простых случаях удается получить аналог принципа максимума Понтрягина.

Если решения систем уравнений имеют неустойчивости, точки разрыва, точки бифуркации, кратные решения, то для их получения используется ряд специальных методов .

Задача оптимального управления

Задана область определения управляемого процесса $0\leqslant x\leqslant a,0\leqslant y\leqslant b$ $0\leqslant x\leqslant a,0\leqslant y\leqslant b$
Уравнения, описывающие управляемый процесс: ${\frac {\partial ^{2}Q_{i}}{\partial x\partial y}}=f_{i}(x,y,Q,{\frac {\partial Q}{\partial x}},{\frac {\partial Q}{\partial y}},u);(1)$ ${\frac {\partial ^{{2}}Q_{{i}}}{\partial x\partial y}}=f_{i}(x,y,Q,{\frac {\partial Q}{\partial x}},{\frac {\partial Q}{\partial y}},u);(1)$ , где $Q$ $Q$ — $n$ $n$ — мерный вектор, описываемый управляемый процесс, ${\frac {\partial Q}{\partial x}}$ $\frac{\partial Q}{\partial x}$ — $n$ $n$ — мерный вектор производных вектора $Q$ $Q$ по координате $x$ $x$ , ${\frac {\partial Q}{\partial y}}$ ${\frac {\partial Q}{\partial y}}$ — $n$ $n$ — мерный вектор производных вектора $Q$ $Q$ по координате $y$ $y$ , $u$ $u$ — $r$ $r$ — мерный управляющий вектор.
Граничные условия для управляемого процесса: $Q_{i}(0,y)=\phi _{i}(y);Q_{i}(x,0)=\psi _{i}(x);i=1,...,n;(2)$ $Q_{{i}}(0,y)=\phi _{{i}}(y);Q_{{i}}(x,0)=\psi _{{i}}(x);i=1,...,n;(2)$
Задача оптимального управления состоит в том, чтобы найти такое управление $u(x,y)$ $u(x,y)$ , при котором допустимое уравнениями $(1),(2)$ $(1),(2)$ решение $Q(x,y)$ $Q(x,y)$ приводит к максимуму функционала $J=\sum _{i=1}^{n}c_{i}Q_{i}(a,b)$ $J=\sum _{{i=1}}^{{n}}c_{{i}}Q_{{i}}(a,b)$ .

Принцип максимума для систем с распределёнными параметрами

С целью формулировки принципа максимума для систем с распределёнными параметрами вводится функция Гамильтона: $H(N,Q,{\frac {dQ}{dx}},{\frac {dQ}{dy}},u)=\sum _{i=1}^{n}N_{i}f_{i}(x,y,Q,{\frac {dQ}{dx}},{\frac {dQ}{dy}},u)$ $H(N,Q,{\frac {dQ}{dx}},{\frac {dQ}{dy}},u)=\sum _{{i=1}}^{{n}}N_{{i}}f_{{i}}(x,y,Q,{\frac {dQ}{dx}},{\frac {dQ}{dy}},u)$ , где вспомогательные функции $N_{1}(x,y),...,N_{n}(x,y)$ $N_{{1}}(x,y),...,N_{{n}}(x,y)$ должны удовлетворять уравнениям ${\frac {dN_{i}}{dxdy}}={\frac {dH}{dQ_{i}}}-{\frac {d}{dx}}{\frac {dH}{dQ_{ix}}}-{\frac {d}{dy}}{\frac {dH}{dQ_{iy}}}(2)$ ${\frac {dN_{i}}{dxdy}}={\frac {dH}{dQ_{i}}}-{\frac {d}{dx}}{\frac {dH}{dQ_{ix}}}-{\frac {d}{dy}}{\frac {dH}{dQ_{iy}}}(2)$ и граничным условиям ${\frac {dN_{i}}{dx}}=-{\frac {dH}{dQ_{iy}}}$ ${\frac {dN_{{i}}}{dx}}=-{\frac {dH}{dQ_{{iy}}}}$ при $y=b(3)$ $y=b(3)$ , ${\frac {dN_{i}}{dy}}=-{\frac {dH}{dQ_{ix}}}$ ${\frac {dN_{{i}}}{dy}}=-{\frac {dH}{dQ_{{ix}}}}$ при $x=a(4)$ $x=a(4)$ , $N_{i}(a,b)=-c_{i}(5)$ $N_{{i}}(a,b)=-c_{{i}}(5)$ .

Если $u^{0}(x,y)$ $u^{{0}}(x,y)$ - оптимальное управление и $Q^{0}(x,y),N^{0}(x,y)$ $Q^{{0}}(x,y),N^{{0}}(x,y)$ - получающиеся при оптимальном управлении функции, удовлетворяющие уравнениям $(1),(2),(3),(4),(5)$ $(1),(2),(3),(4),(5)$ , то функция $H(N^{0}(x,y),Q^{0}(x,y),{\frac {dQ^{0}(x,y)}{dx}},{\frac {dQ^{0}(x,y)}{dy}},u)$ $H(N^{{0}}(x,y),Q^{{0}}(x,y),{\frac {dQ^{{0}}(x,y)}{dx}},{\frac {dQ^{{0}}(x,y)}{dy}},u)$ , рассматриваемая как функция от аргумента $u$ $u$ достигает максимума в области $\omega$ $\omega$ при $u=u^{0}(x,y)$ $u=u^{{0}}(x,y)$ , то есть почти для всех точек $(x,y)\in D$ $(x,y)\in D$ выполняется равенство $\max _{u\in \omega }H(N^{0}(x,y),Q^{0}(x,y),{\frac {dQ^{0}(x,y)}{dx}},{\frac {dQ^{0}(x,y)}{dy}},u)=H(N^{0}(x,y),Q^{0}(x,y),{\frac {dQ^{0}(x,y)}{dx}},{\frac {dQ^{0}(x,y)}{dy}},u)$ $\max _{{u\in \omega }}H(N^{{0}}(x,y),Q^{{0}}(x,y),{\frac {dQ^{{0}}(x,y)}{dx}},{\frac {dQ^{{0}}(x,y)}{dy}},u)=H(N^{{0}}(x,y),Q^{{0}}(x,y),{\frac {dQ^{{0}}(x,y)}{dx}},{\frac {dQ^{{0}}(x,y)}{dy}},u)$

Если система $(1)$ $(1)$ является линейной системой вида ${\frac {d^{2}Q_{i}}{dxdy}}=\sum _{k=1}^{n}{\Bigl [}m_{ik}(x,y){\frac {dQ_{k}}{dx}}+p_{ik}(x,y){\frac {dQ_{k}}{dy}}+q_{ik}(x,y)Q_{k}{\Bigr ]}+f_{i}(u)$ ${\frac {d^{{2}}Q_{{i}}}{dxdy}}=\sum _{{k=1}}^{{n}}{\Bigl [}m_{{ik}}(x,y){\frac {dQ_{{k}}}{dx}}+p_{{ik}}(x,y){\frac {dQ_{{k}}}{dy}}+q_{{ik}}(x,y)Q_{{k}}{\Bigr ]}+f_{{i}}(u)$ , то выполняется теорема

Для оптимальности управления $u(x,y)$ $u(x,y)$ в линейном случае необходимо и достаточно, чтобы выполнялся принцип максимума.

Доказательство этих двух теорем смотри в книге .

Оптимальное управление линейными стохастическими системами

В этом случае управляемый объект или процесс описывается линейными стохастическими дифференциальными уравнениями . В этом случае решение задачи оптимального управления осуществляется на основе уравнения Риккати .

Задача оптимального управления

Система описывается линейными стохастическими дифференциальными уравнениями $dx=Axdt+Budt+dv,dy=Cxdt+de$ $dx=Axdt+Budt+dv,dy=Cxdt+de$ , где $x$ $x$ — $n$ $n$ -мерный вектор состояния, $u$ $u$ — $p$ $p$ -мерный вектор управления, $y$ $y$ — $v$ $v$ -мерный вектор наблюдаемых переменных, $v(t),e(t)$ $v(t),e(t)$ — независимые винеровские процессы с нулевыми средними значениями и заданными ковариациями приращений, $A,B,C$ $A,B,C$ — матрицы.
Необходимо найти оптимальное управление, минимизирующее математическое ожидание функции потерь $x^{T}(t_{1})Q_{0}x(t_{1})+\int _{t_{0}}^{t_{1}}[x^{T}(t)Q_{1}x(t)+u^{T}Q_{2}u(t)]dt]$ $x^{T}(t_{1})Q_{0}x(t_{1})+\int _{{t_{0}}}^{{t_{1}}}[x^{T}(t)Q_{1}x(t)+u^{T}Q_{2}u(t)]dt]$ .

См. также

Примечания

↑ Самойленко В. И., Пузырев В. А., Грубрин И. В. «Техническая кибернетика», учеб. пособие, М., изд-во МАИ , 1994, 280 с. ил., ISBN 5-7035-0489-9 , гл. 4 «Оптимальные системы управления динамическими объектами и процессами», с. 63-113;
, с. 114.
, с. 316.
Растригин Л. А. Этот случайный, случайный, случайный мир. — М., Молодая гвардия, 1969. — С. 47 — 50
Растригин Л. А. , Маджаров Н. Е. Введение в идентификацию объектов управления. — М. : Энергия, 1977. — 216 с.
, с. 79—89.
Коршунов Ю. М. «Математические основы кибернетики», учеб. пособие для вузов, 2-е изд., перераб. и доп., М., «Энергия», 1980, 424 с., ил., ББК 32.81 6Ф0.1, гл. 5 «Структура и математическое описание задач оптимального управления», c. 202;
, с. 18.
, с. 304—368.
Месарович М., Мако Д., Ткахара И. Теория иерархических многоуровневых систем — М., Мир, 1973. — с. 344
↑ , с. 465—520.
Красовский Н. Н., Субботин А. И. Позиционные дифференциальные игры. - М., Наука, 1974. - с. 24
Васильев Ф. П. Методы решения экстремальных задач. — М.: Наука, 1981. — С. 159.
, с. 351—368.
Цыпкин Я. З. Основы теории обучающихся систем. — М.: Наука, 1970. — С. 252.
Александров А. Г. Оптимальные и адаптивные системы. — М.: Высшая школа, 1989. — 263 с. ISBN 5-06-000037-0
Методы робастного, нейро-нечёткого и адаптивного управления: Учебник / Под ред. Н. Д. Егупова, изд. 2-ое, стер., М., Изд-во МГТУ им Н. Э. Баумана, 2002, 744 с ил., ISBN 5-7038-2030-8 , тир. 2000 экз, ч. 2 «Нечёткое управление»
Теплов Л. Что считать: популярные очерки по экономической кибернетике. — М., Московский рабочий, 1970. — 317 c.
↑ Э. М. Галеев, В. М. Тихомиров «Оптимизация: теория, примеры, задачи», М., «Эдиториал УРСС», 2000, 320 с., ISBN 5-8360-0041-7 , гл. 3 «Вариационное исчисление», п. 6 «Задача Лагранжа», с. 173—181;
«Численные методы в теории оптимальных систем», Моисеев Н. Н. , «Наука», 1971, 424 стр. с илл., гл. 2 «Численные методы расчета оптимальных программ, использующие необходимые условия экстремума», с 80 — 155;
Барбаумов В. Е., Ермаков В. И., Кривенцова Н. Н. Справочник по математике для экономистов. — М., Высшая школа, 1987. — с. 243
Беллманн Р. «Динамическое программирование», ИЛ, М., 1960;
«Численные методы в теории оптимальных систем», Моисеев Н. Н. , «Наука», 1971, 424 стр. с илл., гл. 3 «Прямые методы теории оптимального управления», с 156—265;
Воронов А. А. Теория автоматического управления. Т. 1. — М.: Высшая школа, 1986, стр. 294—304.
Васильев Ф. П. Численные методы решения экстремальных задач. — М.: Наука, 1988, стр. 522—530.
Кротов В. Ф. Методы решения вариационных задач на основе достаточных условий абсолютного минимума. I—IV // Автоматика и телемеханика, 1962, т. 23, № 12, стр. 1571—1583; 1963, т. 24, № 5, стр. 581—598; 1963, т. 24, № 7, стр. 826—843; 1965, т. 26, № 1, стр. 24-41.
Ж.-Л. Лионс Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными, М., Мир, 1972, 412 c.
↑ Бутковский А. Г. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами, М., Наука, 1965
Ж.-Л. Лионс Управление сингулярными распределенными системами, М., Мир, 1987, 367 c.
К. Ю. Острем Введение в стохастическую теорию управления, М., Мир, 1973

Литература

Растригин Л. А. Современные принципы управления сложными объектами. — М.: Сов. радио, 1980. — 232 с., ББК 32.815, тир. 12000 экз.
Алексеев В. М., Тихомиров В. М. , Фомин С. В. Оптимальное управление. — М.: Наука, 1979, УДК 519.6, — 223 c., тир. 24000 экз.
Волгин Л. Н. Оптимальное дискретное управление динамическими системами. — М. : Наука, 1986. — 240 с.
Табак Д., Куо Б. Оптимальное управление и математическое программирование. — М. : Наука, 1975. — 279 с.
Моисеев Н. Н. Элементы теории оптимальных систем. — М. : Наука, 1975. — 526 с.
, Тихомиров В. М. Краткий курс теории экстремальных задач. — М. : МГУ, 1989. — 204 с. — ISBN 5-211-00313-6 .
Кротов В.Ф., Гурман В. И. Методы и задачи оптимального управления. — М. : Наука, 1973.
Понтрягин Л. С., Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Мищенко Е. Ф. Математическая теория оптимальных процессов. — М. : Наука, 1976.
Болтянский В. Г. Оптимальное управление дискретными системами. — М. : Наука, 1973.
Бутковский А. Г. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами. — М. : Наука, 1965.
Бутковский А. Г. Методы управления системами с распределенными параметрами. — М. : Наука, 1975.
Будак Б. М., Васильев Ф. П. Приближенные методы решения задач оптимального управления. — М. : МГУ, 1969.
Олейников В. А., Зотов Н. С., Пришвин А. М. Основы оптимального и экстремального управления. — М. : Высшая школа, 1969. — 296 с.
Дегтярев Г. Л., Сиразетдинов Т. К. Теоретические основы оптимального управления упругими космическими аппаратами. — М. : Машиностроение, 1986. — 216 с.
Лернер А. Я. , Розенман Е. А. Оптимальное управление. — М. : Энергия, 1970. — 360 с.
Гурман В. И. , Тихомиров В. Н., Кириллова Ф. М. Оптимальное управление. — М. : Знание, 1978. — 144 с.
Болтянский В. Г. Математические методы оптимального управления. — М. : Наука, 1969. — 408 с.
Янг Л. Лекции по вариационному исчислению и теории оптимального управления. — М. : Мир, 1974. — 488 с.
Макаров И. М. , Лохин В. М. Манько С. В. Искусственный интеллект и интеллектуальные системы управления. — М. : Наука , 2006. — 333 с. — 1000 экз. — ISBN 5-02-033782-X .
Дончев А. Системы оптимального управления. Возмущения, приближения и анализ чувствительности. — М. : Мир, 1987. — 156 с. — 6700 экз.
В. А. Иванов, А. С. Ющенко. . — М. : Московский государственный технический университет имени Н. Э. Баумана , 2015. — 352 с. — ISBN 978-5-7038-4178-5 .
Кузин Л. Т. Основы кибернетики. — М. : Энергия, 1973. — 504 с. — 30 000 экз.
Фурсиков А. В. Оптимальное управление распределёнными системами. Теория и приложения. — Новосибирск: Научная книга, 1999. — 352 с. — 1000 экз. — ISBN 5-88119-017-3 .
Лионс Ж. Л. Управление сингулярными распределёнными системами. — Москва: Наука, 1987. — 368 с. — 3600 экз.
Хазен Э. М. Методы оптимальных статистических решений и задачи оптимального управления. — Москва: Советское радио, 1968. — 256 с. — 12 000 экз.
Лейтман Дж. Введение в теорию оптимального управления. — Москва: Наука, 1968. — 190 с. — 14 000 экз.
Саридис Дж. Самоорганизующиеся стохастические системы управления. — Москва: Наука, 1980. — 400 с. — 4000 экз.
А. А. Аграчев , Ю. Л. Сачков. . — Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 391 с. — ISBN 5-9221-0532-9 .